Trigonometrik fonksiyonlar sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Circle-trig6.svg|upright=1.36|küçükresim|sağ|{{Ortala|Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerinde gösterilmesi}}]]
[[Dosya:Trigonometric-functions.svg|upright=1.36|sağ|küçükresim|{{Ortala|Trigonometrik fonksiyonlar: {{renk|#00A|Sinüs}}, {{renk|#0A0|Kosinüs}}, {{renk|#A00|Tanjant}}, {{renk|#0AA|Kotanjant}}, {{renk|#A0A|Sekant}}, {{renk|#AA0|Kosekant}}}}]]
[[Dosya:Sine cosine plot.svg|upright=1.36|sağ|küçükresim|{{Ortala|<math>f(x) = sin(x)</math> ve <math>f(x) = cos(x)</math> fonksiyonlarının kartezyen uzayında grafiksel gösterimi}}]]

'''Trigonometrik fonksiyonlar''', [[matematik]]te bir [[açı]]nın [[fonksiyon]]u olarak geçen fonksiyonlardır. [[Geometri]]de [[üçgen]]leri incelerken ve periyodik olarak tekrarlanan olayları incelerken sıklıkla kullanılırlar. Genel olarak bir [[açı]]sı belirli [[dik üçgen]]lerde herhangi iki kenarın oranı olarak belirtilirler, ancak [[birim çember]]deki belirli [[doğru parçası|doğru parçalarının]] uzunlukları olarak da tanımlanabilirler. Daha çağdaş tanımlarda sonsuz [[Seri (matematik)|seriler]] veya belirli bir [[diferansiyel denklem]]in çözümü olarak geçerler.

== Temel fonksiyonlar ==
Çağdaş kullanımda, aşağıdaki tabloda da gösterildiği üzere altı tane temel trigonometrik fonksiyon vardır. Özellikle son dördünde, bu bağıntılar bu fonksiyonların tanımları olarak geçer, ama bu fonksiyonlar geometrik veya başka yollardan da tanımlanabilirler ve bu bağıntılar o yollardan da çıkarılabilir. Bu fonksiyonlar arasındaki birçok bağıntı [[Trigonometrik ifadeler listesi|trigonometrik ifadeler]] sayfasında görülebilir.
[[Dosya:TrigFunctionDiagram.svg|küçükresim|Altı trigonometrik fonksiyonun grafiği, birim çember ve θ = 0.7 radyan açısı için bir doğru verilmiştir. {{color|#A00|1}}, {{color|#00A|Sec(θ)}}, {{color|#0A0|Csc(θ)}} olarak etiketlenen noktalar, başlangıç noktasından o noktaya kadar olan doğru parçasının uzunluğunu temsil eder.

{{color|#A00|Sin(θ)}}, {{color|#00A|Tan(θ)}} ve {{color|#0A0|1}}

, x ekseninden başlayan çizginin yükseklikleridir, {{color|#A00|Cos(θ)}}, {{color|#00A|1}}, and {{color|#0A0|Cot(θ)}} ise başlangıçtan başlayarak x ekseni boyunca uzunluklardır.]]
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
|-
| '''Fonksiyon'''
| '''Kısaltma'''
| '''İlişki'''
|-
| '''Sinüs'''
| sin
| <math>\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,</math> 
|-
| '''Kosinüs'''
| cos
| <math>\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\,</math>
|-
| '''Tanjant'''
| tan
| <math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cot \theta} \,</math>
|-
| '''Kotanjant'''
| cot
| <math>\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} \,</math>
|-
| '''Sekant'''
| sec
| <math>\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,</math>
|-
| '''Kosekant'''
| csc<br />(veya cosec)
| <math>\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,</math>
|}

== Sinüs ve Kosinüs fonksiyonları ==

1. '''f(x) = sin(x)''' fonksiyonu [[dik üçgen]]'de karşı dik kenarın [[hipotenüs]]e oranıdır. Koordinat Düzleminde "y" ekseni olarak tabir edilir. Bu fonksiyonun tanım aralığı [-1,1] dir. Yani, sinüs fonksiyonunun değeri -1'den küçük 1'den büyük olamaz.

2. '''f(x) = cos(x)''' fonksiyonu dik üçgende Komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır. Koordinat düzleminde "x" ekseni olarak tabir edilir. Tanım aralığı f(x) = sinx fonksiyonuyla aynıdır.

Sinüs ve Kosinüs fonksiyonları arasında [[Pisagor teoremi]]nden çıkarılabilen; <math>\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1</math> bağıntısı vardır.

== Tanjant ve Kotanjant fonksiyonları ==
3. '''f(x) = tanx''' fonksiyonu dik üçgende Karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Koordinat düzleminde [[Birim çember]]e "x" ekseninin pozitif tarafında teğet ve x eksenine diktir. Tanım aralığı (-∞,+∞) dır. Ayrıca <math>\tan x \times \cot x = 1</math>'dir.

4. '''f(x) = cotx''' fonksiyonu dik üçgende Komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır. Koordinat düzleminde Birim çembere "y" ekseninin pozitif yönünde teğet ve y eksenine diktir. Tanım aralığı (-∞,+∞) dır.

Tanjant ve Kotanjant fonksiyonları arasında birim çemberde benzerlik yapılarak veya [[Pisagor teoremi]]nden bulunabilen <math>\tan x \times \cot x = 1</math> bağıntısı vardır.

=== Trigonometrik fonksiyonların özel değerleri ===
Aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi Trigonometrik fonksiyonların bazı yaygın olarak kullanılan özel değerleri vardır,
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! Fonksiyon
! <math>0 \ (0^\circ)</math>
! <math>\frac{\pi}{12} \ (15^\circ)</math>
! <math>\frac{\pi}{6} \ (30^\circ)</math>
! <math>\frac{\pi}{4} \ (45^\circ)</math>
! <math>\frac{\pi}{3} \ (60^\circ)</math>
! <math>\frac{5\pi}{12} \ (75^\circ)</math>
!<math>\frac{\pi}{2} \ (90^\circ)</math>
|-
| sin
| <math>0</math>
| <math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>\frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } {4}</math>
| <math>1</math>
|-
| cos
| <math>1</math>
| <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}</math>
| <math>0</math>
|-
| tan
| <math>0</math>
| <math>2-\sqrt{3}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
| <math>1</math>
| <math>\sqrt{3}</math>
| <math>2+\sqrt{3}</math>
| Tanımsız<ref name="Abramowitz and Stegun">Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, p.74</ref>
|-
| cot
| Tanımsız<ref name="Abramowitz and Stegun"/>
| <math>2+\sqrt{3}</math>
| <math>\sqrt{3}</math>
| <math>1</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
| <math>2-\sqrt{3}</math>
| <math>0</math>
|-
| sec
| <math>1</math>
| <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math>
| <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
| <math>\sqrt{2}</math>
| <math>2</math>
| <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math>
| Tanımsız<ref name="Abramowitz and Stegun"/>
|-
| csc
| Tanımsız<ref name="Abramowitz and Stegun"/>
| <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math>
| <math>2</math>
| <math>\sqrt{2}</math>
| <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
| <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math>
| <math>1</math>
|}

== Diğer trigonometrik fonksiyonlar ==
Yukarıda ifade edilenlerle birlikte, daha önce hiç duymamış olabileceğiniz ek trigonometrik fonksiyon aileleri vardır. Bunlar şunları içerir: Versine, Vercosine, Coversine, Covercosine, Exsecant, Excosecant, Haversine, Havercosine, Hacoversine, Hacovercosine.

Bunlar, temel üç trigonometrik fonksiyonun temel kombinasyonları için basit isimler olup özdeşlikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

{| class="wikitable"
|-
| '''Fonksiyon'''
| '''Kısaltma'''
| '''Özdeşlik'''
|-
| '''Versinüs'''
| versin(θ)
| 1 – cos(θ)
|-
| '''Verkosinüs'''
| vercosin(θ)
| 1 + cos(θ)
|-
| '''Koversinüs'''
| coversin(θ)
| 1 – sin(θ)
|-
| '''Koverkosinüs'''
| covercosin(θ)
| 1 + sin(θ)
|-
| '''Ekssekant'''
| exsec(θ)
| sec(θ) – 1
|-
| '''Ekskosekant'''
| excsc(θ)
| csc(θ) – 1
|-
| '''Haversinüs'''
| haversin(θ)
| versin(θ)/2
|-
| '''Haverkosinüs'''
| havercosin(θ)
| vercosin(θ)/2
|-
| '''Hakoversinüs'''
| hacoversin(θ)	
| coversin(θ)/2
|-
| '''Hakoverkosinüs'''
| hacovercosin(θ)
| covercosin(θ)/2
|-
|}

== Birim çemberde tanımlar ==
[[Dosya:Unit circle angles color.svg|sağ|küçükresim|upright=1.36|{{Ortala|[[Birim çember]]}}]]
Bu altı trigonometrik fonksiyon [[birim çember]]'de tanımlanabilir, yarıçapı bir birim olan [[çember]]dir. Birim çember tanımı pratik hesaplamada çok yararlar sağlar; aslında çoğu açıları için dik üçgeni kullanabiliriz. Açılar 0 ve π/2 [[radyan]]'la sınırlı değildir. Birim çember bütün pozitif ve negatif açıların trigonometrik değerlerini tanımlar

Ayrıca tek bir görsel resim Aynı anda tüm önemli üçgenlerin içinde saklanmasını sağlar.
[[Pisagor teoremi]]'nden yararlanılarak birim çemberde şu denklemi kurabiliriz: 
: <math>x^2 + y^2 = 1. \, </math>
Bu resim bazı yaygın açıları, negatif ve pozitif yöndeki ölçüleri, radyan ölçülerini içerir, ''x''-ekseninin pozitif yarısının orijinden çizilen doğru ile yaptığı açı ''θ''’dır, bu birim çemberle kesişir. ''x''- ve ''y''-koordinatlarının bu kesim noktası ile kesiştiği nokta sırasıyla cos&nbsp;''θ'' ve sin&nbsp;''θ'', değerlerine eşittir. Hipotenüs burada 1'e eşittir. böylece sin&nbsp;''θ''&nbsp;=&nbsp;''y''/1 ve cos&nbsp;''θ''&nbsp;=&nbsp;''x''/1 olacaktır
 
Bu değerlerin, kolay biçimde hafızaya alındığını aklınızda bulundurunuz
: <math>\frac{1}{2}\sqrt{0},\quad \frac{1}{2}\sqrt{1},\quad \frac{1}{2}\sqrt{2},\quad \frac{1}{2}\sqrt{3},\quad \frac{1}{2}\sqrt{4}.</math>
15°, 18º, 36º, 54°, 72º ve 75° için elde edilen değerleri aşağıdadır.
:<math>\sin 15^\circ = \cos 75^\circ = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}\,\!</math>
:<math>\sin 18^\circ = \cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}</math>
:<math>\sin 36^\circ = \cos 54^\circ = \frac{\sqrt{10} - 2\sqrt5}{4}</math>
:<math>\sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \dfrac{\sqrt5 + 1 } {4}\,\!</math>
:<math>\sin 72^\circ = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt5}{4}</math>
:<math>\sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}\,\!</math>

3º, 6º, 9º, 81º, 84º ve 87º için değerleri analitik olarak hesaplanabilir.

:<math>\sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \dfrac{\sqrt{30} + \sqrt{10} + \sqrt{20 + 4 \sqrt5} - \sqrt6 - \sqrt2 - \sqrt{60 + 12 \sqrt5}}{16}\,\!</math>
:<math>\sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \dfrac{\sqrt{30 - 6 \sqrt5} - \sqrt5 - 1 }{8}\,\!</math>
:<math>\sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \dfrac{\sqrt{90} + \sqrt{18} + \sqrt{10} + \sqrt2 - \sqrt{20 - 4 \sqrt5} - \sqrt{180 - 36 \sqrt5}}{32}\,\!</math>
:<math>\sin 84^\circ = \cos 6^\circ =\frac{\sqrt{10} - 2\sqrt5 + \sqrt{15} + \sqrt3}{8}</math>
:<math>\sin 87^\circ = \cos 3^\circ =\frac{\sqrt{60 + 12\sqrt5}+\sqrt{20 + 4\sqrt5}+\sqrt{30}+\sqrt2-\sqrt6-\sqrt{10}}{16}</math>

{{Temiz}}
[[Dosya:Sine cosine one period.svg|upright=1.36|sağ|küçükresim|{{Ortala|Sinüs ve kosinüs fonksiyonları Kartezyen düzlemde grafikle gösterilebilir.}}]] 
2π ve daha büyük açılar için az-2π ve daha küçük açılar için çember etrafında sadece bir daire etrafında dönmeye devam ederler
; sin ve cos [[periyodik fonksiyon]] ve periodu 2π'dir:
: <math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right),\,</math>
: <math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right),\,</math>

herhangi bir açı θ ve herhangi bir [[tam sayı]]&nbsp; ''k'' 'dır.

== Seri tanımları ==
[[Dosya:Taylorsine.svg|upright=1.36|küçükresim|sağ|{{Ortala|Sinüs fonksiyonu (mavi), orijini merkez alan tam bir döngü için 7. derecedeki (pembe) [[Taylor teoremi|Taylor polinomu]] ile oldukça yakınsanır.}}]]

Trigonometrik fonksiyonların [[Taylor serisi]]'ne açılımları aşağıdaki gibidir. bütün ''x'':<ref>See Ahlfors, pages 43–44.</ref> [[gerçek sayılar]] için
:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
\end{align}
</math>
Bu iki serinin şu toplamı [[Euler formülü]]'nü verir: cos ''x'' + ''i'' sin ''x'' = ''e''<sup>''ix''</sup>.
Diğer serilerde bulunabilir.<ref>Abramowitz; Weisstein.</ref> 
Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonlar için:
: ''U''<sub>''n''</sub> ''n''inci [[üst/alt sayı]]'dır,
: ''B''<sub>''n''</sub> ''n''inci [[Bernoulli sayısı]]'dır, ve
: ''E''<sub>''n''</sub> (aşağıda) ''n''inci [[Euler sayısı]]'dır.
<!-- ''It would be nice if someone adds how the infinite series expressions are deduced.'' -->
<!-- Yeah but those numbers are often _defined_ by the power series. -->

'''Tanjant'''
: <math>
\begin{align}
\tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
& {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad |x| < \frac{\pi}{2} \text{  için}.
\end{align}
</math>

Eğer seri tanjant fonksiyonu ilgili faktöriyelleri ile ifade edilecekse, [[kombinatorik]] yorumlamada, kardinal tek sayıların sonlu sayıda [[permütasyon]] alternatifleri vardır bunlar "tanjant sayıları" olarak adlandırılır.<ref name="Stanley, Enumerative Combinatorics page 149">Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol I., page 149</ref>

'''Kosekant'''
: <math>
\begin{align}
\csc x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad 0 < |x| < \pi \text{  için}.
\end{align}
</math>

<!-- extra blank line between [[TeX]] displays for legibility -->
'''Secant'''
: <math>
\begin{align}
\sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\
& {} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad |x| < \frac{\pi}{2} \text{  için}.
\end{align}
</math>

Eğer seri [[sekant]] fonksiyonu ilgili [[faktöriyel]]leri ile ifade edilecekse, [[kombinatorik]] yorumlamada, kardinal tek sayıların sonlu sayıda [[permütasyon]] alternatifleri vardır bunlar "sekant sayıları" olarak adlandırılır.<ref name="Stanley, Enumerative Combinatorics page 149"/>

'''Kotanjant'''
: <math>
\begin{align}
\cot x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad 0 < |x| < \pi \text{  için}.
\end{align}
</math>
kotanjant fonksiyonu ve ters fonksiyonlar için:<ref>{{Kitap kaynağı
 | soyadı1 = Aigner
 | ad1 = Martin
 | yazarbağı1 = Martin Aigner
 | soyadı2 = Ziegler
 | ad2 = Günter M.
 | yazarbağı2 = Günter Ziegler
 | başlık = Proofs from THE BOOK
 | yayıncı = [[Springer-Verlag]]
 | sürüm = Second
 | yıl = 2000
 | isbn = 978-3-642-00855-9
 | sayfa = 149
 | url = http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-642-00855-9
 | erişimtarihi = 27 Haziran 2012
 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20120220171324/http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-642-00855-9
 | arşivtarihi = 20 Şubat 2012
 | ölüurl = hayır
 }}</ref>
: <math>
\pi \cdot \cot (\pi x) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}.
</math>
Bu eşitlik [[Gustav Herglotz|Herglotz]] hilesi ile ispat edilir.<ref>{{Kitap kaynağı
|başlık=Theory of complex functions
|ad1=Reinhold
|soyadı1=Remmert
|yayıncı=Springer
|yıl=1991
|isbn=0-387-97195-5
|sayfa=327
|url=http://books.google.com/books?id=CC0dQxtYb6kC
|erişimtarihi=27 Haziran 2012
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20120118135912/http://books.google.com/books?id=CC0dQxtYb6kC
|arşivtarihi=18 Ocak 2012
|ölüurl=hayır
}}, [http://books.google.com/books?id=CC0dQxtYb6kC&pg=PA327 Extract of page 327] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20130607173653/http://books.google.com/books?id=CC0dQxtYb6kC&pg=PA327 |tarih=7 Haziran 2013 }}</ref>
<math>-n</math>-inci ve <math>n</math>-inci terimleri birleştirilerek [[Mutlak yakınsama|mutlak yakınsak]] seri:
:<math>
\pi \cdot \cot (\pi x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{x^2-n^2}.
</math>

=== Üstel fonksiyonlar ve karmaşık sayılarla ilişkisi ===
[[Dosya:Sine and Cosine fundamental relationship to Circle (and Helix).gif|küçükresim|upright=1.91|{{Ortala|[[Euler formülü]]nün üç boyutlu [[Sarmal|helis]]le gösterimi, [[birim çember]]in 2-D [[izdüşüm (matematik)|ortogonal]] parçası ile başlıyor, <math>sin</math> ve <math>cos</math> (''<math>\theta</math>'' yerine <math>=</math> ''<math>t</math>'').}}]]
:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \, </math>

Bu eşitlik [[Euler formülü]]dür. Karmaşık analizin geometrik yorumlanmasının esasını oluşturur. Örnek olarak [[Karmaşık düzlem]]'de birim çemberin ''e''<sup>&nbsp;''ix''</sup>, parametrizasyonu gibi. Buradaki paramatreler cos ve sin'dir. 
[[Euler formülü]] ile aşağıdaki sin ve cos [[Trignometrik eşitlikler listesi|trigonometrik eşitlikler]] yazılabilir:
: <math> \sin\theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \;</math>

: <math> \cos\theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \;</math>
Dahası, trigonometrik fonksiyonların bu karmaşık argümanları için ''z'' tanımını sağlar:
: <math>\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i} </math>

: <math>\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \cosh \left(i z\right) </math>

burada ''i''<sup>&nbsp;2</sup>&nbsp;=&nbsp;−1. sin ve cos [[tam fonksiyon]]'dur. Ayrıca, ''x'' saf gerçeldir,

: <math>\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}) \,</math>

: <math>\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}) \,</math>

Ayrıca argümanları gerçek ve sanal kısımları bakımından karmaşık sinüs ve kosinüs fonksiyonları ifade etmek bazen yararlıdır.
: <math>\sin (x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y,\,</math>

: <math>\cos (x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y.\,</math>

Bu (''sin'', ''cos'') fonksiyonlarından yararlanılarak hiperbolik gerçek (''sinh'', ''cosh'') karşılıkları bulunabilir.

==== Karmaşık grafik ====
Aralık değerinin parlaklığın büyüklüğü (mutlak değeri) gösterir. Parlaklığı siyah olan değer sıfırdır. Renk tonu pozitif reel eksenle ölçülen, argüman veya açı ile değişir.[[Dosya:Complex coloring.jpg|küçükresim|{{Ortala|Karmaşık fonksiyonlar için renk haritası. Ölçek sinh kullanılarak yapılır.}}]]

== Ayrıca bakınız ==
<div class="references" style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Trigonometrinin ana hatları]]
* [[Trigonometrik tabloların oluşturulması]]
* [[Aryabhata sinüs tablosu]]
* [[Madhava sinüs tablosu]]
* [[Madhava serisi]]
* [[Bhaskara sinüs yaklaşıklığı formülü]]
* [[Hiperbolik fonksiyon]]
* [[Birim vektör]] (cos yön açıklaması)
* [[Newton serisi tablosu]]
* [[Trigonometrik eşitliklerin listesi]]
* [[Trigonometrik eşitliklerin kanıtları]]
* [[Euler formülü]]
* [[Polar sinüs]]-köşe açıları bir genellemesi 
* [[Gauss sürekli kesri]]-tanjant fonksiyonu tanımı için bir [[sürekli kesir]]
* [[Genelleştirilmiş trigonometri]]
</div>

== Notlar ==
{{kaynakça}}

== Kaynakça ==
{{Kaynak başı}}
*Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]'', Dover, New York. (1964). ISBN 0-486-61272-4.
*[[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable'', second edition, [[McGraw-Hill Book Company]], New York, 1966.
*[[Carl Benjamin Boyer|Boyer, Carl B.]], ''A History of Mathematics'', John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
* Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transaction on Mathematical Software (1991).
*Joseph, George G., ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'', 2nd ed. [[Penguin Books]], London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
* Kantabutra, Vitit, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," ''IEEE Trans. Computers'' '''45''' (3), 328–339 (1996).
*Maor, Eli, ''[https://web.archive.org/web/20040404234808/http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights]'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.
*Needham, Tristan, [https://web.archive.org/web/20040602145226/http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf "Preface"]" to ''[http://www.usfca.edu/vca/ Visual Complex Analysis]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20040602145226/http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf |tarih=2 Haziran 2004 }}''. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
*O'Connor, J.J., and E.F. Robertson, [https://web.archive.org/web/20130120084848/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html "Trigonometric functions"], ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (1996).
*O'Connor, J.J., and E.F. Robertson, [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html "Madhava of Sangamagramma"]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20060226001644/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html |tarih=26 Şubat 2006 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (2000).
*Pearce, Ian G., [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html "Madhava of Sangamagramma"]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20060505201342/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |tarih=5 Mayıs 2006 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (2002).
*Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html "Tangent"]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20060719202529/http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html |tarih=19 Temmuz 2006 }} from ''[[MathWorld]]'', accessed 21 January 2006.
{{Kaynak sonu}}

== Dış bağlantılar ==
{{Vikikitap|Trigonometry}}
*[http://www.visionlearning.com/library/module_viewer.php?mid=131&l=&c3= Visionlearning Module on Wave Mathematics]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20080318184702/http://www.visionlearning.com/library/module_viewer.php?mid=131&l=&c3= |tarih=18 Mart 2008 }}
*[https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ GonioLab]: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
*[http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ Dave's draggable diagram.]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20080615133310/http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |tarih=15 Haziran 2008 }} (Requires java browser plugin)

{{Trigonometri}}

<!--kategori-->

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Trigonometri|Fonksiyon]]
[[Kategori:Özel fonksiyonlar]]
[[Kategori:Analitik fonksiyonlar]]
[[Kategori:Rasyolar]]