Thales teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

{{İçin|Bazen Thales teoremi olarak adlandırılan ve benzer üçgenlerle ilgili olan teorem|Kesişme teoremi}}
[[Dosya: Thales' Theorem Simple.svg | thumb|right |upright=0.91 | Thales teoremi: {{overline | AC}} bir çapsa ve B çapın çemberi üzerindeki bir noktaysa, o zaman B'deki açı bir dik açıdır.]]

Geometride, '''Thales teoremi''', A, B ve C, {{overline|AC}} çizgisinin bir [[çap]] olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir [[dik açı]] olduğunu belirtir. Thales teoremi, [[çevre açı teoremi]]nin özel bir durumudur ve [[Öklid]]'in ''Elemanlar'' adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır.<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Heath|ad=Thomas L.|başlık=The thirteen books of Euclid's elements|tarih=1956|yayıncı=Dover Publ.|yer=New York, NY [u.a.]|isbn=0486600890|sayfa=[https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/61 61]|url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/61}}</ref> Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz (muhtemelen tanrı Apollon'a) sunduğu söylenen [[Miletli Thales]]'e atfedilir, ancak bazen [[Pisagor]]'a da atfedilir.

==Tarihçe==
{{alıntı kutusu|width=25%
|alıntı=
''o se del mezzo cerchio faru si puote''
''triangol sì ch'un retto non avesse.''

:Or if in semicircle can be made
:Triangle so that it have no right angle.

::'''ya da yarım daireden'''
::'''dik açısız üçgen yapmayı'''
 
|source=
[[Dante]]'nin ''Cennet''i, Kanto 13, 101–102. satır,<br/>İngilizceye çeviren: [[Henry Wadsworth Longfellow]].}}

Antik Yunan'da yapılan çalışmalar, herhangi bir entelektüel yapıya dahil olan tüm bireylere saygı duyulmadan bilgeliğe sahip insanlara atfedilme eğilimindeydi - bu, özellikle [[Pisagor]] için geçerlidir. İlişkilendirme ise daha sonra ortaya çıkma eğilimindeydi.<ref>{{Web kaynağı | ad = G. Donald | soyadı = Allen | başlık = Thales of Miletus | url = http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/Greek/thales.pdf | tarih = 2000 | erişimtarihi = 12 Şubat 2012 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20040326083858/http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/Greek/thales.pdf | arşivtarihi = 26 Mart 2004 | ölüurl =hayır}}</ref> Thales'e atıf, [[Proclus]] tarafından yapılmıştır ve [[Laertios Diogenes|Diogenes Laërtius]], Epidauroslu Pamphila'nın Thales'in<ref name="Poetics">{{Kitap kaynağı | url = http://journals.tc-library.org/index.php/hist_math_ed/article/viewFile/189/184 | ad1 = T. | soyadı1 = Patronis | ad2 = D. | soyadı2 = Patsopoulos | başlık = The Theorem of Thales: A Study of the naming of theorems in school Geometry textbooks | yayıncı = [[Patras University]] | erişimtarihi = 12 Şubat 2012 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20160303171258/http://journals.tc-library.org/index.php/hist_math_ed/article/viewFile/189/184 |arşivtarihi= 3 Mart 2016 | ölüurl =evet}}</ref> "bir daireye dik açılı bir üçgen çizen ilk kişi olduğu" şeklindeki ifadesini belgelemiştir.

Hint ve Babilli matematikçiler, bunu Thales kanıtlamadan önce özel durumlar için biliyorlardı.<ref>de Laet, Siegfried J. (1996). ''History of Humanity: Scientific and Cultural Development''. [[UNESCO]], Volume 3, s. 14. {{ISBN|92-3-102812-X}}</ref> Thales'in [[Babil]]'e yaptığı seyahatlerde yarım daire içine çizilmiş bir açının dik açı olduğunu öğrendiğine inanılıyor.<ref>Boyer, Carl B. and [[Uta Merzbach|Merzbach, Uta C.]] (2010). ''A History of Mathematics''. John Wiley and Sons, Chapter IV. {{ISBN|0-470-63056-6}}</ref> Teoremin adı Thales'ten sonra verilmiştir. Çünkü eski kaynaklar vasıtasıyla Thales'in teoremi ilk kanıtlayan kişi olduğu, kendi sonuçlarını kullanarak bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğunu ve bir üçgendeki açıların toplamının 180°'ye eşit olduğunu söylediği bilinmektedir.

==İspat==

===İlk ispat===
Aşağıdaki gerçekler kullanılır: [[üçgen]]in iç açılarının toplamı 180°'ye eşittir ve bir [[ikizkenar üçgen]]'in taban açıları eşittir.
{{Gallery
 |File:Animated illustration of thales theorem.gif|''AC'' çap olmak kaydıyla, ''B'' deki açı sabittir (90°).
 |File:Thales' Theorem.svg|Kanıt için şekil.
}}

{{overline|OA}} = {{overline|OB}} = {{overline|OC}} iken, ∆OBA ve ∆OBC ikizkenar üçgenlerdir ve bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği ile ∠OBC = ∠OCB and ∠OBA = ∠OAB'dir.

''α'' = ∠BAO ve β = ∠OBC olsun. ∆ABC üçgeninin üç iç açısı ''α'', (''α'' + ''β'') ve ''β'''dir. Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'ye eşit olduğu için,

:<math>\alpha+\left( \alpha + \beta \right) + \beta = 180^\circ </math>

:<math>2\alpha + 2\beta =180^\circ </math>

:<math>2( \alpha + \beta ) =180^\circ </math>

:<math>\therefore \alpha + \beta =90^\circ.</math>

[[QED|Q.E.D.]]

===İkinci ispat===
Teorem, [[trigonometri]] kullanılarak da kanıtlanabilir: <math>O = (0, 0)</math>, <math>A = (-1, 0)</math> ve <math>C = (1, 0)</math>. O halde B, <math>(\cos \theta, \sin \theta)</math> birim çember üzerindeki bir noktadır. {{overline|AB}} ve {{overline|BC}}'nin dik olduğunu, yani eğimlerinin çarpımının -1'e eşit olduğunu kanıtlayarak ∆ABC'nin dik açı oluşturduğunu göstereceğiz. {{overline|AB}} ve {{overline|BC}} için eğimleri hesaplıyoruz:

:<math>m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1}</math>

ve

:<math>m_{BC} = \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}</math>

Ardından, çarpımlarının -1'e eşit olduğunu gösteriyoruz:

: <math>\begin{align}
&m_{AB} \cdot m_{BC}\\[8pt]
= {} & \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}\\[8pt]
= {} & \frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta -1}\\[8pt]
= {} & \frac{\sin ^2 \theta}{-\sin ^2 \theta}\\[8pt]
= {} & {-1}
\end{align}</math>

[[Pisagor'un trigonometrik özdeşliği]]nin kullanımına dikkat edin; <math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>.

===Üçüncü İspat===
[[Dosya:Thales_theorem_by_refelection1.svg|küçükresim|Thales teoremi ve yansımalar]]
<math>ABC</math>, <math>AB</math>'nin bu çemberdeki çap olduğu bir daire içindeki bir üçgen olsun. Ardından <math>AB</math> çizgisi üzerinde <math>ABC</math> üçgenini aynalayarak ve ardından dairenin merkezinden geçen <math>AB</math>'ye dik olan çizginin üzerinden tekrar aynalayarak yeni bir üçgen <math>ABD</math> oluşturalım. <math>AC</math> ve <math>BD</math> çizgileri paralel olduğundan, <math>AD</math> ve <math>CB</math> için benzer şekilde, dörtgen <math>ABCD</math> bir paralelkenardır. <math>AB</math> ve <math>CD</math> çizgilerinin her ikisi de dairenin çapı olduğundan ve bu nedenle eşit uzunlukta olduklarından, paralelkenar bir dikdörtgen olmalıdır. Bir dikdörtgendeki tüm açılar dik açılardır.

==Tersi==
Herhangi bir üçgen ve özellikle herhangi bir dik üçgen için, üçgenin üç köşesini de içeren tam olarak bir daire vardır. (İspat taslağı: Verilen iki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların konumu, noktaları birleştiren doğru parçasının dik açıortayları olarak adlandırılan düz bir çizgidir. Bir üçgenin herhangi iki kenarının dikey [[açıortay]]ları tam olarak bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olmalıdır.) Bu daireye üçgenin [[çevrel çember]]i denir.

Thales teoremini formüle etmenin bir yolu şudur: bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi üçgenin üzerindeyse, o zaman üçgen diktir ve çemberinin merkezi onun hipotenüsü üzerinde yer alır.

O zaman Thales teoreminin tersi şudur: Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi hipotenüsü üzerinde yer alır. (Aynı şekilde, bir dik üçgenin hipotenüsü, çevrel çemberinin çapıdır.)

===Geometri kullanarak tersinin kanıtı===
[[Dosya:Thales' Theorem Converse.svg|küçükresim|upright=0.91|Teoremin tersinin kanıtı için çizilen şekil]]
Bu ispat, bir dikdörtgen oluşturmak için dik üçgeni 'tamamlamaktan' ve bu dikdörtgenin merkezinin köşelerden eşit uzaklıkta olduğunu ve dolayısıyla orijinal üçgenin çevrel çemberinin merkezinin olduğunu fark etmekten oluşur, iki olguyu kullanır:

* bir paralelkenardaki komşu açılar tamamlayıcıdır (180°'ye tamamlar) ve,
* bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve orta noktalarında birbirini keser.

∠ABC dik açı, r A'dan geçen ve {{overline|BC}}'ye paralel bir doğru, s C'den geçen {{overline|AB}}'ye paralel bir doğru olsun. D, r ve s doğrularının kesişme noktası olsun (D'nin çember üzerinde olduğu kanıtlanmamıştır.)

Dörtgen ABCD, yapı gereği bir paralelkenar oluşturur (zıt kenarlar paralel olduğundan). Paralelkenarda bitişik açılar tamamlayıcı olduğundan (180°'ye tamamlar) ve ∠ABC bir dik açı (90°) olduğundan, ∠BAD, ∠BCD ve ∠ADC açıları da diktir (90°); dolayısıyla ABCD bir dikdörtgendir.

{{overline | AC}} ve {{overline | BD}} köşegenlerinin kesişme noktası O olsun. O halde, yukarıdaki ikinci gerçekle O noktası, A, B ve C'den eşit uzaklıktadır. Ve böylece O, çevrel çemberin merkezidir ve üçgenin hipotenüsü ({{overline | AC}}), çemberin çapıdır.

===Geometri kullanarak tersinin kanıtının alternatifi===
Hipotenüsü {{mvar|AC}} olan bir dik üçgen {{mvar|ABC}} verildiğinde, çapı {{mvar|AC}} olan bir Ω çemberi oluşturulsun. {{Mvar|O}} Ω'nin merkezi olsun. {{Mvar|D}} Ω ve {{mvar|OB}} ışınının kesişim noktası olsun. Thales teoremine göre, ∠ {{mvar|ADC}} doğrudur. Ama sonra {{mvar|D}}, {{mvar|B}}'ye eşit olmalıdır. ({{Mvar|D}} ∆{{mvar|ABC}} içinde bulunuyorsa, ∠ {{mvar|ADC}} geniş açı olur ve {{mvar|D}} ∆ {{mvar|ABC}} dışında ise, ∠ {{mvar | ADC}} dar açı olacaktır.)

===Doğrusal cebir kullanarak tersinin kanıtı===
Bu kanıt iki gerçeği kullanır:
* iki çizgi, ancak ve ancak yön vektörlerinin [[Nokta çarpım|iç çarpım]]ı sıfırsa bir dik açı oluşturur ve
* bir [[vektör]]ün uzunluğunun karesi, vektörün kendi iç çarpımı ile verilir.

∠ABC dik açı ve çapı {{overline|AC|}} olan M çemberi olsun. Daha kolay hesaplama için M'nin merkezi orijin üzerinde olsun. O zaman biliyoruz ki;

* A = −C, çünkü başlangıç noktasına ortalanmış dairenin çapı {{overline|AC}}'dir ve
* (A − B) · (B − C) = 0, çünkü ∠ABC bir dik açıdır.

Buradan,

:0 = (A − B) · (B − C) = (A − B) · (B + A) = |A|<sup>2</sup> − |B|<sup>2</sup>.

Dolayısıyla:

:|A| = |B|.

Bu, ''A'' ve ''B''nin orijinden, yani ''M''nin merkezinden eşit uzaklıkta olduğu anlamına gelir. ''A'', ''M''nin üzerinde olduğu için, ''B'' de öyledir ve bu nedenle ''M'' çemberi üçgenin çevrel çemberidir.

Aslında yukarıdaki hesaplamalar, Thales teoreminin her iki yönünün de herhangi bir [[iç çarpım uzayı]] için geçerli olduğunu ortaya koymaktadır.

==Genellemeler ve ilgili sonuçlar==
Thales teoremi, aşağıdaki teoremin özel bir durumudur:
: Merkezi O olan bir çember üzerinde A, B ve C olmak üzere üç nokta verildiğinde, AOC açısı ∠ABC açısının iki katıdır.

Bakınız [[çevre açı]], bu teoremin ispatı, yukarıda verilen Thales teoreminin ispatına oldukça benzer.

Thales teoremine ilişkin bir sonuç şudur:

* {{Overline|AC}} bir dairenin çapıysa, o zaman:
: * B çemberin içindeyse, ∠ABC > 90°
: * B daire üzerindeyse, ∠ABC = 90°
: * B dairenin dışındaysa, ∠ABC <90°.

==Uygulama==
[[Dosya:Thales' Theorem Tangents.svg|küçükresim|Thales teoremini kullanarak bir teğet çizmek.]]
Thales teoremi, belirli bir noktadan geçen belirli bir daireye [[teğet]] çizmek için kullanılabilir. Sağdaki şekilde, O merkezi ve k dışında P noktası olan k çemberi, H'de OP'yi ikiye bölen ve merkezi H olan OH yarıçaplı daireyi çizin. OP bu çemberin çapıdır, dolayısıyla OP'yi çemberlerin kesiştiği T ve T' noktalarına bağlayan üçgenlerin ikisi de dik üçgenlerdir.

[[Dosya:Root_construction_geometric_mean5.svg|küçükresim|{{kayma|1=''q'' =&thinsp;1}} ile {{kayma|1=''h'' = <span style="font-size:100%;">&radic;</span>''<span style="text-decoration:overline;">pq&thinsp;</span>''}} [[geometrik ortalama teoremi]]ni kullanarak <span style="font-size:100%;">&radic;</span>''<span style="text-decoration:overline;">p&thinsp;</span>'' 'yi bulmak için geometrik yöntem]]
Thales teoremi, bir dairenin merkezini, örneğin bir kare veya daireden daha büyük bir dikdörtgen kağıt parçası gibi dik açılı bir nesne kullanarak bulmak için de kullanılabilir.<ref>[https://books.google.com/books?id=9jASBwAAQBAJ&pg=PA183 Resources for Teaching Mathematics: 14–16] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20200308103127/https://books.google.com/books?id=9jASBwAAQBAJ&pg=PA183 |tarih=8 Mart 2020 }} Colin Foster</ref> Açı, çevresinde herhangi bir yere yerleştirilir (şekil 1). İki tarafın çevre ile kesişme noktaları bir çapı tanımlar (şekil 2). Bunu farklı bir kesişim kümesiyle tekrarlamak başka bir çap verir (şekil 3). Merkez ise çapların kesişme noktasındadır.
[[Dosya:Thales_theorem_find_circle_centre.svg|küçükresim|upright=1.36|none|Thales teoreminin kullanımı ve çemberin merkezini bulmak için bir dik açının çizimi]]

==Notlar==
{{Kaynakça}}

==Kaynakça==
*{{Kitap kaynağı |başlık=Elementary Geometry|url=https://archive.org/details/elementarygeomet0000agri|ad1=Ilka|soyadı1=Agricola|yazarbağı1= Ilka Agricola |ad2=Thomas|soyadı2=Friedrich
|yayıncı=AMS|yıl=2008|isbn=0-8218-4347-8|sayfa=[https://archive.org/details/elementarygeomet0000agri/page/50 50]}} ({{Google Kitaplar|Ts20OwbWfPkC|restricted online copy|page=50}})
*{{Kitap kaynağı |başlık=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid|cilt=I
|ad=T.L.|soyadı=Heath|yazarbağı=Thomas L. Heath
|yayıncı=Oxford|yıl=1921|sayfalar=131ff.|url=https://archive.org/details/cu31924008704219}}

==Dış bağlantılar==
* {{MathWorld |title=Thales' Theorem |urlname=ThalesTheorem}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/inscribed.shtml Munching on Inscribed Angles]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20121127210046/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/inscribed.shtml |tarih=27 Kasım 2012 }}
* [http://www.mathopenref.com/thalestheorem.html Thales's theorem explained]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20121023114716/http://mathopenref.com/thalestheorem.html |tarih=23 Ekim 2012 }}, with interactive animation
* [http://demonstrations.wolfram.com/ThalesTheorem/ Demos of Thales's theorem]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20121113203310/http://demonstrations.wolfram.com/ThalesTheorem/ |tarih=13 Kasım 2012 }} by Michael Schreiber, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

{{Yunan matematiği}}

[[Kategori:Öklid geometrisi]]
[[Kategori:Üçgen geometrisi]]
[[Kategori:Öklid geometrisi teoremleri]]
[[Kategori:Kanıt içeren maddeler]]