Toplama sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Addition01.svg|küçükresim|upright=0.55|3+2=5 [[Elma]]lar ders kitaplarındaki popüler örneklerdir.]]
'''Toplama işlemi''' (genellikle [[Artı ve eksi işaretleri#Toplama işareti|toplama işareti]] {{char|+}} ile sembolize edilir) dört ana [[aritmetik]] [[işlem]]den biridir. Diğer aritmetik işlemler [[çıkarma]], [[çarpma]] ve [[bölme]]dir. İki [[Doğal sayılar|doğal sayının]] toplaması sayı değerlerinin ''[[toplam]]''ını üretir. Yandaki resimdeki örnek, toplamda beş elma oluşturan üç elma ve iki elmanın toplamasını göstermektedir. Bu gözlem, [[İfade (matematik)|matematik ifadesi]] ile {{kayma|1="3 + 2 = 5"}} olarak ifade edilir (sözlü olarak "3 ''artı'' 2 [[eşittir işareti|eşittir]] 5.)

Toplama, öğeleri [[sayma]]nın yanı sıra, [[Fiziksel cisim|somut nesne]]lere atıfta bulunmadan, [[tam sayı|tamsayı]]lar, [[reel sayılar]] ve [[karmaşık sayılar]] gibi [[sayı]]lar olarak adlandırılan soyutlamalar kullanılarak da tanımlanabilir ve yürütülebilir. Toplama, [[matematik|matematiğin]] bir dalı olan [[aritmetik|aritmetiğe]] aittir. Matematiğin başka bir dalı olan [[cebir]]de, [[vektör]]ler, [[Matris (matematik)|matrisler]], [[Doğrusal altuzay|alt uzaylar]] ve [[altöbek]] gibi soyut nesneler üzerinde de toplama yapılabilir.

Toplama işleminin birkaç önemli özelliği vardır. Toplama, [[değişme özelliği]]ne sahiptir; bu, terimlerin sırasının işlem sonucu için önemli olmadığı anlamına gelir (ör. <math>1 + 2 = 2 + 1</math>.) Toplama, [[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|birleşme özelliği]]ne de sahiptir; bu, ekleme işleminin sırasının önemli olmadığı anlamındadır (ör. <math>(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)</math>.) [[1 (sayı)|1]] sayısının tekrar tekrar eklenmesi, [[sayı sayma]] ile aynıdır. [[0 (sayı)|0]] sayısının eklenmesi, toplama işleminin sonucunu değiştirmez.

==Notasyon ve terminoloji==

[[Dosya:PlusCM128.svg|right|upright=0.55|küçükresim|Toplama işareti]]
Toplama işlemi, terimler arasına yerleştirilen [[Artı ve eksi işaretleri#Toplama işareti|toplama işareti]] ile gösterilir<ref>{{Web kaynağı |başlık= Addition | url = https://www.mathsisfun.com/numbers/addition.html |erişimtarihi=25 Ağustos 2020| website = www.mathsisfun.com | arşivurl = https://web.archive.org/web/20070520051823/https://www.mathsisfun.com/numbers/addition.html | arşivtarihi = 20 Mayıs 2007}}</ref> (i.e. [[ayraçlı yazım]]). Toplama işlemi sonucu da [[eşittir işareti]] ile belirtilir. Örneğin:
:<math>1 + 1 = 2</math> ("bir artı bir eşittir iki")
:<math>2 + 2 = 4</math> ("iki artı iki eşittir dört")
:<math>1 + 2 = 3</math> ("bir artı iki eşittir üç")
:<math>5 + 4 + 2 = 11</math> ([[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|birleşme özelliği]])
:<math>1 + 2 = 2 + 1 = 3</math> ([[değişme özelliği]])
:<math>3 + 3 + 3 + 3 = 12</math> (''çarpma işlemi'')

[[Dosya:AdditionVertical.svg|right|küçükresim|Sütun toplaması – sütunlardaki sayıların toplamı ''alt çizginin'' altına yazılan sayıdır.]]

Hiçbir toplama işareti görünmemesine rağmen toplama işleminin "anlaşıldığı" durumlar da vardır. Örneğin, bir [[tam sayı]] ile bir [[kesir]] toplama işareti olmaksızın yan yana konursa, ''karma kesir'' adı verilen bir toplama işlemi oluşur:<ref>Devine et al. p. 263</ref><math display="block">3\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=3.5.</math>

Fakat, yukarıdaki bu simgelem başka [[Bağlam (dilbilgisi)|bağlamlarda]] [[çarpma|çarpma işlemi]] ile karıştırılabilir.<ref>Mazur, Joseph. ''Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers''. Princeton University Press, 2014. p. 161</ref>

[[Seri]] toplamı da büyük [[sigma]] harfi ile belirtilebilir; bu simgelem [[iterasyon]]u kompakt şekilde simgeler. Örneğin:
:<math>\sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55.</math>

[[Artı ve eksi işaretleri#Toplama işareti|Toplama işareti]] "+" ([[Unicode]]:U+002B; [[ASCII]]: <code>&amp;#43;</code>), "''ve''" anlamına gelen [[Latince]] "''et''" kelimesinin kısaltmasıdır.<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı=Cajori |ad=Florian |başlık=A History of Mathematical Notations, Vol. 1 |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.200372 |yıl=1928 |yayıncı=The Open Court Company, Publishers |bölüm=Origin and meanings of the signs + and -}}</ref> İşaret, 1489 senesine kadarki matematik çalışmalarda görülmektedir.<ref name="OED">{{OED|plus}}</ref>

==Özellikler==
===Değişme özelliği===

[[Dosya:AdditionComm01.svg|right|upright=0.51|küçükresim|4 + 2 = 2 + 4]]
Toplama işlemi, [[değişme özelliği]]ne sahiptir: işlem içindeki terimlerin dizilişinin değiştirilmesi işlem sonucunu değiştirmez. Değişme özelliği, ''a'' ve ''b'' herhangi iki sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:
:''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''.

Bu özellik, "değişme yasası" olarak da adlandırılır.{{r|Busch}} Kimi diğer [[ikili işlem]]ler de değişme özelliğine sahiptir (ör. [[çarpma]]); ancak [[çıkarma]] ve [[bölme]] gibi işlemler de değişmeli değildir.

===Birleşme özelliği===
[[Dosya:AdditionAsc.svg|left|upright=0.45|küçükresim|2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3]]
Toplama işlemi, [[birleşme özelliği]]ne sahiptir: üç veya daha çok terimli bir toplama işleminde, [[işlem sırası]] işlem sonucunu değiştirmez. Birleşme özelliği, ''a'', ''b'' ve ''c'' herhangi üç sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:
:''a'' + ''b'' + ''c'' = (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'').

Toplama işlemi, diğer işlemlerle birlikte kullanıldığında işlem sırası önem kazanabilir. Standart işlem düzeninde toplama, [[üs|üs alma]], kök alma, [[çarpma]] ve [[bölme]]den daha az önceliktedir; ancak, [[çıkarma]] ile eşit önceliğe sahiptir.{{r|Bronstein87}}

===Etkisiz eleman===

[[Dosya:AdditionZero.svg|right|upright=0.33|küçükresim|5 + 0 = 5]]

Herhangi bir sayıya [[0 (sayı)|sıfır]] eklemek sayıyı değiştirmez; bu, sıfırın toplama için [[birim öge|etkisiz eleman]] (aynı zamanda ''toplamsal birim'' olarak da bilinir) olduğu anlamına gelir. Sembolik olarak, her bir {{math|''a''}} için, aşağıdaki eşitlik doğrudur:
:{{math|1=''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a''}}.

Bu yasa, ilk olarak [[Brahmagupta]]'nın ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'''sında M.Ö. 628 yılında tanımlanmıştır. Brahmagupta, bu yasayı ''a'' nın [[Negatif sayı|negatif]], pozitif veya sıfır olmasına göre üç ayrı yasa olarak, cebirsel semboller yerine sözcükler kullanarak yapar. Zamanla, [[Hint matematikçiler listesi|Hintli matematikçiler]] bu kavramı yeniden tanımlar; 830 senesinde [[Mahavira]], yasayı, "sıfır, kendisine eklenen sayı olur," olarak tanımlar (Sembolik olarak: {{math|1=0 + ''a'' = ''a''}}). 12. yüzyılda [[Bhāskara II|Bhaskara]], yasayı, "sayıya sıfırın eklenmesi veya çıkarılması sonucunda, pozitif veya negatif olsun, sayı aynı kalır," şeklinde tanımlamıştır (Sembolik olarak: {{math|1=''a'' + 0 = ''a''}}).<ref>Kaplan pp. 69–71</ref>

===Ardıl===
Ardıl, herhangi bir {{kayma|(''a'')}} [[tamsayı]]sı için {{kayma|(''a'' + 1)}} tam sayısı olarak tanımlanır.{{r|TDK_Matematik}} Burada, {{kayma|(''a'' + 1)}}, {{kayma|(''a'')}}'dan büyük en küçük tam sayıdır ve {{kayma|(''a'')}}'nın ardılıdır.{{r|Hempel|p=7}} Örneğin, 3, 2'nin ardılıdır ve 7, 6'nın ardılıdır.

Bu ardışıklık nedeniyle, {{kayma|''a'' + ''b''}}'nin değeri {{kayma|(''a'')}}'nın {{kayma|(''b'')}}'inci ardılı olarak da görülebilir. Örneğin, {{kayma|6 + 2}} 8'e eşittir; çünkü 8, 6'nın ardılı olan 7'nin ardılıdır ve 8 de, 6'nın ikinci ardılıdır.

===Birimler===

[[Ölçü birimi|Birimli]] fiziksel niceliklerin sayısal olarak eklenmesi için, bu niceliklerin aynı birime sahip olmaları gerekir.{{r|Fierro|at=Sec. 2.3}} Örneğin, 150&nbsp;mililitreye 50&nbsp;mililitre eklemek 200&nbsp;mililitre verir. Yanı sıra, birbirine dönüştürülebilen alt-üst birimleri de birbirine eklemek mümkündür. Örneğin, 5&nbsp;santimetrelik bir niceliğe 10&nbsp;milimetre eklemek 6&nbsp;santimetre verir. Fakat, alt-üst birim ilişkisi olmayan birimlerin arasında ekleme işlemi yapılamaz. Örneğin, 2&nbsp;metre ile 10&nbsp;metrekareyi toplamak tanımsızdır. Bu kural, [[boyut analizi]]nin temel kurallarından biridir.{{r|Moebs}}

==Toplama işlemi yapma==
===Doğuştan gelen kabiliyetler===
1980'lerde başlayan matematiksel gelişim çalışmaları, ''uyarana karşı alışkanlık kazanma'' olgusundan yararlanmıştır. [[Karen Wynn]]'in 1992'de yaptığı bir deney, [[bebek]]lerin beklenmedik durumlara daha uzun süre bakakalıyor olmalarına dayanmıştır.<ref>Wynn p. 5</ref> Bu deneyde, bazı [[Mickey Mouse]] oyuncakları bir ekranın arkasından farklı düzenlerde beş aylık bebeklere gösterilmiş; bebeklerin {{kayma|1 + 1}}'in 2 olduğunu bekledikleri ve {{kayma|1 + 1}}'in 1 veya 3 olarak gösterildiği düzenlerde nispeten şaşırdıkları gözlemlenmiştir. Bu bulgu, bu ilk deneyden beri farklı metodolojiler kullanılarak çeşitli gruplar tarafından teyit edilebilmiştir.<ref>Wynn p. 15</ref> 1992 yılında bir başka deneyde ise ''yürümeye yeni başlayan çocuklar''ın ''motor kontrol'' kabiliyetlerinden yararlanılmıştır. Bu deneyde, 18-35&nbsp;aylık çocukların bir kutudan ping-pong topları almaları sağlanmış; nispeten büyük çocukların 5'e kadar toplama işlemi yapabildikleri gözlemlenmiştir.<ref>Wynn p. 17</ref>

Bazı hayvanlar türleri de, özellikle [[primat]]lar, kısıtlı bir toplama kabiliyetine sahiptir. Wynn'e ait 1992 deneyini hayvanlar üzerinde uygulayan 1995 yılında yapılan bir deneyde, oyuncak yerine [[patlıcan]] kullanılmış; [[hint şebeği]] ve ''pamuk-başlı tamarin'' maymunlarının bebeklere benzer bir performans gösterdiği gözlemlenmiştir. Bir diğer deneyde ise, 0 ila 4 arası [[Arap rakamları]]nın öğretildiği bir [[şempanze]], daha fazla öğretim almadan iki farklı rakamı toplayabilme kabiliyeti gösterebilmiştir.<ref>Wynn p. 19</ref> Yanı sıra, [[Asya fili|Asya fillerinin]] de temel aritmetik işlem yapma kabiliyetine sahip oldukları haberleştirilmiştir.{{r|Guardian_21_Aug_2008}}

===Çocukluk döneminde öğrenim===
Genellikle, çocuklar önce [[sayma]]yı öğrenir. Örneğin, iki öğe ile üç öğenin bir araya getirilmesi gereken bir problem sorulduğunda, küçük çocuklar genellikle parmaklarını kullanarak ya da bir çizim vasıtasıyla durumu modeller ve toplama ulaşırlar. Çocuklar, deneyim kazandıkça, "sayma" stratejisini öğrenirler veya keşfederler: 'iki artı üç' sorusunun sonucu olan beşe, çocuklar, ikiyi "üç, dört, beş" diye üç kere geçerek varırlar. Bu stratejinin [[evrensel]] olduğu düşünülmektedir ve çocukların bunu akranlarından ya da öğretmenlerinden kolayca öğrenebildikleri belirtilmektedir.<ref>F. Smith p. 130</ref>

[[Tam sayılar]] ve [[aritmetik]] öğretimi farklı ülkelerde farklı yaşlarda başlatılmaktadır; toplama ise pek çok ülkede [[okul öncesi eğitim]]e dahildir.<ref>
Beckmann, S. (2014). The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers. International Journal of STEM Education, 1(1), 1-8.
Chicago
</ref>
Fakat, toplama işlemi, dünyanın her yerinde, [[ilkokul]]un ilk yılının sonuna kadar öğretilmiş olmaktadır.<ref>Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". ''American Educator'', 26(2), 1–18.</ref>

====Tablo====
Genellikle, çocuklara ezberlemeleri için, 0 ve 9 arası sayı çiftlerinin bulunduğu bir toplama tablosu sunulur. Bu tabloyu öğrenen çocuklar herhangi bir toplama işlemini yapabilir.

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! + 
! scope="column" | 0  || 1  || 2  || 3  || 4  || 5  || 6  || 7  || 8  || 9
|-
! scope="row" | 0
| 0  || 1  || 2  || 3  || 4  || 5  || 6  || 7  || 8  || 9
|-
! scope="row" | 1
| 1  || 2  || 3  || 4  || 5  || 6  || 7  || 8  || 9  || 10 
|-
! scope="row" | 2
| 2  || 3  || 4  || 5  || 6  || 7  || 8  || 9  || 10 || 11 
|-
! scope="row" | 3
| 3  || 4  || 5  || 6  || 7  || 8  || 9  || 10 || 11 || 12 
|-
! scope="row" | 4
| 4  || 5  || 6  || 7  || 8  || 9  || 10 || 11 || 12 || 13 
|-
! scope="row" | 5
| 5  || 6  || 7  || 8  || 9  || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 
|-
! scope="row" | 6
| 6  || 7  || 8  || 9  || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 
|-
! scope="row" | 7
| 7  || 8  || 9  || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 
|-
! scope="row" | 8
| 8  || 9  || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 
|-
! scope="row" | 9
| 9  || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 
|}

===Ondalık sistem===

Toplamayı hızlandırmak [[onlu sayı sistemi|ondalık sistem]] ile mümkündür. Bunun ön koşulu, birtakım "toplama olgularının" akıcı bir şekilde hatırlanması veya türetilmesidir. Bu olgular ezberlenebilirse de; bu olguların yapı-tabanlı teknikler ile hatırlanması çoğu kişi için daha verimli olabilir.<ref name="FosnotDolk99">Fosnot and Dolk p. 99</ref> Bu olgular şunlardır:

* ''Bir veya iki eklemesi'': 1 veya 2 tam sayısını bir başka sayıya eklemek, [[sezgi]] ile gerçekleştirilebilir.<ref name="FosnotDolk99"/>

===Taşıma===

Çok basamaklı tam sayıları toplamak için standart yöntem, toplananları dikey olarak hizalamak ve en sağdaki sütundan başlayarak sütundaki rakamları toplamaktır. Eğer bir sütundaki toplama işlemi dokuzu aşarsa, soldaki komşu sütuna eklenmek üzere bir rakamı "taşınır." Örneğin, aşağıdaki {{kayma|27 + 59}} toplama işleminde

   ¹
   27
 + 59
 ————
   86

en sağdaki sütun toplamı ''7 + 9 = 16'' olur ve 1 rakamı komşu sol sütuna taşınır.

===Ondalık taban===

Ondalık kesirler yukarıdaki işlemin basit bir modifikasyonu ile toplanabilirler.<ref>Rebecca Wingard-Nelson (2014) ''Decimals and Fractions: It's Easy'' Enslow Publishers, Inc.</ref>

İki ondalık kesir, ondalık noktası aynı hizada olacak şekilde üst üste konumlanır. Gerekirse, ondalık kısmı daha kısa olan sayıya diğer sayı ile aynı uzunlukta olması için sıfır eklemlenebilir. Son olarak, ondalık noktasının aynı hizada olması sağlanarak 'taşıma' yöntemiyle toplama işlemi gerçekleştirilir.

Örnek olarak, 45.1 + 4.34 işlemi şu şekilde toplanabilir:
    4 5 . 1 0
 +  0 4 . 3 4
 ————————————
    4 9 . 4 4

====Bilimsel gösterim====
{{ana|Bilimsel gösterim}}
[[Bilimsel gösterim]]de, [[reel sayılar]] <math>x=a\times10^{b}</math> şeklinde yazılır. Bu terimde, <math>a</math> ''taban''dır ve <math>10^{b}</math> 'üs'tür. Toplama, sayıların aynı üslere sahip olmasını gerektirir. Bu sayede, tabanlar basitçe toplanabilir.

Örneğin:
:<math>2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}</math>

===Ondalık-olmayan tabanlarda işlemler===
{{ana|İkili sayı sistemi}}
Ondalık-olmayan tabanlarda toplama, ondalık tabandaki toplamaya benzerdir. Buna ikili tabanda toplama örnek gösterilebilir.<ref>Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra (2008) ''Electronic Digital System Fundamentals'' The Fairmont Press, Inc. p. 155</ref> Tek basamaklı ikili sayıları eklemek, yukarıda bahsedilen 'taşıma' yöntemiyle gerçekleştirilebilir:
:0 + 0 → 0
:0 + 1 → 1
:1 + 0 → 1
:1 + 1 → 0, 1 taşınır (1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2<sup>1</sup>))
İkili tabanda, iki "1" rakamının eklenmesi "0" rakamını üretir; bir sonraki sütuna da 1 eklenir. Bu, ondalık tabanda belirli rakamların eklenmesinde de görülür Eğer bir sütun toplamı '10' sayısına eşit veya bu sayıdan büyükse, sol sütuna 1 eklenir:
:5 + 5 → 0, 1 taşınır (5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10<sup>1</sup>))
:7 + 9 → 6, 1 taşınır (7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10<sup>1</sup>))

Bu yöntem 'taşıma' (İngilizce ''carrying'') olarak bilinir.<ref>P.E. Bates Bothman (1837) ''The common school arithmetic''. Henry Benton. p. 31</ref>

===Bilgisayarlar===
[[Dosya:Opampsumming2.svg|sağ|çerçeve|Operasyonel yükselteç kullanılarak yapılan toplama işlemi.]]
[[Analog bilgisayar]]lar fiziksel ölçümlerle doğrudan etkileşime girerler, dolayısıyla toplama işlemleri, eklenen değerlerin niteliklerine bağlı olarak değişiklik gösterir. Mekanik bir toplama cihazı, eklenen iki değeri kayar blokların pozisyonları olarak ifade edebilir; bu durumda, [[aritmetik ortalama|ortalama değer]] hesaplama yöntemi olan bir [[kaldıraç]] ile toplama işlemi yapılabilir. Eğer eklenen değerler iki [[aks|milin]] dönüş hızları ise, bir [[diferansiyel]] aracılığıyla toplanabilirler. Hidrolik bir toplama birimi, iki kompartımandaki [[basınç]] değerlerini, bir dizi [[piston]] üzerindeki kuvvetlerin dengelenmesi sürecinde [[Newton'un hareket yasaları|Newton'un ikinci yasası]]nı kullanarak hesaplayabilir. Genel amaçlı bir analog bilgisayarın karşılaştığı en sık durum, iki [[voltaj]]ın ([[Topraklama|toprak]] referans alınarak) toplanmasıdır; bu işlem genellikle bir [[direnç]] [[Elektronik devre|ağı]] ile gerçekleştirilse de, daha etkili bir yöntem operasyonel bir yükselteç kullanmaktır.<ref>Truitt and Rogers pp. 1;44–49 and pp. 2;77–78</ref>

Toplama işlemi, özellikle [[taşıma (aritmetik)|taşıma]] mekanizmasının etkinliği bakımından, [[bilgisayar|dijital bilgisayarlar]]ın işlevselliği için temel bir bileşendir ve bu işlemin verimliliği, genel performans üzerinde belirleyici bir faktördür.

[[Dosya:BabbageDifferenceEngine.jpg|sol|küçükresim|Charles Babbage'ın [[fark makinesi]]ne ait parçalar, toplama ve taşıma mekanizmalarını içermektedir.]]
[[Abaküs]], aynı zamanda hesaplama çerçevesi olarak bilinen, yazılı modern sayı sistemi benimsenmeden yüzyıllar önce kullanılmaya başlanmış bir hesaplama aracıdır ve hâlâ [[Asya]], [[Afrika]] ve diğer bölgelerde tüccarlar tarafından geniş çapta kullanılmaktadır; bu araç MÖ 2700–2300 yılları arasında, [[Sümer]]'de kullanılmaya başlandığı dönemlere dayanmaktadır.<ref>{{kitap kaynağı |soyadı=Ifrah |ad=Georges |yıl=2001 |başlık=The Universal History of Computing: From the Abacus to the Quantum Computer |yayıncı=John Wiley & Sons, Inc. |yer=New York |isbn=978-0-471-39671-0 |url=https://archive.org/details/unset0000unse_w3q2 }} s. 11</ref>

[[Blaise Pascal]], 1642 yılında mekanik bir hesap makinesi geliştirmiştir;<ref name="inventor">[[Addition#MARG|Jean Marguin]], s. 48 (1994); Alıntı: [[Addition#TATON63|René Taton]] (1963)</ref> bu cihaz, ilk işlevsel [[toplama makinesi]] olarak kaydedilmiştir. Bu cihaz, yer çekimini kullanarak çalışan bir taşıma mekanizması içermekteydi. Bu makine, 17. yüzyılda işlevsel olan tek mekanik hesap makinesi olup<ref>Pascal'ın hesap makinesi hakkındaki makaledeki [[Pascal'ın hesap makinesi#Rakip tasarımlar|Rakip tasarımlar]] bölümüne bakınız</ref>, aynı zamanda en eski otomatik dijital bilgisayar olarak kabul edilmektedir. [[Pascal'ın hesap makinesi]], yalnızca bir yöne dönebilmesine izin veren taşıma mekanizması nedeniyle sınırlıydı; bu, makinenin yalnızca toplama işlemi yapabilmesine olanak tanıyordu. Çıkarma işlemi gerçekleştirmek için operatör, [[tamamlayıcı yöntem|Pascal hesap makinesinin tamamlayıcısını]] kullanmak zorundaydı, bu işlem toplama kadar çok sayıda adım gerektirmekteydi. [[Giovanni Poleni]], Pascal'ı izleyerek, 1709 yılında inşa edildikten sonra iki sayıyı otomatik olarak çarpan, ahşap malzemeden yapılmış bir hesap saatini tasarlamıştır.

[[Dosya:Full-adder.svg|küçükresim|"[[Toplayıcı|Tam toplayıcı]]" mantık devresi, ''A'' ve ''B'' ikili basamaklarına ve bir taşıma girişi ''C<sub>in</sub>'' olacak şekilde toplama işlemi yaparak, sonuç olarak toplam biti ''S'' ve bir taşıma çıkışı ''C<sub>out</sub>'' elde eder.]]
[[Toplayıcı]]lar, elektronik dijital bilgisayarlarda, genellikle [[İkili sayı sistemi|ikili aritmetik]] temelinde tam sayı toplama işlemi uygular. En temel yapı, çok basamaklı standart algoritmayı izleyen dalga taşıma toplayıcısıdır. Bir miktar iyileştirilmiş bir yapı olan ''taşıma atlama'' tasarımı (İng. ''carry bypass adder''), yine insan sezgisine dayalıdır; {{kayma|999 + 1}} işlemi gerçekleştirilirken tüm taşıma işlemleri yapılmaz, 9'lar grubu göz ardı edilir ve doğrudan sonuca ulaşılır.<ref>Flynn and Overman pp. 2, 8</ref>

Uygulamalı olarak, hesaplama temelli toplama işlemleri, aşağıdaki kodda gösterildiği üzere [[Exclusive or|XOR]] ve [[Bitwise operation#AND|AND]] bit düzeyinde mantıksal işlemler ile bit kaydırma operasyonlarının birleştirilmesiyle sağlanabilir. XOR ve AND kapılarının dijital mantıkta kolayca gerçekleştirilebilir olması, bu kapıların [[Toplayıcı|tam toplayıcı]] devrelerinin oluşturulmasını mümkün kılar; bu devreler daha karmaşık mantıksal işlemler için birleştirilebilir. Çağdaş dijital bilgisayarlarda, tam sayı toplama işlemi tipik olarak en hızlı aritmetik işlemdir, ancak [[Kayan nokta|kayan nokta işlemleri]] ve [[bellek]] erişimi sırasında [[Bellek adresi|adres]] üretimi ile [[kontrol akışı|dal]] sırasında [[talimat (bilgisayar bilimi)|talimat]] yüklemesi gibi temel görevlerin altında yattığı için performans üzerinde büyük bir etkiye sahiptir. Hızı artırmak amacıyla, modern tasarımlar rakamları [[paralel algoritma|paralel]] olarak hesaplar; bu yöntemler taşıma seçimi, [[taşıma öngörme]] ve [[Ling]] sahte taşıma gibi isimler altında bilinir. Bu uygulamaların birçoğu, aslında bu son üç tasarımın bir karışımıdır.<ref>Flynn and Overman pp. 1–9</ref><ref>Yeo, Sang-Soo ve ark., eds. ''Algorithms and Architectures for Parallel Processing: 10th International Conference, ICA3PP 2010, Busan, Korea, May 21–23, 2010''. Bildiriler. Cilt. 1. Springer, 2010. s. 194</ref> Kağıt üzerindeki toplamadan farklı olarak, bilgisayarda yapılan toplama işlemi genellikle toplanan değerleri değiştirir. Antik [[abaküs]] ve toplama tahtasında, her iki toplanan değer de yok edilir, sadece sonuç baki kalır. Abaküsün matematiksel düşünce üzerindeki derin etkisi, erken [[Latin]] metinlerinde sıkça "bir sayıya bir sayı eklenmesi" sürecinde her iki sayının da yok olduğu iddiasına neden olmuştur.<ref>Karpinski pp. 102–103</ref> Modern dönemde, bir [[mikroişlemci]]nin ADD komutu çoğunlukla artanı toplamla değiştirirken, toplananı muhafaza eder.<ref>Mikroişlemci mimarisine göre artan ve toplananın kimliği değişir. [[x86]] için ADD Horowitz ve Hill s. 679; [[68k]] için s. 767 bakınız.</ref> Yüksek seviye bir programlama dilinde, {{kayma|''a'' + ''b''}} işlemi ''a'' veya ''b''yi değiştirmez; eğer hedef ''a'''yı toplamla değiştirmekse, bu genellikle {{kayma|1=''a'' = ''a'' + ''b''}} ifadesiyle açıkça talep edilmelidir. Bazı diller, örneğin [[C (programlama dili)|C]] veya [[C++]], bu işlemi {{kayma|1=''a'' += ''b''}} şeklinde kısaltmaya izin verir.

<syntaxhighlight lang="c">
// İteratif algoritma
int add(int x, int y) {
    int carry = 0;
    while (y != 0) {      
        carry = AND(x, y);   // Logical AND
        x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
        y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one
    }
    return x; 
}

// Tekrarlamalı algoritma
int add(int x, int y) {
    return x if (y == 0) else add(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);
}
</syntaxhighlight>

Bilgisayar sistemlerinde, bir toplama işlemi sonucunda elde edilen değer, saklama alanını aşarsa, [[aritmetik taşma]] meydana gelir ve bu durum yanıltıcı bir sonuç üretir. Beklenmedik aritmetik taşmalar, [[Yazılım hatası|yazılım hatalarının]] oldukça sık rastlanan bir sebebidir. Bu tür taşma hataları, yalnızca büyük boyutlu girdi veri kümeleri için meydana geldiğinden ve doğrulama testlerinde bu tür veri kümelerinin kullanım olasılığı düşük olduğundan, keşfedilmeleri ve tanımlanmaları zor olabilir.<ref>Joshua Bloch, [http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html "Extra, Extra – Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken"] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160401140544/http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html |tarih=1 Nisan 2016 }}. Official Google Research Blog, June 2, 2006.</ref> [[Y2K problemi|2000 Yılı Sorunu]], yılların iki haneli bir formatla ifade edilmesi nedeniyle ortaya çıkan taşma hatalarından oluşan bir dizi sorundur.<ref>{{dergi kaynağı |url=http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html |başlık=The Risks Digest Volume 4: Issue 45 |dergi=The Risks Digest |erişim-tarihi=30 Mart 2015 |arşiv-url=https://web.archive.org/web/20141228211038/http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html |arşiv-tarihi=28 Aralık 2014 |ölüurl=hayır|soyadı1=Neumann |ad1=Peter G. |tarih=2 Şubat 1987 |cilt=4 |sayı=45 }}</ref>

== Sayıların toplanması ==

Toplama işleminin genel özelliklerini kanıtlamak için, öncelikle söz konusu bağlamda toplama işleminin tanımı yapılmalıdır. İlk olarak, toplama işlemi [[doğal sayılar]] üzerinde tanımlanır. Daha sonra, bu tanımlama, [[küme teorisi]] içinde, doğal sayılardan daha büyük kümelere genişletilir: [[tamsayılar]], [[rasyonel sayılar]] ve [[gerçek sayılar]] gibi.<ref>Örneğin, [[Herbert Enderton|Enderton]]'un 4 ve 5. bölümleri bu gelişimi takip eder.</ref> ([[Matematik eğitimi]]nde,<ref>En yüksek TIMSS matematik testi puanlarına sahip ülkelerin bir anketine göre; bkz. Schmidt, W., Houang, R. & Cogan, L. (2002). ''A coherent curriculum''. American educator, 26(2), s. 4.</ref> negatif sayılar ele alınmadan önce pozitif kesirler toplanır; bu aynı zamanda tarihsel bir yaklaşımdır.<ref>Baez (s. 37), "küme teorisi sunumu ile keskin bir tezat oluşturan" tarihsel gelişmeyi şöyle açıklar: "Görünüşe göre, yarım elma negatif bir elmadan daha kolay anlaşılır!"</ref>)

===Doğal sayılar===
{{Further|Doğal sayılar}}

İki doğal sayının ''a'' ve ''b'' toplamını tanımlamanın iki yaygın yolu vardır. Doğal sayıların sonlu kümelerin [[Nicel sayı|kardinal]] sayıları olduğu şeklinde tanımlanması durumunda (bir kümenin kardinalitesi kümenin içerdiği öğelerin sayısıdır), toplama işlemi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:

* N(''S''), ''S'' kümesinin kardinal sayısı olsun. ''A'' ve ''B'', {{kayma|1=N(''A'') = ''a''}} ve {{kayma|1=N(''B'') = ''b''}} olacak şekilde ayrık iki küme seçilir. Bu durumda {{kayma|''a'' + ''b''}}, <math> N(A \cup B)</math> olarak tanımlanır.<ref>Begle s. 49, Johnson s. 120, Devine et al. s. 75</ref> Burada, {{kayma|1=''A'' ∪ ''B''}}, ''A'' ve ''B'''nin [[küme teorisi|birleşimi]]dir. Bu tanımın alternatif bir versiyonu, ''A'' ve ''B''nin örtüşebileceğine izin verir ve ardından ortak elemanların ayrılmasını, dolayısıyla iki kez sayılmasını sağlayan [[ayrık birleşim]]lerini alır.

Diğer popüler tanım ise yinelemelidir (rekursif):

* ''n'''<sup>+</sup>, ''n''in [[Peano aksiyomları#İkili işlemler ve sıralama|varisi]] olsun, yani ''n''in doğal sayılardaki ardılı, 0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2 olsun. {{kayma|1=''a'' + 0 = ''a''}} olarak tanımlayın. Genel toplamı yinelemeli olarak {{kayma|1=''a'' + (''b''<sup>+</sup>) = (''a'' + ''b'')<sup>+</sup>}} şeklinde tanımlayın. Böylece {{kayma|1=1 + 1 = 1 + 0<sup>+</sup> = (1 + 0)<sup>+</sup> =}} {{kayma|1=1<sup>+</sup> = 2}} olur.<ref>Enderton s. 79</ref>

Yine, bu tanım üzerinde literatürde küçük varyasyonlar vardır. Sözcüğün tam anlamıyla, yukarıdaki tanım, [[kısmi sıralı küme]] '''N'''<sup>2</sup> üzerinde [[özyineleme]]nin bir uygulamasıdır.<ref>[[Kısmi sıralı küme]]ye sahip herhangi bir poset için bir versiyonu görmek için Bergman s. 100'e bakın.</ref> Diğer taraftan, bazı kaynaklar sadece doğal sayılar kümesine uygulanan kısıtlı bir yineleme teoremini tercih eder. Biri ''a''yı geçici olarak "sabit" olarak kabul eder, ''b'' üzerinde yineleme uygular "''a'' +" fonksiyonunu tanımlar ve bu tekli işlemleri tüm ''a''lar için bir araya getirerek tam ikili işlemi oluşturur.<ref>Enderton (s. 79) "Tek bir ikili işlem + istiyoruz, tüm bu küçük tek yer işlevleri değil" diye belirtir.</ref>

===Tam sayılar===
{{Further|Tam sayı}}
Tam sayıların en temel tanımı, bir [[mutlak değer]] (bu bir doğal sayıdır) ve bir [[İşaret (matematik)|işaret]] (genellikle pozitif veya negatif) içermesine dayanır. Sıfır tam sayısı, ne pozitif ne de negatif olan özel bir durum olarak ele alınır. Bu tanımlamaya göre toplama işlemi, farklı durumlar göz önünde bulundurularak yapılmalıdır:

* Bir tam sayı ''n'' için, |''n''| onun mutlak değeri olarak kabul edilsin. ''a'' ve ''b'' tam sayıları için, eğer ''a'' veya ''b'' sıfır ise, bu durumu bir özdeşlik olarak değerlendirin. ''a'' ve ''b'' her ikisi de pozitif olduğunda, {{kayma|1=''a'' + ''b'' = {{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}}}} şeklinde ifade edilmelidir. ''a'' ve ''b'' her ikisi de negatif olduğunda, {{kayma|1=''a'' + ''b'' = −({{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}})}} şeklinde tanımlanmalıdır. ''a'' ve ''b'' farklı işaretlere sahip ise, {{kayma|''a'' + ''b''}} ifadesi, |''a''| ve |''b''| değerlerinin farkı olarak tanımlanır ve bu farkın işareti, mutlak değeri daha yüksek olan terime ait işaret olarak belirlenir.<ref>K. Smith s. 234, Sparks and Rees s. 66</ref> Bir örnek olarak, {{kayma|1=−6 + 4 = −2}}; −6 ve 4 farklı işaretlere sahip olduğundan, mutlak değerler çıkarılır ve negatif terimin mutlak değeri daha büyük olduğu için, sonuç negatif olarak belirlenir.

Bu tanım, somut problemlerin çözümünde yararlı olmakla birlikte, ele alınması gereken durum sayısının fazlalığı, ispatları gereğinden fazla karmaşık hale getirir. Bu nedenle, tam sayıların tanımı için genellikle aşağıda açıklanan yöntem tercih edilir. Bu yöntem, her tam sayının iki doğal sayının farkı olarak ifade edilebileceği ve {{math|''a'' – ''b''}} ile {{math|''c'' – ''d''}} gibi farkların yalnızca {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}} olduğunda eşit kabul edileceği gözlemine dayanmaktadır.
Bu çerçevede, tam sayılar, doğal sayı çiftlerinin [[sıralı çift]]leri üzerinde kurulan [[denklik ilişkisi]] altında tanımlanan [[denlik sınıfı|denklik sınıfları]] olarak formal bir şekilde tanımlanabilir:
:{{math|(''a'', ''b'') ~ (''c'', ''d'')}} ifadesi, ancak ve ancak {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}} eşitliği sağlandığında geçerlidir.
{{math|(''a'', ''b'')}} çiftinin denklik sınıfı, {{math|''a'' ≥ ''b''}} olduğu durumlarda {{math|(''a'' – ''b'', 0)}}, aksi halde {{math|(0, ''b'' – ''a'')}} olarak ifade edilir. Bir doğal sayı olan {{mvar|n}} için, {{math|(''n'', 0)}} çiftinin denklik sınıfı {{math|+''n''}} olarak ve {{math|(0, ''n'')}} için denklik sınıfı ise {{math|–''n''}} olarak tanımlanabilir. Bu tanım, doğal sayı {{mvar|n}}'i denklik sınıfı {{math|+''n''}} ile özdeşleştirme olanağı sunar.

Sıralı çiftlerin toplama işlemi, elemanlar bazında gerçekleştirilir:
:<math>
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).</math>
Yapılan temel hesaplamalar, sonuçların denklik sınıfının yalnızca toplanan değerlerin denklik sınıflarına bağımlı olduğunu ortaya koyar; bu durum, denklik sınıflarının toplamının tanımlanmasını sağlar ve bu tanım tam sayıları ifade eder.<ref>Enderton s. 92</ref> Başka bir temel hesaplama ise, bu toplama işleminin yukarıda açıklanan durum tanımıyla özdeş olduğunu belirler.

Doğal sayı çiftlerinin denklik sınıfları üzerinden tam sayıların tanımı, sadeleşme özelliğine sahip değişmeli bir yarıgrup yapısını herhangi bir toplamsal [[Grup (matematik)|gruba]] entegre etmek amacıyla kullanılabilir. Bu bağlamda, doğal sayılar temel alınarak bir yarıgrup oluşturulmuş ve bu yarıgrup, tam sayıların toplamsal grubu şeklinde bir gruba dönüştürülmüştür. Rasyonel sayıların oluşturulması da benzer bir yöntemle, çarpma işlemine dayalı olarak sıfırdan farklı tam sayılar yarıgrubu kullanılarak gerçekleştirilir.

Bu yapısal çerçeve, herhangi bir değişmeli yarıgrup için [[Grothendieck grubu]] adıyla genelleştirilmiştir. Sadeleşme özelliğinin bulunmaması durumunda, yarıgruptan yapılan gruba olan [[Yarı grup|yarıgrup homomorfizması]] enjektif olmayabilir. Özgün olarak, ''Grothendieck grubu'', daha spesifik bir uygulama olarak, bir [[abelyen kategorinin]] nesneleri arasındaki izomorfizmler altında denklik sınıflarına bu yapısal dönüşümün uygulanmasıyla elde edilmiştir; burada yarıgrup operasyonu olarak [[doğrudan toplam]] kullanılmıştır.

===Rasyonel sayılar (kesirler)===
Rasyonel sayıların toplama işlemi, [[least common denominator|en küçük ortak payda]] kullanılarak gerçekleştirilebilir; ancak, daha anlaşılır ve kavramsal olarak basit bir tanım, yalnızca tam sayıların toplama ve çarpma işlemlerini gerektirir:

* Toplama işlemi <math>\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}</math> formülü ile tanımlanır.

Bir örnekte, <math>\frac 34 + \frac 18 = \frac{3 \times 8+4 \times 1}{4 \times 8} = \frac{24 + 4}{32} = \frac{28}{32} = \frac78</math> şeklinde toplam hesaplanmıştır; bu, kesirlerin toplanması sırasında yapılan işlemlerin basit bir gösterimidir.

Kesirlerin toplanması, paydaların eşit olması durumunda oldukça basitleşir; bu durumda, paylar doğrudan toplanırken payda sabit tutulur: <math>\frac ac + \frac bc = \frac{a + b}{c}</math> formülüyle, örneğin <math>\frac 14 + \frac 24 = \frac{1 + 2}{4} = \frac 34</math> hesaplanır.<ref>Schyrlet Cameron ve Carolyn Craig (2013)''Adding and Subtracting Fractions, Grades 5–8'' Mark Twain, Inc.</ref>

Rasyonel sayıların toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri, tam sayı aritmetiğinin temel yasalarının doğal bir sonucudur.<ref>Bu doğrulamalar Enderton s. 104'te yer almakta ve Dummit ve Foote s. 263'te bir genel kesirler alanı üzerindeki değişmeli halka için çerçevesi çizilmiştir.</ref>

===Reel sayılar===
[[Dosya:AdditionRealDedekind.svg|sağ|küçükresim|π<sup>2</sup>/6 ve ''e'' sayılarının rasyonel sayılar üzerindeki Dedekind kesitleri ile toplama işlemi.]]

Reel sayılar kümesinin oluşturulması sıklıkla, rasyonel sayılar kümesinin Dedekind yöntemiyle tamamlanması şeklinde gerçekleştirilir. Reel bir sayı, rasyonel sayıların [[Dedekind kesiti]] olarak ifade edilir; bu, aşağı doğru kapalı ve en büyük elemanı olmayan rasyonel sayılardan oluşan [[Boş küme|boş olmayan bir küme]] olarak karakterize edilir. ''a'' ve ''b'' gibi reel sayıların toplamı, elemanlar üzerinden aşağıdaki şekilde tanımlanır:

* Toplama işlemi, <math>a+b = {q+r \mid q\in a, r\in b}</math> formülü ile elemanlar bazında belirlenir.<ref>Enderton s. 114</ref> Bu tanımlama, her iki reel sayı içindeki elemanların kapsamlı bir şekilde birleştirilmesini sağlar ve bu birleştirme sonucu yeni bir reel sayı kümesi oluşturulur.

Bu tanım, [[Richard Dedekind]] tarafından 1872 yılında, orijinalinden biraz değiştirilmiş bir biçimde ilk kez yayımlanmıştır.<ref>Ferreirós s. 135; ''[http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html Stetigkeit und irrationale Zahlen] {{webarşiv |url=https://web.archive.org/web/20051031071536/http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html |tarih=31 Ekim 2005 }}'' adlı eserin 6. bölümüne bakınız.</ref>
Reel sayıların toplama işlemi üzerine tanımlanan değişme ve birleşme yasaları, hemen kavranabilir niteliktedir; reel sıfır sayısının negatif rasyonel sayılar kümesi olarak tanımlanmasıyla, bu sayının toplamsal özdeşlik elemanı olduğu açıkça görülmektedir. Bu yapısal tanımın toplama ile ilişkili en zorlu kısmı, toplamsal terslerin tanımlanmasıdır.<ref>Her kesitin elemanlarının ters çevrilmesi ve tamamlayıcısının alınması yöntemi, yalnızca irrasyonel sayılar için geçerlidir; detaylar için Enderton s. 117'ye bakınız.</ref> Bu, yapısal matematikte önemli bir meydan okumayı temsil eder ve matematiksel titizliğin önemini vurgular.

[[Dosya:AdditionRealCauchy.svg|sağ|küçükresim|π<sup>2</sup>/6 ve ''e'' değerlerinin rasyonel sayıların Cauchy dizileri aracılığıyla toplanması.]]
Ne yazık ki, Dedekind kesitlerinin çarpılması, işaretli tam sayıların toplanmasına benzer şekilde, zaman alıcı ve duruma özgü bir süreç gerektirir.<ref>Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley ve James Alves-Foss. "Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop, volume 971 of." ''Lecture Notes in Computer Science'' (1995).</ref> Alternatif bir yöntem olarak rasyonel sayıların metrik tamamlanması önerilmektedir. Reel sayı, temelde rasyonel sayıların bir [[Cauchy dizisi]]nin limiti olarak tanımlanmaktadır, lim ''a''<sub>''n''</sub>. Bu bağlamda toplama işlemi, terim terim şeklinde belirlenir:

* <math>\lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n)</math> şeklinde tanımlanır.<ref>Akademik literatürde, "lim" sembolü ile genellikle bu kadar gevşek bir kullanım yapılmaz; Cauchy dizileri kullanılarak toplamanın daha özenli bir şekilde ele alınışını görmek için Burrill (s. 138) incelenebilir.</ref>
Bu tanım ilk olarak [[Georg Cantor]] tarafından 1872 yılında ortaya konulmuştur, ancak onun kullandığı formalizm biraz daha farklı niteliktedir.<ref>Ferreirós s. 128</ref>
Bu toplama işleminin uygun şekilde tanımlandığının kanıtlanması gerekmektedir, bu da yardımcı-Cauchy dizileri ile ilgili işlemleri kapsar. Bu aşama tamamlandığında, reel sayıların toplama işlemine ilişkin tüm özellikler, rasyonel sayıların özelliklerinden doğrudan türetilebilir. Ek olarak, çarpma dahil olmak üzere diğer aritmetik işlemler de benzer bir şekilde basit ve benzeşen tanımlara sahiptir.<ref>Burrill s. 140</ref> Bu kavramsal çerçeve, sayı teorisindeki aritmetik işlemlerin genişletilmesi için temel oluşturur.

===Karmaşık sayılar===
[[Dosya:Vector Addition.svg|sağ|küçükresim|İki karmaşık sayının toplama işlemi, bir paralelkenar konstrüksiyonu ile geometrik olarak gerçekleştirilebilir.]]
Karmaşık sayıların toplanması, bu sayıların gerçek ve sanal bileşenlerinin toplanarak hesaplanması işlemiyle yapılmaktadır:<ref>{{Kaynak |soyadı=Conway |ad=John B. |başlık=Functions of One Complex Variable I |yıl=1986 |yayıncı=Springer |isbn=978-0-387-90328-6}}</ref><ref>{{Kaynak |soyadı1=Joshi |ad1=Kapil D |başlık=Foundations of Discrete Mathematics |yayıncı=[[John Wiley & Sons]] |yer=New York |isbn=978-0-470-21152-6|yıl=1989}}</ref>

:<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.</math>
Karmaşık sayıların karmaşık düzlemde görselleştirilmesiyle, toplama işleminin geometrik yorumu şu şekilde gerçekleştirilir: Karmaşık düzlemde, noktalar olarak kabul edilen iki karmaşık sayı ''A'' ve ''B'''nin toplamı, ''O'', ''A'' ve ''B'' noktaları arasında oluşturulan bir [[paralelkenar]] ile elde edilen ''X'' noktasıdır. Alternatif bir ifadeyle, ''X'' noktası, köşeleri ''O'', ''A'', ''B'' ve diğer üçgenin köşeleri ''X'', ''B'', ''A'' olan ve birbirleriyle [[eşleşik]] olan [[üçgen]] aracılığıyla tanımlanmaktadır. Bu yorumlama, karmaşık sayıların toplamının, geometrik olarak nasıl temsil edilebileceğini açıklamaktadır.

==Genellemeler==
Reel sayılardaki toplama işlemine benzer birçok ikili işlem bulunmaktadır. [[Soyut cebir]] disiplini, bu tür genelleştirilmiş işlemlerle yoğun olarak ilgilenmektedir ve bu işlemler [[küme teorisi]] ile [[kategori teorisi]] alanlarında da sıklıkla ele alınmaktadır.

===Soyut cebir===
====Vektörler====
{{Ana|Vektör toplama}}
[[Lineer cebir]] alanında, bir [[vektör uzayı]], herhangi iki [[vektör]]ün toplanabilmesini ve vektörlerin ölçeklendirilebilmesini mümkün kılan cebirsel bir yapıdır. Reel sayı çiftlerinin tümü, tanıdık bir vektör uzayını oluşturur; (''a'',''b'') sıralı çifti, Öklid düzlemindeki orijinden (''a'',''b'') noktasına uzanan bir vektör olarak yorumlanabilir. İki vektörün toplamı, onların koordinatlarının tek tek toplanması ile sağlanır:
:<math>(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).</math>
Bu toplama işlemi, [[klasik mekanik]] alanında temel bir işlem olarak kabul edilir; bu alanda [[hız]]lar, [[ivme]]ler ve [[kuvvet]]ler vektörlerle ifade edilir.<ref>Gbur, s. 1</ref> Bu, vektörlerin fiziksel büyüklükleri temsil etme kapasitesinin önemini vurgular.

====Matrisler====
{{Ana|Matris toplama}}
İki matrisin toplama işlemi, yalnızca aynı boyutlardaki matrisler için uygulanabilir bir işlemdir. ''m'' × ''n'' (okunuşu "m çarpı n") ebatlarında olan '''A''' ve '''B''' matrislerinin toplamı, {{kayma|'''A''' + '''B'''}} ile ifade edilir ve sonuç olarak elde edilen matris yine bir {{kayma|''m'' × ''n''}} matrisidir. Bu toplama işlemi, matrislerin karşılık gelen elemanlarının birbiriyle toplanması yoluyla gerçekleştirilir:<ref>Lipschutz, S., & Lipson, M. (2001). Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Erlangga.</ref><ref>{{kitap kaynağı |başlık=Mathematical methods for physics and engineering |url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile  |ad1=K.F. |soyadı1=Riley |ad2=M.P.|soyadı2=Hobson |ad3=S.J. |soyadı3=Bence |yayıncı=Cambridge University Press |yıl=2010 |isbn=978-0-521-86153-3}}</ref> Bu yöntem, lineer cebirde temel bir araç olarak kabul edilir ve matrislerin eleman bazında işlem görmesi, bu alandaki çeşitli problemlerin çözümünde kullanılır.

:<math>\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\

\end{align}</math>

Örneğin:
:<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}
</math>

====Modüler aritmetik====
{{Ana|Modüler aritmetik}}
Modüler aritmetikte, kullanıma sunulan sayılar kümesi tam sayıların sonlu bir alt kümesine indirgenmiş olup, toplama işlemi bir modülüs değerine ulaşıldığında döngüsel bir karakter gösterir. Örneğin, 12 modülü tam sayılar kümesi on iki eleman içerir ve tam sayılardan miras alınan bir toplama operasyonunu barındırır ki bu operasyon, [[set teorisi (müzik)|müzikal set teorisinde]] temel bir role sahiptir. İki elemandan oluşan 2 modülü tam sayılar kümesi, [[Boolean mantığı]] içerisinde "[[exclusive or]]" fonksiyonu olarak tanımlanan bir toplama operasyonunu miras alır. Geometride de benzer bir döngüsel işlem gözlemlenir; burada iki açı ölçüsünün toplamı, genellikle reel sayılar cinsinden 2π modülünde hesaplanır. Bu durum, daire üzerinde bir toplama işlemine işaret eder ve bu işlem, çok boyutlu [[torus]]lar üzerindeki toplama operasyonlarının genelleştirilmesine olanak tanır.

====Genel teori====
Soyut cebirin genel kuramı, bir küme üzerinde tanımlanan "toplama" işleminin [[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|birleşimli]] ve [[Değişme özelliği|değişmeli]] nitelikteki herhangi bir işlem olabileceğini öngörür. Bu tür bir toplama işlemine dayanan temel [[cebirsel yapı]]lar, [[değişmeli monoid]]ler ve [[abelyen grup]]lar gibi yapıları içerir.

===Küme teorisi ve kategori teorisi===
Doğal sayıların toplamasının kapsamlı bir genelleştirmesi, küme teorisinde [[sıral sayı]]lar ve [[kardinal sayı]]ların toplanması şeklinde gerçekleştirilir. Bu yaklaşımlar, doğal sayıların toplanmasını [[sonluötesi sayı]]lara taşıyan iki farklı metodoloji sunar. Çoğu toplama işleminden ayrılarak, sıral sayıların toplaması değişmeli bir özellik göstermez.<ref>Cheng, ss. 124–132</ref> Öte yandan, kardinal sayıların toplaması, [[ayrık birleşim]] operasyonuna sıkı sıkıya bağlı olan değişmeli bir işlem olarak tanımlanır.

[[Kategori teorisi]]nde, ayrık birleşim, [[altçarpım]] işleminin belirli bir örneği olarak ele alınır,<ref>Riehl, s. 100</ref> ve genel altçarpımlar, toplamanın genelleştirmeleri içinde muhtemelen en soyut olanlardır. Bazı altçarpımlar, [[doğrudan toplam]] ve [[çatal toplam]] gibi, adlandırmalarıyla toplama işlemiyle olan ilişkilerini yansıtmaktadırlar.

==İlişkili işlemler==
Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme ile birlikte, temel işlemler arasında sayılır ve [[temel aritmetik]] alanında sıklıkla kullanılır.

===Aritmetik===
[[Çıkarma]], bir [[Toplamaya göre ters|toplamsal ters]] ekleme şeklinde, bir tür toplama işlemi olarak kabul edilebilir. Çıkarma, toplama işleminin bir tür tersi olarak işlev görür; zira {{mvar|x}} eklemek ve {{mvar|x}} çıkarmak, birbirinin [[ters fonksiyon]]u olarak hareket eder.

Bir toplama işlemine sahip olan kümede, her durumda karşılık gelen bir çıkarma işlemi tanımlamak mümkün olmayabilir; doğal sayılar kümesi bu duruma basit bir örnek teşkil eder. Öte yandan, bir çıkarma işlemi, bir toplama işlemi, toplamsal ters işlem ve toplamsal birim öğeyi zorunlu kılar; bu nedenle, toplamsal bir grup, çıkarma işlemine kapalı bir küme olarak ifade edilebilir.<ref>The set still must be nonempty. Dummit ve Foote (s. 48) bu kriteri çarpmayla ifade edilen biçimde tartışmaktadır.</ref>

[[Çarpma]], [[Çarpma ve tekrarlı toplama|tekrarlı toplama]] şeklinde yorumlanabilir. Eğer bir toplam içerisinde {{mvar|x}} terimi ''n'' kere bulunuyorsa, bu toplam ''n'' ve {{mvar|x}} değerlerinin çarpımına eşittir. ''n'' bir [[doğal sayı]] değilse bile, çarpma işlemi anlamını korur; örneğin, [[−1]] ile yapılan çarpma, bir sayının [[Toplamaya göre ters|toplamsal tersi]]ne ulaşılmasını sağlar.

[[Dosya:Csl.JPG|küçükresim|Bir dairesel cetvel.]]
Reel ve karmaşık sayılar alanında, [[üstel fonksiyon]] aracılığıyla toplama ve çarpma işlemleri birbirinin yerine geçebilir:<ref>Rudin s. 178</ref>
:<math>e^{a+b} = e^a e^b.</math>
Bu eşitlik, çarpma işleminin, [[matematiksel tablo|tablo]]lardaki [[logaritma]] değerlerine başvurularak ve toplama işleminin elle hesaplanarak yapılmasını mümkün kılar; bu aynı zamanda bir [[cetvel]] kullanılarak çarpma işlemi yapılmasını da sağlar. Bu formül, [[Lie grubu]]nun geniş bağlamında hala geçerli bir birinci derece yaklaşım sunar; burada, ilişkili [[Lie cebiri]]nde vektörlerin toplanması ile sonsuz küçük grup elemanlarının çarpımı arasında bir bağ kurulur.<ref>Lee s. 526, Önerme 20.9</ref>

Çarpma işlemi, toplama işlemine kıyasla daha fazla genelleştirilebilir.<ref>Linderholm (s. 49), "''Çarpma'' terimi ile matematikçiler, doğru anlamda, neredeyse herhangi bir şeyi kast edebilirler. ''Toplama'' terimi ile birçok farklı şeyi kast edebilirler, ancak ''çarpma'' terimi ile kastedilenler kadar geniş bir çeşitlilikte değil." demektedir.</ref> Genel olarak, çarpma işlemleri sürekli olarak [[Dağılma özelliği|toplama üzerinde dağılım]] göstermektedir; bu zorunluluk bir [[halka (matematik)|halka]]nın tanımında somutlaştırılmıştır. Bazı durumlarda, örneğin tam sayılar gibi, toplama üzerindeki dağılma ve çarpmada birim elemanın bulunması, çarpma işleminin kendine özgü şekilde tanımlanmasını sağlar. Dağılma özelliği, toplama işlemi hakkında da bilgi verir; {{kayma|(1 + 1)(''a'' + ''b'')}} çarpımını her iki taraftan açarak, toplamanın değişmeli olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Bu sebeple, genellikle halka toplamaları değişmelidir.<ref>Dummit ve Foote s. 224. Bu çıkarımın geçerli olması için, toplamanın bir grup işlemi olduğunu ve çarpmada bir birimin var olduğunu kabul etmek gerekir.</ref>

[[Bölme]] işlemi, toplama işlemiyle dolaylı olarak ilişkili bir aritmetik işlem olarak tanımlanır. {{kayma|1=''a''/''b'' = ''a''(''b''<sup>−1</sup>)}}, ifadesi gereğince, bölme işlemi toplama işlemine göre sağdan dağılımlıdır: {{kayma|1=(''a'' + ''b'') / ''c'' = ''a''/''c'' + ''b''/''c''}}.<ref>Sol ve sağ dağılım ile ilgili örnekler için Loday'ın eserine, özellikle s. 15'e başvurunuz.</ref> Bununla birlikte, bölme işlemi toplama işlemine göre soldan dağılım özelliği göstermez; örneğin, {{kayma|1 / (2 + 2)}} ifadesi {{kayma|1/2 + 1/2}} ile eşdeğer değildir.

===Sıralama===
[[Dosya:XPlusOne.svg|sağ|küçükresim|{{kayma|1={{mvar|x}} + 1}} ile {{kayma|1=max ({{mvar|x}}, 1)}} arasındaki ilişkinin {{mvar|x}} = 0.001'den 1000'e kadar olan [[log-log grafiği]]<ref>Viro'nun 1. Şekli (s. 2) karşılaştırılabilir.</ref>]]
"max (''a'', ''b'')" işlemi, toplama işlemine benzer bir ikili işlem olarak tanımlanır. Gerçekte, ''a'' ve ''b'' gibi iki negatif olmayan sayı farklı [[Büyüklük mertebesi|büyüklük mertebeleri]] gösterdiğinde, bunların toplamı genellikle maksimum değerlerine yaklaşık olarak eşdeğerdir. Bu yaklaşık değer, matematiğin çeşitli uygulama alanlarında, örneğin [[Taylor serisi]] kısaltmalarında büyük önem taşır. Ancak, "max" işleminin tersinir olmaması, [[nümerik analiz]]de devam eden zorluklara neden olur. Eğer ''b'' değeri ''a'' değerinden önemli ölçüde büyükse, {{kayma|(''a'' + ''b'') − ''b''}} şeklinde yapılan basit bir hesaplama, kabul edilemez düzeyde bir [[yuvarlama hatası]] toplayabilir ve hatta sonuç sıfır olarak dönebilir.

Bu yaklaşık değer, bir tür sonsuz sınır durumunda kesinlik kazanır; ''a'' veya ''b'' sonsuz bir [[kardinal sayı]] olduğunda, kardinal toplamları büyük olan iki değerle tam olarak eşitlenir.<ref>Enderton bu durumu "Kardinal Aritmetiğinin Emilme Kanunu" olarak adlandırmaktadır; bu durum kardinal sayıların karşılaştırılabilir olmasına ve dolayısıyla [[Seçim Aksiyomu]]na dayanmaktadır.</ref> Bu nedenle, sonsuz kardinal sayılar için çıkarma işlemi tanımlanmamıştır.<ref>Enderton s. 164</ref>

Maksimizasyon, toplama işlemi gibi hem değişmeli hem de birleşmelidir. Dahası, toplama işlemi reel sayıların sıralamasını koruduğundan, çarpma işlemi toplama işlemi üzerinde nasıl dağılıyorsa, toplama işlemi de "max" işlemi üzerinde aynı şekilde dağılım gösterir:
:<math>a + \max(b,c) = \max(a+b,a+c).</math>

Bu gerekçelerle, [[tropikal geometri]] alanında, çarpma işlemi toplama işlemi ile yer değiştirirken, toplama işlemi de maksimizasyon işlemi ile değiştirilmektedir. Bu kapsamda, toplama işlemi "tropikal çarpma" olarak, maksimizasyon ise "tropikal toplama" olarak isimlendirilir ve tropikal "toplamsal kimlik" [[genişletilmiş reel sayı doğrusu|negatif sonsuzluk]] olarak tanımlanmaktadır.<ref>Mikhalkin s. 1</ref> Bazı yazarlar ise toplama işlemini minimizasyon ile değiştirmeyi yeğlemektedirler; bu durumda toplamsal kimlik pozitif sonsuzluk olarak kabul edilir.<ref>Akian ve diğerleri s. 4</ref>

Bu gözlemleri bir araya getirilmesiyle, tropikal toplama, [[logaritma]] kullanılarak standart toplama işlemiyle yaklaşık bir ilişki kurar:
:<math>\log(a+b) \approx \max(\log a, \log b),</math>
Bu bağlantı, logaritmanın tabanı büyüdükçe artan bir doğrulukla sağlanmaktadır.<ref>Mikhalkin s. 2</ref> Yaklaşık değer, [[kuantum mekaniği]] alanından alınan [[Planck sabiti]]ne benzetme yapılarak isimlendirilen ''h'' sabiti çıkarılarak tam bir doğruluk kazanabilir,<ref>Litvinov ve diğerleri s. 3</ref> ve ''h'' değeri sıfıra yaklaştıkça alınan "[[klasik limit]]" ile:
:<math>\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).</math>
Bu perspektiften, maksimum işlem, toplamanın ''dekuantize'' edilmiş bir versiyonu olarak değerlendirilir.<ref>Viro s. 4</ref>

===Diğer toplama teknikleri===
Artırma, diğer bir adıyla [[ardıl işlemi]], bir sayıya {{num|1}} eklemeyi içerir.

[[Toplam]] işlemi, genellikle iki sayıdan fazlasının eklenmesini ifade eder ve bu kapsamda, bir sayının kendisiyle olan toplamı ve [[boş toplam]] olarak adlandırılan [[0 (sayı)|sıfır]] değeri de dahil edilir.<ref>Martin s. 49</ref> Sonsuz bir toplam işlemi, [[seri (matematik)|seri]] olarak tanımlanan ve özen gerektiren bir süreçtir.<ref>Stewart s. 8</ref>

Bir sonlu kümenin [[Sayma|sayılması]], o kümedeki birlerin toplamına denk gelir.

[[İntegral|İntegrasyon]], genellikle bir [[süreklilik]] üzerinde veya daha geniş ve kesin bir ifadeyle, bir [[türevlenebilir manifold]]lar üzerinde yapılan bir tür "toplam" işlemidir. Sıfır boyutlu bir manifold üzerindeki integrasyon, toplama işlemine indirgenmektedir.

[[Doğrusal kombinasyon]]lar, çarpma ve toplama işlemlerini bir araya getirirler; her bir terim, genellikle bir [[reel sayılar|reel]] veya [[karmaşık sayılar|karmaşık]] sayı olan bir çarpan içerir. Doğrusal kombinasyonlar, özellikle basit toplamanın normalleştirme kurallarını ihlal edeceği durumlar için yararlıdır, örneğin [[oyun teorisi]]nde [[karışık strateji|stratejilerin karıştırılması]] veya [[kuantum mekaniği]]nde [[kuantum durumu|durumların]] [[kuantum süperpozisyonu|süperpozisyonu]] gibi.<ref>Rieffel ve Polak, s. 16</ref>

[[Konvolüsyon]], [[olasılık dağılımı|dağılım fonksiyonları]] ile tanımlanmış iki bağımsız [[rassal değişken]]in toplanmasında kullanılır. Bu işlemin standart tanımı, integrasyon, çıkarma ve çarpma işlemlerini birleştirir.<ref>Gbur, s. 300</ref> Genel olarak, konvolüsyon, bir tür alan tarafından yapılan toplama işlemi olarak işlev görürken, vektör toplaması ise aralık tarafından yapılan toplama işlemi olarak değerlendirilir.

== Ayrıca bakınız ==

* [[Ay aritmetiği]]
* [[Zihinsel aritmetik]]
* [[Paralel ekleme]]
* [[Sözlü aritmetik]]

==Dipnotlar==
{{Kaynakça}}

== Kaynakça ==
{{Kaynak başı}}
'''Tarih'''
* {{kitap kaynağı |ad=José |soyadı=Ferreirós |başlık=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/labyrinthofthoug0000ferr  |yayıncı=Birkhäuser |yıl=1999 |isbn=978-0-8176-5749-9}}
* {{kitap kaynağı |ad=Louis |soyadı=Karpinski |yazarbağı=Louis Charles Karpinski |başlık=The History of Arithmetic |yayıncı=Rand McNally |yıl=1925 |tanıtıcı={{LCC|QA21.K3}}}}
* {{kitap kaynağı |ad=Steven |soyadı=Schwartzman |başlık=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw  |yayıncı=[[Mathematical Association of America|MAA]] |yıl=1994 |isbn=978-0-88385-511-9}}
* {{kitap kaynağı |ad=Michael |soyadı=Williams |başlık=A History of Computing Technology |url=https://archive.org/details/historyofcomputi0000will  |yayıncı=Prentice-Hall |yıl=1985 |isbn=978-0-13-389917-7}}

'''İlköğretim matematiği'''
* {{kitap kaynağı |yazar1=Sparks, F. |yazar2=Rees C. |başlık=A Survey of Basic Mathematics |url=https://archive.org/details/surveyofbasicmat0000spar |yayıncı=McGraw-Hill |yıl=1979 |isbn=978-0-07-059902-4}}

'''Eğitim'''
* {{kitap kaynağı |ad=Edward |soyadı=Begle |başlık=The Mathematics of the Elementary School |yayıncı=[[McGraw-Hill]] |yıl=1975 |isbn=978-0-07-004325-1 |url=https://archive.org/details/mathematicsofele0000begl }}
* [https://web.archive.org/web/20051228115904/http://www.cde.ca.gov/be/st/ss/mthmain.asp California State Board of Education mathematics content standards] Adopted December 1997, accessed December 2005.
* {{kitap kaynağı |yazar1=Devine, D. |yazar2=Olson, J. |yazar3=Olson, M. |başlık=Elementary Mathematics for Teachers |seri=2e |yayıncı=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |yıl=1991 |isbn=978-0-471-85947-5 |url=https://archive.org/details/elementarymathem0000devi }}
* {{kitap kaynağı |author=National Research Council |başlık=Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics |yayıncı=[[United States National Academies|National Academy Press]] |yıl=2001 |isbn=978-0-309-06995-3|yazarbağı=United States National Research Council |url=http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html|doi=10.17226/9822 }}
* {{kitap kaynağı |ad=John |soyadı=Van de Walle |başlık=Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally |seri=5e |yayıncı=Pearson |yıl=2004 |isbn=978-0-205-38689-5 |url=https://archive.org/details/elementarymiddle00vand }}

'''Biliş bilimi'''
* {{kitap kaynağı |soyadı1=Fosnot |ad1=Catherine T. |soyadı2=Dolk |ad2=Maarten |başlık=Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction |url=https://archive.org/details/youngmathematici0000fosn |yayıncı=Heinemann |yıl=2001 |isbn=978-0-325-00353-5}}
* {{konferans kaynağı |ad=Karen |soyadı=Wynn |kitapbaşlığı=The Development of Mathematical Skills. |başlık=Numerical competence in infants |yayıncı=Taylor & Francis |yıl=1998 |isbn=0-86377-816-X}}

'''Mathematiksel anlatımlar'''
* {{web kaynağı |soyadı=Bogomolny |ad=Alexander |yıl=1996 |başlık=Addition |çalışma=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org) |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |erişimtarihi=3 Şubat 2006 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20060426110928/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |arşivtarihi=26 Nisan 2006 |ölüurl=hayır}}
* {{kitap kaynağı |ad=Eugenia |soyadı=Cheng |yazarbağı=Eugenia Cheng |başlık=Beyond Infinity: An Expedition to the Outer Limits of Mathematics |başlıkbağı=Beyond Infinity (mathematics book) |yıl=2017 |yayıncı=Basic Books |isbn=978-1-541-64413-7}}
* {{kitap kaynağı |ad=William |soyadı=Dunham |başlık=The Mathematical Universe |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv0000dunh  |yayıncı=Wiley |yıl=1994 |isbn=978-0-471-53656-7}}
* {{kitap kaynağı |ad=Paul |soyadı=Johnson |başlık=From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics |url=https://archive.org/details/fromsticksstones0000unse |yayıncı=Science Research Associates |yıl=1975 |isbn=978-0-574-19115-1}}
* {{kitap kaynağı |ad=Carl |soyadı=Linderholm |yıl=1971 |başlık=Mathematics Made Difficult |yayıncı=Wolfe |isbn=978-0-7234-0415-6|başlıkbağı=Mathematics Made Difficult }}
* {{kitap kaynağı |ad=Frank |soyadı=Smith |başlık=The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult |url=https://archive.org/details/glasswallwhymath0000smit  |yayıncı=Teachers College Press |yıl=2002 |isbn=978-0-8077-4242-6}}
* {{kitap kaynağı |ad=Karl |soyadı=Smith |başlık=The Nature of Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/natureofmodernma0000smit |seri=3rd |yayıncı=Wadsworth |yıl=1980 |isbn=978-0-8185-0352-8}}

'''İleri matematik'''
* {{kitap kaynağı |ad=George |soyadı=Bergman |başlık=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions |seri=2.3 |yayıncı=General Printing |yıl=2005 |isbn=978-0-9655211-4-7 |url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html}}
* {{kitap kaynağı |ad=Claude |soyadı=Burrill |başlık=Foundations of Real Numbers |url=https://archive.org/details/foundationsofrea0000clau |yayıncı=McGraw-Hill |yıl=1967 |tanıtıcı={{LCC|QA248.B95}}}}
* {{kitap kaynağı |yazar1=Dummit, D. |yazar2=Foote, R. |başlık=Abstract Algebra |seri=2 |yayıncı=Wiley |yıl=1999 |isbn=978-0-471-36857-1}}
* {{Kitap kaynağı|soyadı=Gbur|ad=Greg|url=https://www.worldcat.org/oclc/704518582|başlık=Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering|tarih=2011|yayıncı=Cambridge University Press|isbn=978-0-511-91510-9|oclc=704518582|yazarbağı=Greg Gbur}}
* {{kitap kaynağı |ad=Herbert |soyadı=Enderton |başlık=Elements of Set Theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende |yayıncı=[[Academic Press]] |yıl=1977 |isbn=978-0-12-238440-0}}
* {{kitap kaynağı |ad=John |soyadı=Lee |başlık=Introduction to Smooth Manifolds |url=https://archive.org/details/introductiontosm0000leej |yayıncı=Springer |yıl=2003 |isbn=978-0-387-95448-6}}
* {{kitap kaynağı |ad=John |soyadı=Martin |başlık=Introduction to Languages and the Theory of Computation |url=https://archive.org/details/introductiontola0000mart |yayıncı=McGraw-Hill |seri=3 |yıl=2003 |isbn=978-0-07-232200-2}}
* {{kitap kaynağı |ad=Emily |soyadı=Riehl |yazarbağı=Emily Riehl |başlık=Category Theory in Context |yayıncı=Dover |url=https://math.jhu.edu/~eriehl/context/ |yıl=2016 |isbn=978-0-486-80903-8}}
* {{kitap kaynağı |ad=Walter |soyadı=Rudin |başlık=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi  |seri=3 |yayıncı=McGraw-Hill |yıl=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}}
* {{kitap kaynağı |ad=James |soyadı=Stewart |başlık=Calculus: Early Transcendentals |seri=4 |yayıncı=Brooks/Cole |yıl=1999 |isbn=978-0-534-36298-0 |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew }}

'''Mathematiksel araştırma'''
* {{dergi kaynağı |yazar1=Akian, Marianne |yazar2=Bapat, Ravindra |yazar3=Gaubert, Stephane |başlık=Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem |dergi=INRIA Reports |yıl=2005 |arxiv=math.SP/0402090|bibcode=2004math......2090A }}
* {{konferans kaynağı |author=[[John C. Baez|Baez, J.]] |yazar2=Dolan, J. |kitapbaşlığı=Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams |yıl=2001 |sayfa=29 |arxiv=math.QA/0004133 |isbn=3-540-66913-2}}
* Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii (1999). [https://arxiv.org/abs/math.SC/9911126 Idempotent mathematics and interval analysis]. ''[https://archive.today/20130203014259/http://www.springerlink.com/openurl.asp?genre=article&eissn=1573-1340&volume=7&issue=5&spage=353 Reliable Computing]'', Kluwer.
* {{dergi kaynağı |ad=Jean-Louis |soyadı=Loday |başlık= Arithmetree |dergi=Journal of Algebra |yıl=2002 |arxiv=math/0112034 |doi=10.1016/S0021-8693(02)00510-0 |cilt=258 |sayfa=275}}
* {{kitap kaynağı |soyadı=Mikhalkin |ad=Grigory |yıl=2006 |arxiv=math.AG/0601041 |zbl=1103.14034 |editör1-soyadı=Sanz-Solé |editör1-ad=Marta |başlık=Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume II: Invited lectures. Tropical Geometry and its Applications |yer=Zürich |yayıncı=[[European Mathematical Society]] |isbn=978-3-03719-022-7 |sayfalar=827-852}}
* {{Kitap kaynağı |soyadı=Viro |ad=Oleg |yıl=2001 |url=http://www.math.uu.se/~oleg/dequant/dequantH1.html |başlık=European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper |editör1-ad=Carles |editör1-soyadı=Cascuberta |editör2-ad=Rosa Maria |editör2-soyadı=Miró-Roig |editör3-ad=Joan |editör3-soyadı=Verdera |editör4-ad=Sebastià |editör4-soyadı=Xambó-Descamps |yayıncı=Birkhäuser |yer=Basel |isbn=978-3-7643-6417-5 |seri=Progress in Mathematics |cilt=201 |sayfalar=135-146|arxiv=math/0005163 |zbl=1024.14026 |bibcode=2000math......5163V }}

'''Hesaplama'''
* {{kitap kaynağı |yazar1=Flynn, M. |yazar2=Oberman, S. |başlık=Advanced Computer Arithmetic Design |yayıncı=Wiley |yıl=2001 |isbn=978-0-471-41209-0}}
* {{kitap kaynağı |yazar1=Horowitz, P. |yazar2=Hill, W. |başlık=The Art of Electronics |seri=2 |yayıncı=Cambridge UP |yıl=2001 |isbn=978-0-521-37095-0 |url=https://archive.org/details/artofelectronics00horo }}
* {{kitap kaynağı |ad=Albert |soyadı=Jackson |başlık=Analog Computation |yayıncı=McGraw-Hill |yıl=1960 |tanıtıcı={{LCC|QA76.4|J3}}}}
* {{Kitap kaynağı|başlıkbağı= Quantum Computing: A Gentle Introduction |başlık=Quantum Computing: A Gentle Introduction|soyadı1=Rieffel|ad1=Eleanor G.|soyadı2=Polak|ad2=Wolfgang H.|tarih=4 Mart 2011|yayıncı=MIT Press|isbn=978-0-262-01506-6|dil=İngilizce|yazarbağı=Eleanor Rieffel}}
* {{kitap kaynağı |yazar1=Truitt, T. |yazar2=Rogers, A. |başlık=Basics of Analog Computers |yayıncı=John F. Rider |yıl=1960 |tanıtıcı={{LCC|QA76.4|T7}}}}
* {{kitap kaynağı |kaynak=MARG |dil=fr |başlık=Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 |ad=Jean |soyadı=Marguin |yıl=1994 |yayıncı=Hermann |isbn=978-2-7056-6166-3}}
* {{kitap kaynağı |kaynak=TATON63 |dil=fr |başlık=Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 |ad=René |soyadı=Taton |yıl=1963 |sayfalar=20-28|yayıncı=Presses universitaires de France }}
{{Kaynak sonu}}
==Diğer okumalar==
* {{konferans kaynağı |soyadı1=Baroody |ad1=Arthur |soyadı2=Tiilikainen |ad2=Sirpa |başlık=The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development |yıl=2003 |sayfa=[https://archive.org/details/developmentofari0000unse/page/75 75] |isbn=0-8058-3155-X |yayıncı=Routledge |url=https://archive.org/details/developmentofari0000unse/page/75 }}
* {{kitap kaynağı |soyadı1=Davison |ad1=David M. |soyadı2=Landau |ad2=Marsha S. |soyadı3=McCracken |ad3=Leah |soyadı4=Thompson |ad4=Linda |başlık=Mathematics: Explorations & Applications |seri=TE |yayıncı=Prentice Hall |yıl=1999 |isbn=978-0-13-435817-8}}
* {{kitap kaynağı |ad1=Lucas N.H. |soyadı1=Bunt |ad2=Phillip S. |soyadı2=Jones |ad3=Jack D. |soyadı3=Bedient |başlık=The Historical roots of Elementary Mathematics |url=https://archive.org/details/historicalrootso0000bunt |yayıncı=Prentice-Hall |yıl=1976 |isbn=978-0-13-389015-0 }}
* {{dergi kaynağı |soyadı=Poonen |ad=Bjorn |yıl=2010 |başlık=Addition |url=http://www.girlsangle.org/page/bulletin.php |dergi=Girls' Angle Bulletin |cilt=3 |sayı=3–5 |issn=2151-5743 |erişim-tarihi=24 Nisan 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20240420075650/https://www.girlsangle.org/page/bulletin.php |arşivtarihi=20 Nisan 2024 |ölüurl=hayır }}
* {{konferans kaynağı |ad=J. Fred |soyadı=Weaver |başlık=Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective |kitapbaşlığı=Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction |yıl=1982 |sayfa=60 |isbn=0-89859-171-6 |yayıncı=Taylor & Francis}}
{{Kaynak sonu}}

{{kaynakça|2|refs=

<ref name="Busch">{{web kaynağı 
|başlık=Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar
|url=https://web.ogu.edu.tr/Storage/egulbandilar/Uploads/3-SetsFunctions-tr.pdf
|arşivURL=https://web.archive.org/web/20221117201731/https://web.ogu.edu.tr/Storage/egulbandilar/Uploads/3-SetsFunctions-tr.pdf
|arşivtarihi=17 Kasım 2022
|erişimtarihi=17 Kasım 2022 
|dil=Türkçe
}}</ref>

<ref name="Bronstein87">{{Kitap kaynağı 
|başlık=Taschenbuch der Mathematik 
|ad1=Ilja Nikolaevič<!-- Nikolajewitsch --> 
|soyadı1=Bronstein<!-- 1903–1976 --> 
|ad2=Konstantin Adolfovič<!-- Adolfowitsch --> 
|soyadı2=Semendjajew<!-- 1908–1988 --> 
|editör1-ad=Günter 
|editör1-soyadı=Grosche 
|editör2-ad=Viktor 
|editör2-soyadı=Ziegler<!-- 1922–1980--> 
|editör3-ad=Dorothea 
|editör3-soyadı=Ziegler 
|diğerleri=Weiß, Jürgen<!-- lector --> 
|translator-first=Viktor 
|translator-last=Ziegler 
|cilt=1 
|tarih=1987 
|basım=23 
|özgünyıl=1945 
|yayıncı=[[Verlag Harri Deutsch]] (and [[B.G. Teubner Verlagsgesellschaft]], Leipzig) 
|yer=Thun and Frankfurt am Main 
|dil=de 
|bölüm=2.4.1.1. 
|sayfalar=115-120|isbn=978-3-87144-492-0 
|başlıkbağı=Bronstein and Semendjajew
}}</ref>

<ref name="TDK_Matematik">{{kitap kaynağı 
|başlık=Matematik Terimleri Sözlüğü
|tarih=1983 
|yayıncı=Türk Dil Kurumu
}}</ref>

<ref name="Hempel">{{kitap kaynağı 
|ad1=Carl G.
|soyadı1=Hempel
|başlık=The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality
|tarih=2001 
}}</ref>

<ref name="Fierro">{{kitap kaynağı 
|ad1=Fierro
|soyadı1=R.
|başlık=Mathematics for Elementary School Teachers
|tarih=2012
|yayıncı=Cengage Learning
|dil=İngilizce
}}</ref>

<ref name="Moebs">{{kitap kaynağı
|soyadı1=Moebs
|ad1=William
|url=https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-4-dimensional-analysis
|başlık=University Physics Volume 1
|soyadı2=Ling
|ad2=Samuel J.
|yayıncı=OpenStax
|tarih=2022
|isbn=978-1-947172-20-3
|bölüm=1.4 Dimensional Analysis
|dil=İngilizce
|erişimtarihi=19 Kasım 2022
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20221102153853/https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-4-dimensional-analysis
|arşivtarihi=2 Kasım 2022
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name="Guardian_21_Aug_2008">{{haber kaynağı 
|gazete=The Guardian 
|soyadı1=Randerson 
|ad1=James 
|url=https://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic 
|başlık=Elephants have a head for figures 
|tarih=21 Ağustos 2008 
|erişimtarihi=29 Mart 2015 
|arşivURL=https://web.archive.org/web/20150402103526/http://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |arşivtarihi=2 Nisan 2015 
|dil=İngilizce
}}</ref>

}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Toplama| ]]
[[Kategori:Matematik terimleri]]
[[Kategori:Aritmetik]]