Tek ve çift fonksiyonlar sayfasının kaynağını görüntüle

{{Kaynaksız|tarih=Eylül 2024}}
[[Matematik]]te, '''tek fonksiyon''' ve '''çift fonksiyon''', aralarında [[simetri]] ilişki bulunan ve [[toplamaya göre ters]]leri olan [[fonksiyon]]lardır. [[Matematiksel analiz]]in birçok alanında, özellikle [[kuvvet serisi]] ve [[Fourier serisi]]nde sıkça kullanılır. [[Kuvvet fonksiyonu]]nun [[Çift ve tek sayılar|eş]] kuvvetlerine göre adlandırılır ve şu şartı şağlar: Eğer ''n'' çift [[tam sayı]] ise, ''f''(''x'') = ''x''<sup>''n''</sup>, çift fonksiyon; ''n'' tek tam sayı ise, fonksiyon tek fonksiyondur.

== Tanım ve örnekler ==

Matematikte çiftlik ve teklik kavramları yalnızca, [[tanım kümesi|tanım]] ve [[değer kümesi|değer kümelerinin]] her ikisinin de [[toplamaya göre ters]]leri olan fonksiyonlar için tanımlanır. Buna, [[abelian grup]], tüm [[halka (cebir)|halkalar]], tüm [[Cisim (matematik)|alanlar]] ve tüm [[vektör uzayı|vektör uzayları]] dahildir. Örneğin; bir [[Reel sayı|reel]] değişkenin reel değerli fonksiyonu ve bir vektör değişkeninin [[Karmaşık sayı|karmaşık]] değerli fonksiyonu çift veya tek olabilir.

=== Çift fonksiyon ===
[[Dosya:Function x^2.svg|sağ|küçükresim|{{Kayma|''&fnof;''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}}, bir çift fonksiyondur.]]
''f''(''x''), bir reel değişkenin [[reel sayı|reel]] değerli fonksiyonu olsun. Eğer aşağıdaki eşitlik, ''f'' tanım kümesindeki tüm ''x'' ve ''-x'' ler için sağlanıyorsa ''f'', '''çifttir''' :

:<math>
f(x) = f(-x). \,
</math>

Geometriksel olarak ifade etmek gerekirse, bir çift fonksiyonun grafiği, ''y'' eksenine göre simetriktir. Yani ''y'' eksenine göre yansıtıldıktan sonra bile [[fonksiyon grafiği|grafiği]] değişmez.

Çift fonksiyonlara örnek, [[mutlak değer|{{!}}''x''{{!}}]], ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, [[trigonometrik fonksiyonlar|cos]](''x'') ve [[hiperbolik fonksiyon|cosh]](''x''). Mutlak degerli ifadelerin tamamı çift fonksiyondur.

=== Tek fonksiyon===
[[Dosya:Function-x3.svg|sağ|küçükresim|{{Kayma|''&fnof;''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>}}, bir tek fonksiyondur.]]
''f''(''x''), bir reel değişkenin [[reel sayı|reel]] değerli fonksiyonu olsun. Eğer aşağıdaki eşitlik, ''f'' tanım kümesindeki tüm ''x'' ve ''-x'' ler için sağlanıyorsa ''f'', '''tektir''' :

:<math>
-f(x) = f(-x), \,
</math>

veya

:<math>
f(x) + f(-x) = 0. \,
</math>

Geometriksel olarak ifade etmek gerekirse, bir tek fonksiyonun grafiği, [[Sıfır noktası#Sıfır noktasına göre simetri|orijine göre simetriktir]] Yani orijine göre 180 [[Derece (birim)|derece]] döndürüldükten sonra bile [[fonksiyon grafiği|grafiği]] değişmez.

Tek fonksiyonlara örnek; ''x'', ''x''<sup>3</sup>, [[Sinüs (matematik)|sin]](''x''), [[hiperbolik fonksiyon|sinh]](''x'') ve [[hata fonksiyonu|erf]](''x'').

== Bazı durumları ==
Tek veya çift fonksiyon, [[sürekli fonksiyon|sürekli]] olsa bile [[Diferansiyellenebilir fonksiyon|diferansiyellenebilir]] anlamına gelmez. Örneğin her yerde ayrık fonksiyon çifttir. Fakat hiçbir yerde sürekli değildir. Çiftlik durumu her iki alandada farklı incelenir.

=== Temel özellikler ===
* Tanım kümesi tüm reel sayılar için ''hem'' çift ''hem de'' tek olan fonksiyon [[sabit fonksiyon]]dur ve aynı zamanda sıfırdır. (örneğin tüm ''x'' ler için, ''f''(''x'') = 0).
* İki çift fonksiyonun toplamı çifttir. Bir çift fonksiyonun bir sabit ile çarpımı çifttir.
* İki tek fonksiyonun toplamı tektir. Bir tek fonksiyonun bir sabit ile çarpımı tektir.
* İki tek fonksiyonun farkı tektir.
* İki çift fonksiyonun farkı çifttir.
* İki çift fonksiyonun [[çarpma|çarpımı]] çift fonksiyondur.
* İki tek fonksiyonun çarpımı çift fonksiyondur.
* Çift fonksiyon ile tek fonksiyonun çarpımı tek fonksiyondur. 
* İki çift fonksiyonun [[bölme|bölümü]] çift fonksiyondur. 
* İki tek fonksiyonun bölümü, çift fonksiyondur.
* Çift fonksiyon ile tek fonksiyonun bölümü tek fonksiyondur.
* Çift fonksiyonun [[türev]]i tektir.
* Tek fonksiyonun türevi çifttir.
* İki çift fonksiyonun [[Bileşke fonksiyon|bileşkesi]] çifttir.
* İki tek fonksiyonun bileşkesi tektir.
* Çift fonksiyon ile tek fonksiyonun bileşkesi çifttir.
* Ya tek ya da çift fonksiyon ile çift fonksiyonun bileşkesi çifttir (fakat tersi geçerli değildir).
* Tek fonksiyonunun, &minus;''A'' dan +''A'' ya [[integral]]i sıfırdır. (burada ''A'', sonludur ve fonksiyonun &minus;''A'' dan''A'' ya, dikey [[Sonuşmaz|asimptotu]] yoktur).
* Çift fonksiyonun &minus;''A'' dan +''A'' ya integrali, 0'dan +''A'' ya iki kez integraline eşittir. (burada ''A'', sonludur ve fonksiyonun &minus;''A'' dan ''A'' ya dikey asimptotu yoktur.)  ''A'' sonsuz olduğunda, [[ancak ve ancak]] integral [[Yakınsak seri|yakınsıyorsa]] bu doğrudur.

=== Tek ve çift fonksiyonların toplamı===
* Her fonksiyon, çift ve tek fonksiyonu toplamı ile ifade edilebilir. [[Matematiksel ispat|İspat]]:

<math>f{(x)}</math>, tüm [[reel sayı]]larda tanımlı herhangi bir fonksiyon olsun. 
Bunu, şöyle de sembolize edebiliriz:

<math> \frac{f{(x)}}{2}+\frac{f{(x)}}{2}+\frac{f{(-x)}}{2}-\frac{f{(-x)}}{2}</math>.

Tekrar şöyle yazılabilir: <math>\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2} + \frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2} </math>.

<math>g{(x)}</math>, <math>\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2}</math> ve <math>h{(x)}</math>, <math>\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}</math> olsun.

Burada, şu eşitlik elde edilir: <math> f{(x)}=g{(x)}+h{(x)}</math>.

Şimdi, <math>g{(x)}</math>, çifttir. <math>\because g{(-x)}=\frac {f{(-x)}+f{(x)}}{2}=g{(x)}</math>.

<math>h{(x)}</math>, tektir. <math>\because h{(-x)}=\frac {f{(-x)}-f{(x)}}{2}=-\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}=-h{(x)}</math>. [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]

* Çift ile tek fonksiyonun [[Toplama|toplamı]], fonksiyonlardan biri [[tanım kümesi]] üzerinde verilen sıfıra eşit olmadığı müddetçe, ne çifttir ne de tektir.

=== Seriler ===
* Çift fonksiyonun [[Taylor serisi#Maclaurin serisi|Maclaurin serisi]]nde yalnızca çift kuvvetler bulunur. 
* Tek fonksiyonun Maclaurin serisinde yalnızca tek kuvvetler bulunur. 
* [[Periyodik fonksiyon|Periyodik]] çift fonksiyonun [[Fourier serisi]]nde yalnızca [[Trigonometrik fonksiyonlar|kosinüs]] terimi bulunur.
* Periyodik tek fonksiyonun Fourier serisinde yalnızca [[Trigonometrik fonksiyonlar|sinüs]] terimi bulunur.

=== Cebirsel yapı ===
* Çift fonksiyonun herhangi bir [[doğrusal kombinasyon]]u çifttir ve çift fonksiyonlar [[reel sayı]]lar üzerindeki [[vektör uzayı]]nda bulunur. Benzer şekilde tek fonksiyonun herhangi bir doğrusal kombinasyonu tektir ve tek fonksiyonlar da reel sayılar üzerinde vektör uzayında bulunur. Tüm reel değerli fonksiyonların vektör uzayı, tek ve çift fonksiyonların [[Doğrusal alt uzay|alt uzaylarının]] [[doğrudan toplam]]ıdır. Başka bir ifade ile her ''f''(''x'') fonksiyonu, çift fonksiyon ve tek fonksiyonun toplamı olarak eşsiz biçinde yazılabilir:
::
:: <math>f(x)=f_\text{e}(x) + f_\text{o}(x)\, ,</math>
: burada
:: <math>f_\text{e}(x) = \tfrac12[f(x)+f(-x)]</math>
: çifttir ve
:: <math>f_\text{o}(x) = \tfrac12[f(x)-f(-x)]</math>
: tektir. Örneğin; eğer ''f'' [[Üstel fonksiyon|üstel]] ise, ''f''<sub>e</sub>, cosh ve''f''<sub>o</sub>  &nbsp;sinh olur.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Taylor serisi]]
* [[Fourier serisi]]
* [[Kuvvet serisi]]
* [[Kuvvet fonksiyonu]]

{{Matematiksel fonksiyonlar}}

[[Kategori:Kalkülüs]]
[[Kategori:Fonksiyon türleri]]
[[Kategori:Parite]]