Toplam sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]] alanında, ''toplam'' veya ''genel toplam'' olarak sonuçlanan, ''toplananlar'' ya da ''toplamalar'' diye adlandırılan bir [[sayı]] [[dizi]]sinin [[toplama|eklenme]] sürecine '''toplam'''/'''toplama''' denir. Sayıların yanı sıra, [[fonksiyon (matematik)|fonksiyonlar]], [[vektör uzayı|vektörler]], [[matris (matematik)|matrisler]], [[polinom]]lar ve genelde "+" işareti ile tanımlanmış işleme sahip diğer tüm [[matematiksel nesne]] türleri de toplanabilir.

[[Sonsuz dizi]]ler üzerinde gerçekleştirilen toplam işlemleri [[seri (matematik)|seriler]] olarak isimlendirilir. Bu tür toplamlar, [[limit (matematik)|limit]] kavramını barındırır ve bu makale kapsamında değerlendirilmemektedir.

Belirli bir diziye ilişkin toplam, ardışık toplama işlemleri ile tanımlanır. Örnek olarak, {{math|[1, 2, 4, 2]}} elemanlarının toplamı {{math|1 + 2 + 4 + 2}} şeklinde ifade edilir ve bu işlem sonucunda 9 değeri elde edilir; bir diğer deyişle {{math|1=1 + 2 + 4 + 2 = 9}}. Toplama işleminin [[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|birleşme]] ve [[Değişme özelliği|değişme]] özellikleri dolayısıyla, işlem sırasının değişmesinden bağımsız olarak sonuç değişmez ve parantez kullanımına gerek kalmaz. Tek bir eleman içeren bir dizinin toplamı, o elemanın kendisidir. Eleman barındırmayan boş bir dizinin toplamı ise, konvansiyonel olarak sıfır olarak kabul edilir.

Genellikle, bir dizinin elemanları, bu elemanların dizideki konumlarına bağlı olarak belirli bir düzen içinde bir [[fonksiyon (matematik)|fonksiyon]] olarak tanımlanmaktadır. Basit düzenlerde, uzun dizilerdeki toplamlar, birçok toplananın üç nokta ile yer değiştirmesi şeklinde ifade edilebilir. Örnek olarak, ilk yüz [[doğal sayı]]nın toplamı {{math|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100}} biçiminde belirtilebilir. Diğer durumlarda, toplama işlemi [[#Büyük-sigma notasyonu|Σ notasyonu]] ile ifade edilir; burada <math display="inline">\sum</math>, büyütülmüş bir [[sigma]] harfine işaret eder. İlk {{mvar|n}} doğal sayının toplamı, örneğin, <math display="inline"> \sum_{i=1}^n i,</math> şeklinde tanımlanabilir.

Uzun toplam işlemleri ve değişken uzunlukta olan toplam işlemleri için (üç nokta veya Σ notasyonu ile ifade edilenler), sonucun [[kapalı form ifadesi]]ne ulaşmak sık karşılaşılan bir problemdir. Örneğin,{{efn|Detaylar için [[üçgensel sayı]] maddesine göz atınız.}}

:<math>\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.</math>

Bu tür formüllerin her zaman bulunabilir olmadığı durumlar olmakla birlikte, birçok toplam formülü tespit edilmiştir; bu makalede yer alan bölümler, en yaygın ve temel formüllerden bazılarını içermektedir.

== Notasyon ==
=== Büyük-sigma notasyonu ===
[[Dosya:Greek uc sigma.svg|küçükresim|upright=0.34|Toplama sembolü]]
Matematiksel notasyon, birçok benzer terimin toplamını kompakt bir şekilde temsil eden bir sembol kullanır: ''toplama sembolü'', <math display="inline">\sum</math>, dik büyük Yunan harfi [[sigma]]'nın büyük harfli formudur. Bu,
:<math>\sum_{i \mathop =m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_{n-1} + a_n</math>
şeklinde tanımlanır; burada {{math|''i''}} '''toplama endeksi''' olarak adlandırılır; {{math|''a<sub>i</sub>''}} toplamın her terimini temsil eden dizinli değişkendir; {{math|''m''}} '''toplamın alt sınırı''' ve {{math|''n''}} '''toplamın üst sınırı'''dır. Toplama sembolünün altında yer alan "{{math|1=''i'' = ''m''}}" ifadesi, indeks {{math|''i''}}'nin {{math|''m''}} ile başladığını belirtir. İndeks, {{math|''i''}}, her ardışık terim için bir arttırılarak, {{math|1=''i'' = ''n''}} olduğunda durur.{{efn|Toplama notasyonu ve toplamlarla aritmetik üzerine detaylı bir inceleme için bkz. {{Kitap kaynağı |soyadı1=Graham |ad1=Ronald L. |soyadı2=Knuth |ad2=Donald E. |soyadı3=Patashnik |ad3=Oren |yıl=1994 |başlık=Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science |basım=2.|bölüm=Chapter 2: Sums |yayıncı=Addison-Wesley Professional |isbn=978-0201558029 |url=http://www.cse.iitb.ac.in/~vsevani/Concrete%20Mathematics%20-%20R.%20Graham,%20D.%20Knuth,%20O.%20Patashnik.pdf}}{{dead link|date=March 2018 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}}}

Bu ifade, "{{math|1=''i'' = ''m''}} ile başlayıp {{math|''n''}} ile biten değerlerin toplamı" şeklinde okunur.

Karelerin toplamını gösteren bir örnek aşağıda verilmiştir:
:<math>\sum_{i = 3}^6 i^2 = 3^2+4^2+5^2+6^2 = 86.</math>

Genelde, bir toplama işleminin indeksi olarak belirsizlik oluşturmayacak şekilde herhangi bir değişken kullanılabilir. Toplama indeksi olarak en sık kullanılan semboller arasında <math>i</math>,{{efn|[[i sayısı]] <math>i</math> ile karıştırılma ihtimali bulunmadığında}} <math>j</math>, <math>k</math> ve <math>n</math> yer alır; bunlardan sonuncusu sıklıkla toplamaların üst sınırını belirtmek için tercih edilir.

Alternatif bir yaklaşım olarak, eğer bağlam yeterince açıksa, toplama işlemi tanımından indeks ve sınırlar bazen çıkarılabilir. Bu durum, özellikle indeksin 1'den ''n'''ye uzandığı hallerde uygulanır.<ref>{{Web kaynağı|başlık=Summation Notation|url=http://www.columbia.edu/itc/sipa/math/summation.html|erişimtarihi=16 Ağustos 2020|website=www.columbia.edu|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200731083159/http://www.columbia.edu/itc/sipa/math/summation.html|arşivtarihi=31 Temmuz 2020|ölüurl=hayır}}</ref> Örnek olarak, aşağıdaki ifade kullanılabilir:
:<math>\sum a_i^2 = \sum_{i = 1}^n a_i^2.</math>

Bu gösterimlerin çeşitli genellemeleri sıklıkla tercih edilir; burada, belirlenen keyfi bir mantıksal koşul altında, bu koşulu karşılayan tüm değerlerin toplamı gerçekleştirilmek üzere tasarlanmıştır. Örnek olarak:
:<math>\sum_{0 \le k < 100} f(k)</math>
<math display=inline>\sum_{k = 0}^{99} f(k),</math> gösteriminin alternatif bir biçimidir ve belirlenen aralıkta yer alan tüm ([[tam sayı]]lar) <math>k</math> için <math>f(k)</math> değerlerinin toplamını temsil eder. Aynı şekilde,
:<math>\sum_{x \mathop \in S} f(x)</math>
küme <math>S</math> içerisindeki tüm elemanlar <math>x</math> için <math>f(x)</math> toplamını ifade eder ve
:<math>\sum_{d,|,n};\mu(d)</math>
<math>n</math>'i [[bölen]] pozitif tam sayılar <math>d</math> üzerinden <math>\mu(d)</math> toplamını gösterir.{{efn|Serbest değişkenlerin ve bağlı değişkenlerin ismi, tanım itibarıyla önemsizdir; ancak, karışıklık riski olduğunda genellikle alfabe ortasındaki harfler (<math>i</math>'den <math>q</math>'ya kadar) tam sayıları ifade etmek için kullanılır. Örneğin, yorumlamada kesin bir netlik olmasına karşın, birçok matematikçi yukarıdaki formüllerde <math>k</math> yerine <math>x</math> kullanılmasını muhtemelen anlaşılması güç bulabilir.}}

Çok sayıda sigma işaretinin kullanımı genelleştirilebilir şekilde ifade edilebilir. Örnek olarak,
:<math>\sum_{i,j}</math>
ifadesi,
:<math>\sum_{i}\sum_{j}.</math>
ile aynı anlamı taşır.

Dizi çarpımı için benzer bir notasyon kullanılır; burada, Yunan alfabesinin büyük harfi [[Pi (harf)|pi]]'nin genişletilmiş formu olan <math display="inline">\prod</math>, <math display="inline">\sum</math> işaretinin yerine tercih edilir.

===Özel durumlar===
İki sayıdan daha az sayıda sayı ile toplam işlemi mümkündür:

* Eğer toplamda yalnızca bir toplama elemanı <math>x</math> bulunuyorsa, bu durumda elde edilen toplam <math>x</math> değeridir.
* Toplamda hiçbir toplama elemanı bulunmamaktaysa, elde edilen toplam [[0 (sayı)|sıfır]] olacaktır, çünkü sıfır toplama işlemi için [[birim eleman]] özelliği taşır. Bu durum, ''[[boş toplam]]'' olarak adlandırılır.

Bu türden niteliksiz durumlar genellikle toplama notasyonu özel bir durumda geçersiz bir sonuç ürettiğinde tercih edilir. Örneğin, tanımda <math>n=m</math> olduğunda toplam içerisinde yalnızca bir eleman bulunur; <math>n=m-1</math> olduğunda ise herhangi bir eleman bulunmamaktadır.

== Resmi tanım ==
Toplam işlemi, yinelemeli olarak şöyle tanımlanabilir:
:<math>\sum_{i=a}^b g(i)=0</math>, <math>b<a </math> durumunda;
:
:<math>\sum_{i=a}^b g(i)=g(b)+\sum_{i=a}^{b-1} g(i)</math>, <math>b \geqslant a</math> durumunda.

== Ölçü teorisi notasyonu ==
[[Ölçü (matematik)|Ölçü]] ve [[integral|integrasyon]] teorileri çerçevesinde, bir toplam [[belirli integral]] şeklinde gösterilebilir,

:<math>\sum_{k \mathop =a}^b f(k) = \int_{[a,b]} f,d\mu</math>

burada <math>[a, b]</math>, <math>a</math>'dan <math>b</math>'ye kadar olan tam sayıların [[altküme]]sini ifade eder ve <math>\mu</math>, tam sayılar üzerinden alınan [[sayma ölçüsü]]dür.

== Sonlu farklar kalkülüsü ==

Verilen bir {{mvar|f}} fonksiyonunun tam sayılar üzerinde tanımlandığı ve [[aralık (matematik)|aralık]] {{math|[''m'', ''n'']}} içerisinde yer aldığı durumda, aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
:<math>f(n)-f(m)= \sum_{i=m}^{n-1} (f(i+1)-f(i)).</math>

Bu durum, [[teleskopik seri]] olarak tanımlanır ve [[Sonlu fark|sonlu farklar hesabı]] içindeki [[kalkülüsün temel teoremi]]ne benzer bir yaklaşım sunar. Bu teorem, şu şekilde ifade edilir:
:<math>f(n)-f(m)=\int_m^n f'(x) dx,</math>
burada
:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
{{mvar|f}} fonksiyonunun [[türev]]i olarak belirtilir.

Yukarıdaki eşitliğin bir uygulama örneği şöyledir:
:<math>n^k=\sum_{i=0}^{n-1} \left((i+1)^k-i^k\right).</math>
[[binom teoremi]] yardımıyla, bu ifade şu şekilde dönüştürülebilir:
:<math>n^k=\sum_{i=0}^{n-1} \biggl(\sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} i^j\biggr).</math>

Yukarıda verilen formül, aşağıda tanımı yapılan [[fark operatörü]] <math>\Delta</math> için tersine çevirme işleminde genellikle tercih edilir:
:<math>\Delta(f)(n)=f(n+1)-f(n),</math>
burada {{mvar|f}}, sıfır veya daha büyük tam sayılar üzerinde tanımlanmış bir fonksiyondur.
Bu bağlamda, belirtilen {{mvar|f}} fonksiyonu için görev, {{mvar|f}}'nin [[ters fark]]ını, yani <math>F=\Delta^{-1}f</math> şeklinde tanımlanacak öyle bir fonksiyonu hesaplamaktır ki, <math>\Delta F=f</math> denklemini sağlar. Başka bir deyişle, <math>F(n+1)-F(n)=f(n).</math>
Bu fonksiyon bir sabit değer eklenmesi dışında belirlenmiştir ve şu biçimde ifade edilebilir:<ref name=CRC>''Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics'', Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, {{isbn|0-8493-0149-1}}.</ref>
:<math>F(n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(i).</math>

Bu tip toplamlar için her zaman bir [[kapalı form ifadesi]] mevcut olmayabilir; fakat [[Faulhaber formülü]], <math>f(n)=n^k</math> durumunda ve [[doğrusallık]] prensibi gereği her [[polinom|polinom fonksiyonu]] için kapalı bir form sunar.

==Belirli integrallerle yaklaşım==

Birçok yaklaşım (İng. ''approximation''), toplamlar ile [[integral]]ler arasında kurulan ve herhangi bir [[monoton fonksiyon|artan]] ''f'' fonksiyonu için geçerli olan şu bağlantı ile sağlanabilir:

:<math>\int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds.</math>

ve herhangi bir [[monoton fonksiyon|azalan]] ''f'' fonksiyonu için:

:<math>\int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds.</math>

Daha kapsamlı yaklaşımlar için, [[Euler–Maclaurin formülü]] incelenebilir.

Toplama işlemi, indeksin bir [[Riemann integrali|integral]] fonksiyonu tarafından verilmiş veya bu yöntemle elde edilmişse, toplama işlemi ilgili belirli integralin tanımında yer alan bir [[Riemann toplamı]] olarak değerlendirilebilir. Bu bağlamda, örneğin

:<math>\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) \approx \int_a^b f(x)\ dx,</math>

beklenir; zira sağ tarafta yer alan ifade, sol tarafta yer alan ifadenin <math>n\to\infty</math> limiti olarak tanımlanmıştır. Ancak, belirli bir toplam için ''n'' sabit kaldığından, ''f'' hakkında ek varsayımlar yapılmadan yukarıdaki yaklaşımdaki hata hakkında sınırlı bilgi verilebilir: Özellikle şiddetli dalgalanan fonksiyonlar için, Riemann toplamı, Riemann integralinden önemli ölçüde farklı olabilir.

== Özdeşlikler ==
Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir.

=== Genel özdeşlikler ===
: <math>\sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) \quad</math> ([[Dağılma özelliği|dağılma]])<ref name=":0">{{Web kaynağı|başlık=Calculus I - Summation Notation|url=https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/summationnotation.aspx|erişimtarihi=16 Ağustos 2020|website=tutorial.math.lamar.edu|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200811163030/https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/SummationNotation.aspx|arşivtarihi=11 Ağustos 2020|ölüurl=hayır}}</ref>
: <math>\sum_{n=s}^t f(n) \pm \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left(f(n) \pm g(n)\right)\quad</math> ([[Değişme özelliği]] ve [[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|birleşme özelliği]])<ref name=":0" />
: <math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)\quad</math> (indeks öteleme)
: <math>\sum_{n\in B} f(n) = \sum_{m\in A} f(\sigma(m)), \quad</math> (ifadesi, sonlu bir küme {{mvar|A}} üzerinden başka bir küme {{mvar|B}}'ye bir [[bijeksiyon]] {{mvar|σ}} aracılığıyla gerçekleşen bir eşleme durumunda geçerlidir; bu durum, önceki formülü daha genel bir bağlama taşır.)
: <math>\sum_{n=s}^t f(n) =\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n)\quad</math> ([[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|Birleşme özelliği]]ni kullanarak toplamın parçalanması)
: <math>\sum_{n=a}^{b}f(n)=\sum_{n=0}^{b}f(n)-\sum_{n=0}^{a-1}f(n)\quad</math> (bir önceki formülün bir başka formu)
: <math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=0}^{t-s} f(t-n)\quad</math> (ifadesinde, serinin ilk elemanından son elemanına kadar olan toplamı, serinin son elemanından başlayıp ilk elemanına doğru olan toplamına eşdeğerdir. Bu durum, toplamın simetrisini ve ters çevrilebilirliğini vurgular.)
: <math>\sum_{n=0}^t f(n) = \sum_{n=0}^{t} f(t-n)\quad</math> (bir önceki formülün bir başka formu)
: <math>\sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} = \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j}\quad</math> (değişme özelliği ve birleşme özelliği)
: <math>\sum_{k\le j \le i\le n} a_{i,j} = \sum_{i=k}^n\sum_{j=k}^i a_{i,j} = \sum_{j=k}^n\sum_{i=j}^n a_{i,j} =
\sum_{j=0}^{n-k}\sum_{i=k}^{n-j} a_{i+j,i}\quad</math> (değişme ve birleşme özelliğinin bir başka uygulaması)
: <math>\sum_{n=2s}^{2t+1} f(n) = \sum_{n=s}^t f(2n) + \sum_{n=s}^t f(2n+1)\quad</math> ifadesi, bir toplamın [[Parite (matematik)|tek]] ve [[Parite (matematik)|çift]] bileşenlerine ayrılmasını ifade eder, burada çift sayılı indeksler için bu ayrım yapılmaktadır. Bu yöntem, toplamın daha sistemli bir şekilde incelenmesini sağlar.
: <math>\sum_{n=2s+1}^{2t} f(n) = \sum_{n=s+1}^t f(2n) + \sum_{n=s+1}^t f(2n-1)\quad</math> (toplamın tek indeks ile çift ve tek unsurlarına ayrılması)
:<math>\biggl(\sum_{i=0}^{n} a_i\biggr) \biggl(\sum_{j=0}^{n} b_j\biggr)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_ib_j \quad</math> ([[Dağılma özelliği]])
: <math>\sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \biggl(\sum_{i=s}^m a_i\biggr) \biggl( \sum_{j=t}^n c_j \biggr)\quad</math> (ifadesi, dağılma özelliğinin, çarpım işlemlerinin faktörler olarak ifade edilmesine olanak tanıdığını gösterir. Bu durum, iki farklı serinin çarpımının, her bir serinin toplamlarının çarpımına eşdeğer olduğunu ifade eder. Bu yöntem, serilerin çarpımını basitleştirerek analiz etmeyi kolaylaştırır.)
: <math>\sum_{n=s}^t \log_b f(n) = \log_b \prod_{n=s}^t f(n)\quad</math> (ifadesi, bir çarpım işleminin [[logaritma]]sının, bu çarpımda yer alan bireysel terimlerin logaritmalarının toplamına denk olduğunu belirtir. Bu özellik, çarpım işlemlerinin logaritmik ifadesini analiz etmek için matematiksel bir kolaylık sağlar ve çarpım işlemlerinin logaritmalarını basitleştirerek toplama dönüştürmeyi mümkün kılar.)
: <math>\sum\limits_{n=s}^t f(n)</math> (ifadesinin <math>C</math> tabanında [[üs alma|üssü]], <math>n=s</math>'den <math>n=t</math>'ye kadar olan <math>f(n)</math> fonksiyonunun her bir değeri için <math>C</math>'nin alınmış üslerinin çarpımına eşittir)
: <math>\sum^{k}{m = 0}\sum^{m}{n = 0}f(m,n)=\sum^{k}{m = 0}\sum^{k}{n = m}f(n,m),\quad</math> (ifadesi, <math display="inline">\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math> üzerinde tanımlanmış herhangi bir <math display="inline">f</math> fonksiyonu için geçerlidir.)

===Aritmetik dizilerin üs alınması ve logaritma hesaplamaları===

: <math>\sum_{i=1}^n c = nc\quad</math> ifadesi, {{mvar|c}} sabiti {{mvar|i}}'den bağımsız olduğunda her n için geçerlidir.
: <math>\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\qquad</math> (''n'' doğal sayının toplamı, bu sayılar en basit [[aritmetik dizi]]yi oluşturur.){{r|CRC|p=52}}
: <math>\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2\qquad</math> (tek doğal sayıların toplamı)
: <math>\sum_{i=0}^{n} 2i = n(n+1)\qquad</math> (çift doğal sayıların toplamı)
: <math>\sum_{i=1}^{n} \log i = \log n!\qquad</math> (bir dizi logaritmanın toplamı, bu değerlerin çarpımının logaritması ile eşdeğerdir)
: <math>\sum_{i=0}^n i^2 = \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}\qquad</math> ([[Tam kare|kare]] sayıların toplamı, [[kare piramidal sayı]]yla ilgilidir.) {{r|CRC|p=52}}
: <math>\sum_{i=0}^n i^3 = \biggl(\sum_{i=0}^n i \biggr)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4}\qquad</math> ([[Nicomachus teoremi]]ne göre) {{r|CRC|p=52}}

Daha geniş bir perspektiften, <math>p>1</math> durumu için [[Faulhaber'in formülü]] aşağıdaki gibidir:
: <math> \sum_{k=1}^n k^{p} = \frac{n^{p+1}}{p+1} + \frac{1}{2}n^p + \sum_{k=2}^p \binom p k \frac{B_k}{p-k+1},n^{p-k+1},</math>
Bu ifadede, <math>B_k</math>, bir [[Bernoulli sayısı]] olarak tanımlanır ve <math>\binom p k</math>, bir [[binom katsayısı]] olarak bilinir. Bu formül, polinom derecesinin kuvvetleri toplamını hesaplamada kullanılır ve Bernoulli sayıları ile bu toplamlar arasındaki ili

=== Üs değerlerindeki toplam indeksleri ===
Aşağıdaki toplam ifadelerde, {{mvar|a}} değerinin 1'den farklı olduğu kabul edilmektedir.

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a}</math> (bir [[geometrik dizi]]nin toplamı olarak)
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2^i} = 2-\frac{1}{2^{n-1}}</math> ({{math|1=''a'' = 1/2}} için özel bir durum)
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i a^i =\frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2}</math> (geometrik dizinin {{mvar|a}}'ya göre türetilmiş ifadesinin {{mvar|a}} ile çarpılması sonucu)
: <math>\begin {align}
\sum_{i= 0}^{n-1} \left(b + i d\right) a^i &= b \sum_{i= 0}^{n-1} a^i + d \sum_{i= 0}^{n-1} i a^i\\
 & = b \left(\frac{1-a^n}{1-a}\right) + d \left(\frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2}\right)\\
 & = \frac{b(1-a^n) - (n - 1)d a^n}{1 - a}+\frac{da(1 - a^{n - 1})}{(1 - a)^2}
\end {align}</math>
:::(bir [[aritmetik-geometrik dizi]]nin toplamı)

=== Binom katsayıları ve faktöriyeller ===

Binom katsayılarını içeren pek çok toplam özdeşliği mevcuttur; ''[[Concrete Mathematics]]'' adlı eserin bir bölümü bu temel tekniklerin incelenmesine özel olarak ayrılmıştır. Bu özdeşliklerin en temel olanlarından bazıları aşağıda sunulmuştur.

====Binom teoremi bağlamında====
: <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{n-i} b^i=(a + b)^n,</math> ifadesi [[binom teoremi]]ni temsil eder.
: <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n,</math> ifadesi, {{math|1=''a'' = ''b'' = 1}} durumunda, binom katsayılarının toplamının özel bir halidir.
: <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i}p^i (1-p)^{n-i}=1</math>, ifadesi {{math|1=''p'' = ''a'' = 1 − ''b''}} durumunda olup, <math>0 \le p \le 1,</math> aralığında [[binom dağılımı]]nın toplam değerlerini gösterir.
: <math>\sum_{i=0}^{n} i{n \choose i} = n(2^{n-1}),</math> ifadesi, {{math|1=''a'' = ''b'' = 1}} durumunda, binom teoreminin türetilmiş formunu verir.
: <math>\sum_{i=0}^n \frac{n \choose i}{i+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1},</math> ifadesi, {{math|1=''a'' = ''b'' = 1}} durumunda, binom teoreminin integral alınmış formunun bir değerini ifade eder.

====Permütasyon sayıları bağlamında====
Aşağıda verilen toplamlarda, <math>{}_{n}P_{k}</math>, [[k-permutasyon|{{math|''k''}}-permutasyonlarından {{math|''n''}}]] sayısını temsil eder.
: <math>\sum_{i=0}^{n} {}_{i}P_{k}{n \choose i} = {}_{n}P_{k}(2^{n-k})</math> ifadesi, verilen kapsamdaki permutasyon sayılarının bir toplamını ifade eder.
: <math>\sum_{i=1}^n {}_{i+k}P_{k+1} = \sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^k (i+j) = \frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}</math> ifadesi, belirli bir kapsamdaki ardışık sayıların çarpımlarının toplamını ve bu toplamın matematiksel ifadesini gösterir.
: <math>\sum_{i=0}^{n} i!\cdot{n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {}_{n}P_{i} = \lfloor n! \cdot e \rfloor, \quad n \in \mathbb{Z}^+</math> ifadesi, faktöriyel ve permutasyon sayılarının toplamlarını hesaplar ve bu toplamların bir tam sayıya yuvarlanmış halini, yani [[taban fonksiyonu]]nu kullanarak ifade eder.

====Diğerleri====
: <math>\sum_{k=0}^{m} \binom{n+k}{n} = \binom{n+m+1}{n+1}</math>
: <math>\sum_{i=k}^{n} {i \choose k} = {n+1 \choose k+1}</math>
: <math>\sum_{i=0}^n i\cdot i! = (n+1)! - 1</math>
: <math>\sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i} = {m+n \choose n}</math>
:<math>\sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 = {2n \choose n}</math>
:<math>\sum_{i=0}^n \frac{1}{i!} = \frac{\lfloor n!\; e \rfloor}{n!}</math>

===Harmonik sayılar===

: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n\quad</math> ifadesi, {{mvar|n}}'inci [[harmonik sayı]]yı temsil eder.
: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n\quad</math> ifadesi, bir [[genelleştirilmiş harmonik sayı]]yı ifade eder.

==Büyüme hızları==
Aşağıdaki ifadeler, çeşitli fonksiyonların büyüme hızlarını gösteren [[yaklaşık]] değerlerdir ([[Büyük O gösterimi|theta notasyonu]] kullanılarak):

: <math>\sum_{i=1}^n i^c \in \Theta(n^{c+1})</math> ifadesi, reel ''c'' değeri −1'den büyükse geçerlidir.
:
: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \in \Theta(\log_e n)</math>.
:
: <math>\sum_{i=1}^n c^i \in \Theta(c^n)</math> ifadesi, reel ''c'' değeri 1'den büyükse geçerlidir.
:
: <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \in \Theta(n \cdot \log(n)^{c})</math> ifadesi, negatif olmayan reel ''c'' değeri için geçerlidir.
:
: <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \in \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})</math> ifadesi, negatif olmayan reel ''c'', ''d'' değerleri için geçerlidir.
:
: <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \cdot b^i \in \Theta (n^d \cdot \log(n)^c \cdot b^n)</math> ifadesi, negatif olmayan reel ''b'' > 1, ''c'', ''d'' değerleri için geçerlidir.

==Tarihçe==
* 1675 yılında, [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], [[Henry Oldenburg]]'a gönderdiği bir mektupta, farklı diferansiyellerin toplamını göstermek için ∫ sembolünü önermiş ve bu öneri Latince 'calculus summatorius' (toplam hesabı) teriminden dolayı S şeklini almıştır.<ref>{{kitap kaynağı
 |ad=David M.
 |soyadı=Burton
 |başlık=The History of Mathematics: An Introduction
 |yıl=2011
 |seri=7th
 |yayıncı=McGraw-Hill
 |isbn=978-0-07-338315-6
 |sayfa=414
}}</ref><ref>{{kitap kaynağı
 |ad=Gottfried Wilhelm
 |soyadı=Leibniz
 |yazarbağı=Gottfried Wilhelm Leibniz
 |başlık=Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band
 |url=http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001
 |yıl=1899
 |editör-ad=Karl Immanuel
 |editör-soyadı=Gerhardt
 |yer=Berlin
 |yayıncı=Mayer & Müller
 |sayfa=[https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/aax2762.0001.001/185?page=root;size=100;view=image 154]
}}</ref>{{sfnp|Cajori|1929|pages=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.88254/page/n203 181-182]}} Bu sembolün ''[[integral]]'' olarak yeniden adlandırılması, sonradan [[Johann Bernoulli]] ile olan yazışmalar sırasında gerçekleşmiştir.{{sfnp|Cajori|1929|pages=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.88254/page/n203 181-182]}}
* 1755 yılında, sigma toplam sembolü, [[Leonhard Euler]]'ın ''[[Institutiones calculi differentialis]]'' adlı çalışmasında ilk kez kaydedilmiştir.{{sfnp|Cajori|1929|p=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.88254/page/n83 61]}}<ref>{{kitap kaynağı
 |soyadı1=Euler
 |ad1=Leonhard
 |yazarbağı=Leonhard Euler
 |başlık=Institutiones Calculi differentialis
 |tarih=1755
 |yer=Petropolis
 |sayfa=[https://www.digitale-sammlungen.de/en/view/bsb10053431?page=54,55 27]
 |url=https://www.digitale-sammlungen.de/en/view/bsb10053431?page=54,55
 |dil=Latince
 |erişim-tarihi=28 Nisan 2024
 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20230404233704/https://www.digitale-sammlungen.de/en/view/bsb10053431?page=54,55
 |arşivtarihi=4 Nisan 2023
 |ölüurl=hayır
 }}</ref> Euler sembolü aşağıdaki denklikler için kullanmıştır:
: <math>\Sigma \ (2 wx + w^2) = x^2</math>
* 1772 yılında, Σ and Σ<sup>n</sup> sembolünün kullanımı [[Lagrange]] tarafından kayıt altına alınmıştır. {{sfnp|Cajori|1929|p=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.88254/page/n83 61]}}<ref>{{kitap kaynağı
 |soyadı1=Lagrange
 |ad1=Joseph-Louis
 |yazarbağı=Joseph-Louis Lagrange
 |başlık=Oeuvres de Lagrange. Tome 3
 |tarih=1867–1892
 |yer=Paris
 |sayfa=[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f452.item 451]
 |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f452.item
 |dil=Fransızca
 |erişim-tarihi=28 Nisan 2024
 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20230408053033/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f452.item
 |arşivtarihi=8 Nisan 2023
 |ölüurl=hayır
 }}</ref>
* 1823 yılında, büyük 'S' harfi, seriler için bir toplam sembolü olarak kullanılmış ve bu kullanım geniş çapta yaygınlaşmıştır.{{sfnp|Cajori|1929|p=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.88254/page/n83 61]}}
* 1829 yılında, Σ toplam sembolü, [[Joseph Fourier|Fourier]] ve [[Carl Gustav Jacob Jacobi|C. G. J. Jacobi]] tarafından kullanılmış ve bu kullanım belgelenmiştir.{{sfnp|Cajori|1929|p=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.88254/page/n83 61]}} Fourier'in metodolojisi, belirli alt ve üst sınırlar dahilinde değerlendirmeleri içermektedir.<ref>{{kitap kaynağı
 |başlık=Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France pour l'année 1825, tome VIII
 |tarih=1829
 |yayıncı=Didot
 |yer=Paris
 |sayfalar=[https://books.google.com/books?id=Mpu9XDBOmagC&pg=583 581-622]|url=https://books.google.com/books?id=Mpu9XDBOmagC&pg=583
 |dil=Fransızca}}</ref><ref>{{kitap kaynağı
 |soyadı1=Fourier
 |ad1=Jean-Baptiste Joseph
 |yazarbağı=Joseph Fourier
 |başlık=Oeuvres de Fourier. Tome 2
 |tarih=1888–1890
 |yayıncı=Gauthier-Villars
 |yer=Paris
 |sayfa=[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707/f154.item 149]
 |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707/f154.item
 |dil=Fransızca
 |erişim-tarihi=28 Nisan 2024
 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20230407002101/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707/f154.item
 |arşivtarihi=7 Nisan 2023
 |ölüurl=hayır
 }}</ref> Örneğin:
: <math>\sum_{i=1}^{\infty}e^{-i^2t} \ldots</math> ifadesi, sonsuz bir serinin toplamını ve bu toplamın nasıl ele alınacağını gösterir. Bu tür bir ifade, matematiksel analizde sıkça karşılaşılan karmaşık seri hesaplamalarını temsil eder.

==Notlar==
{{not listesi}}

==Kaynakça==
{{Kaynakça}}

== Bibliografya ==
* {{Kitap kaynağı
 |ad=Florian
 |soyadı=Cajori
 |yazarbağı=Florian Cajori
 |başlık=A History Of Mathematical Notations Volume II
 |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.88254
 |yıl=1929
 |yayıncı=Open Court Publishing
 |isbn=978-0-486-67766-8
}}

==Dış bağlantılar==
* {{commons kategori-ufak}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Matematiksel gösterim]]
[[Kategori:Toplama]]