Vektör sayfasının kaynağını görüntüle

{{diğer anlamı2|Vektör}}

[[Dosya:vector from A to B.svg|küçükresim|''A'' [[nokta]]sından ''B'' noktasına çizili bir vektör.]]

[[Matematik]], [[fizik]] ve [[mühendislik]]te, '''Öklid vektörü''' veya kısaca '''vektör''' (bazen '''geometrik vektör''',<ref>{{harvnb|Ivanov|2001}}</ref> '''konumsal vektör'''<ref>{{harvnb|Heinbockel|2001}}</ref> ya da '''yöney''') sayısal büyüklüğü (veya [[Öklid uzaklığı|uzunluğu]]) ve yönü olan geometrik bir objedir. Vektör, genellikle bir [[doğru parçası]] ile özdeşleştirilir. Bir ''başlangıç noktası'' ''A'' ile bir ''uç noktası'' ''B''<nowiki/>'yi birleştiren bir ok şeklinde görselleştirilir<ref>{{harvnb|Itô|1993|p=1678}}; {{harvnb|Pedoe|1988}}</ref> ve <math>\overrightarrow{AB}</math> ile belirtilir.

[[Hız]], [[kuvvet]], [[ivme]] ve [[ağırlık]] örnek birer vektörel niceliktir. Vektörler bir [[sayı]] (skaler) ile veya başka bir vektör ile çarpılabilir ve bölünebilir. Aynı zamanda yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilirler. Vektörlerin yönlü doğru parçalarından farkı budur. Yönlü doğru parçalarının koordinat sistemindeki yeri sabitken, vektörler ötelenebilirler.

== Köken ==

[[İngilizce]]de bu yapı için kullanılan sözcük '''vector''' dür. Kökeni, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" [[Latince]] [[fiil]] gövdesidir.<ref>{{Web kaynağı |url=http://www.etymonline.com/index.php?term=vector |başlık=Online Etymology Dictionary |erişimtarihi=25 Ocak 2007 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20060818093418/http://www.etymonline.com/index.php?term=vector |arşivtarihi=18 Ağustos 2006 |ölüurl=hayır }}</ref> Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki [[Türkçe]]de (büyük ihtimalle [[Fransızca]]dan devşirilmiş olan) '''vektör''' karşılığından sonra '''yöney''' karşılığı kullanılmaktadır.<ref>[http://tdkterim.gov.tr/terim.php?kelime=y%F6ney&hng=md Türk Dil Kurumu, Bilim ve Sanat Terimleri Ana Sözlüğü]{{Ölü bağlantı|date=Kasım 2022 }}</ref>

== Gösterimi ==

[[Dosya:vector from A to B.svg|küçükresim|sağ|upright=0.91|A noktasından B noktasına varan bir vektör oku]]

Fiziksel vektörler veya geometrik vektörler, iki boyutlu düzlem için tanımı şu şekilde yapılabilir. İki boyutlu düzlemde 2 tane nokta alınsın bu noktalar '''A''' ve '''B''' noktaları olsun. '''A noktasından(başlangıç noktası) B noktasına (bitiş noktası) çizilen ve normu olan bu yönlü doğru parçasına A'dan B'ye çizilen AB vektörü denir.'''

Gösterimi iki şekildedir: 1.gösterim   <math>\overrightarrow{\Alpha\Beta}</math>

2.gösterim   '''AB'''

ile gösterilir.

Ok vektörün yönünü gösterir. Doğru parçasının uzunluğu ise, vektör büyüklüğü ile doğru orantılıdır.

[[Dosya:Notation for vectors in or out of a plane.svg|küçükresim|sağ|upright=0.91]]

İki boyutlu bir [[koordinat düzlemi]]nde; bazen bir vektör koordinat düzlemine dik olarak gösterilmesi gerekebilir. Bir dairenin merkezinde bir nokta bulunursa (⊙), bu sembol yönü gözlemciye doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bir dairenin içinde bir çarpı işareti bulunursa (⊗), bu sembol yönü [[düzlem]]in arkasına doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bu semboller, bir savaş okunun ucunun görüntülenmesi ve bir savaş okunun arka kanatlarının görüntülenmesi gibi düşünülebilir.

== Bir vektörün büyüklüğü ==
Bir vektörün büyüklüğü başlangıç ve bitiş noktaları arasında kalan doğru parçasının uzunluğudur vektörler referans noktasına göre - ve+ olmak üzere iki yöne ayrılabilirler. - yönündeki bir vektöre negatif yönlü vektör, + yönündeki vektöre ise pozitif yönlü vektör denir. Vektörlerin büyüklükleri skaler nicelik ifade eder o denli bu - ve + işaretlerinin skaler bir gösterimden uzaklaşması için vektörün mutlak değerini almamız gerekir.''⟨e.a⟩''

'''AB''' vektörünün normu |'''AB|''' dir.

Daha genel gösterim  |<math>\overrightarrow{\Alpha\Beta}</math>| dir.

== Soyut tanımı ==

Soyut olarak vektörler, bir ''F'' cisminin üzerine tanımlı bir [[vektör uzayı]]nın ögeleridir. Vektörler bu cisim üzerine tanımlanmış bir [[denklik bağıntısı]] yardımıyla tanımlanabilir.
<math>a,b,c,d \in F^n=F \times F \times \cdots \times F</math> (''n'' tane) olsun. ''a'' ögesi ile ''b'' ögesi,[[ancak ve ancak|ancak]] bileşenlerin toplamı olarak ''a+d=b+c'' ise [[bağıntı]]lıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse

: <math>a \sim b \Leftrightarrow \forall i \in \{1, 2, \cdots, n \} : \quad a_i+d_i=b_i+c_i</math>

şeklinde tanımlanır ki burada <math>a_i \in F</math>'ler ''a'' [[nokta]]sının [[koordinat]]larıdır ve ''+''işlemi ''F'' cismine aittir.

Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde vektör, [[denklik sınıfı|denklik sınıflarıdır]]. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir vektör

: <math>\mathbf{a}=\{a|a \sim b \}</math>

olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir vektör,

: <math>\mathbf{a}=( a_1-b_1,a_2-b_2,\cdots,a_n-b_n )=( c_1-d_1,c_2-d_2,\cdots,c_n-d_n )</math>

şeklinde düşünülebilir.

=== Gösterimi ===

Bir vektör çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti (<math>\vec{a}</math>) ya da koyu harf (<math>\mathbf{a}</math>) gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.

Vektörün [[bileşen]]leriyle gösteriminde ise genellikle [[sıralı n-li]] kullanılır.

: <math>\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>

Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) [[satır dizey|satır]] ya da [[sütun dizey]] gösterimi de yeğlenir.

: <math>\mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}</math> ya da<math>\mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_n \end{bmatrix}</math>

Yine yaygın gösterimlerden biri [[birim vektör]] gösterimidir.

: <math>\mathbf{a}=a_1 \mathbf{i}_1+a_2 \mathbf{i}_2+\cdots+a_n \mathbf{i}_n</math>

ki burada

:: <math>\mathbf{i}_1=(1,0,\cdots,0)</math>
:: <math>\mathbf{i}_2=(0,1,0,\cdots,0)</math>
:: <math>\vdots</math>
:: <math>\mathbf{i}_n=(0,\cdots,0,1)</math>

alınabilir.

Bir vektör

: <math>\mathbf{a}=\sum_{j=1}^n a_j \mathbf{i}_j</math>

şeklinde düşünüldüğünde [[Einstein toplam uzlaşımı]] kullanılarak

: <math>a=a_j \mathbf{i}_j \quad \quad \quad (j=1,2,\cdots,n)</math>

şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, [[toplam simgesi]]nden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

=== Eşitlik ===

Ancak vektörlerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki vektör eşittir.

: <math>\mathbf{a}=\mathbf{b}</math>

=== Vektör toplamı ===

[[Dosya:Vector addition.svg|sağ|280px]]

İki vektörün toplamı üçüncü bir vektöre eşittir.
1. şekil parelelkenar metodu, 2.si ise uç uca ekleme metodudur.

{| class="wikitable"
| <math>\mathbf{a}+\mathbf{b}</math>
| <math>=(a_1 \mathbf{i}_1+a_2 \mathbf{i}_2+\cdots+a_n \mathbf{i}_n)+(b_1 \mathbf{i}_1+b_2 \mathbf{i}_2+\cdots+b_n \mathbf{i}_n)</math>
|-
|
| <math>=(a_1+b_1)\mathbf{i}_1 + (a_2+b_2)\mathbf{i}_2 + \cdots + (a_n+b_n)\mathbf{i}_n</math>
|-
|
| <math>=\begin{bmatrix}a_1+b_n \\ a_2+b_n \\ \cdots \\ a_3+b_n\end{bmatrix}</math>
|}

=== Skaler (sayıl) ile çarpma ===

Bir vektör uzayında, [[skaler]] ve vektörler arasında bir çarpma ve [[dağılma özelliği|dağılma]] olması gerekir. ''r,s'' sayılları ''F'' cismine ait olsun. O halde <math>\mathbf{a}</math>, <math>\mathbf{b}</math>vektörleri için,

* [[Sayıl]] ile [[birleşme]]: <math>r(s \mathbf{a})=(rs)\mathbf{a}</math>
* [[Sayıl]] toplaması üzerine [[dağılma özelliği|dağılma]]: <math>(r+s)\mathbf{a}=r\mathbf{a}+s\mathbf{a}</math>
* Vektör toplamı üzerine [[dağılma özelliği|dağılma]]: <math>r(\mathbf{a}+\mathbf{b})=r\mathbf{a}+r\mathbf{b}</math>
* [[Sayıl]] [[birim öge]] ile çarpma: <math>1\mathbf{a}=\mathbf{a}</math>

özellikleri sağlanır.

Genel olarak vektörle skalerle çarpması, vektörün her bileşeninin skaler ile çarpılmasıdır.

: <math>r\mathbf{a}=\begin{bmatrix} r a_1 & r a_2 & \cdots & r a_n \end{bmatrix}</math>

=== Doğrudan çarpım (tensör çarpımı) ===

İki vektörün doğrudan çarpımının sonucu ne bir vektördür ne bir skalerdir, bir [[ikiç]]tir (dyad).

: <math>  \mathbf{a} \mathbf{b} =

  \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}b_1 && b_2 && b_3 \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}a_1 b_1 && a_1 b_2 && a_1 b_3
  \\a_2 b_1 && a_2 b_2 && a_2 b_3
  \\a_3 b_1 && a_3 b_2 && a_3 b_3 \end{bmatrix}</math>
Bu çarpıma, eğer vektörler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer vektöreri birim vektörlerle ifade edersek

: <math>\mathbf{a}=a_1 \mathbf{i}_1+a_2\mathbf{i}_2+a_3 \mathbf{i}_3</math>
: <math>\mathbf{b}=b_1 \mathbf{i}_1+b_2\mathbf{i}_2+b_3 \mathbf{i}_3</math>

şeklinde tanımlanan iki vektör için doğrudan çarpım

:{| class{"wikitable"}

| <math>\mathbf{a} \mathbf{b} \,</math>
| =
| <math>( a_1 \mathbf{i}_1+a_2\mathbf{i}_2+a_3 \mathbf{i}_3 ) ( b_1 \mathbf{i}_1+b_2\mathbf{i}_2+b_3 \mathbf{i}_3 )</math>
|-
|
| =
| <math>a_1 b_1 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_1 + a_1 b_2 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_2 + a_1 b_3 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_3</math>
|-
|
| +
| <math>a_2 b_1 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_1 + a_2 b_2 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_2 + a_2 b_3 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_3</math>
|-
|
| +
| <math>a_3 b_1 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_1 + a_3 b_2 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_2 + a_3 b_3 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_3</math>
|}

olarak elde edilir. Buradaki <math>\mathbf{i}_1\mathbf{i}_2</math> gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir <math>\mathbf{i}</math> cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden<math>\mathbf{i}_{ij}=\mathbf{i}_i\mathbf{i}_j</math> olarak tanımlandığında

::{| class("wikitable")

| <math>\quad</math>
| =
| <math>a_1 b_1 \mathbf{i}_{11} + a_1 b_2 \mathbf{i}_{12} + a_1 b_3 \mathbf{i}_{13}</math>
|-
|
| +
| <math>a_2 b_1 \mathbf{i}_{21} + a_2 b_2 \mathbf{i}_{22} + a_2 b_3 \mathbf{i}_{23}</math>
|-
|
| +
| <math>a_3 b_1 \mathbf{i}_{31} + a_3 b_2 \mathbf{i}_{32} + a_3 b_3 \mathbf{i}_{33}</math>
|}

elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekâbül eder.

== Konum (yer) vektörü ==

[[Dosya:Position vector.svg|küçükresim|sağ|Kartezyen koordinat düzleminde bir konum(yer) vektörü. Vektörün koordinatları: '''A vektörü = (2,3)''']]

Başlangıç noktası [[orijin]] olan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz.

Başlangıç noktası '''O = (0,0)''', bitiş noktası '''A = (2,3)''' olan iki boyutlu bir vektör düşünelim. Bu vektör basit olarak aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

: <math>\overrightarrow{A} = (2,3)</math>

Üç boyutlu [[kartezyen koordinat sistemi]]nde (veya <math>\mathbb{R}^3</math>) vektörler, üç skaler sayı ile tanımlanır:

: <math>\overrightarrow{G} = (a, b, c)</math>

== Standart temel vektörler ==

[[Dosya:3D Vector.svg|küçükresim|upright=1.36|sağ|"'''i'''","'''j'''","'''k'''" temel birim vektörleri.]]

Birim vektör, uzunluğu 1 birim olan vektörlere denir. Üç boyutlu [[kartezyen koordinat sistemi]]nde '''x''','''y''' ve '''z''' eksenleri üzerinde yer alan üç tane temel birim vektör vardır. Bunlar:

: <math>i = {\mathbf e}_1 = (1,0,0)</math>
: <math>j = {\mathbf e}_2 = (0,1,0)</math>
: <math>k = {\mathbf e}_3 = (0,0,1)</math>

ise:

:: <math>\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}</math>

== Bir vektörün normu ==

'''A''' vektörünün uzunluğu (normu ya da boyu), '''||A||''' sembolü ile gösterilir.

"'''i'''", "'''j'''" ve "'''k'''" temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü, [[Pisagor teoremi]]nin bir sonucudur. O halde:

: <math>\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}</math>

Yukarıdaki vektörü ele alırsak:

: <math>\left\|\overrightarrow{G}\right\|=\sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}</math>

== İki vektörün birbiriyle çarpımı ==

: <math>\overrightarrow{G} = (a, b, c)</math>
: <math>\overrightarrow{H} = (d, e, f)</math>

Bu iki vektörü ele alırsak:

=== İç (Skaler) çarpım (<math>\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H}</math>) ===

[[Nokta çarpım]] da denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

==== Bileşenleri türünden çarpımı ====

Örnek:

: <math>\overrightarrow{G} = (a, b, c)</math>
: <math>\overrightarrow{H} = (d, e, f)</math>

Bu iki vektörü ele alırsak:

: <math>\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H} = {(a, b, c)}\cdot{(d, e, f)} = {a}\cdot{d} + {b}\cdot{e} + {c}\cdot{f}</math>

==== Aralarındaki açı türünden çarpımı ====

[[Dosya:Dot Product.svg|küçükresim|upright=1.36|sağ|<math>\overrightarrow{A}</math> ve <math>\overrightarrow{B}</math> vektörleri arasındaki "[[theta]]" açısı.]]

Örnek:

: <math>\overrightarrow{G} = (a, b, c)</math>
: <math>\overrightarrow{H} = (d, e, f)</math>

Bu iki vektörü ele alırsak:

: <math>\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H}

=\left\|\overrightarrow{G}\right\|\left\|\overrightarrow{H}\right\|\cos\theta</math>

<math>\cos\theta</math> 'nın değerini bulmak için:

: <math>\cos \theta=\frac {\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H}} {\left\|\overrightarrow{G}\right\|\left\|\overrightarrow{H}\right\|}</math>

=== Vektörel çarpım (<math>\overrightarrow{G}\times\overrightarrow{H}</math>) ===

[[Çapraz çarpım]] da denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Örnek:

: <math>\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}</math>
: <math>\overrightarrow{H} = (d, e, f) = d{\mathbf i} + e{\mathbf j} + f{\mathbf k}</math>

Bu iki vektörü ele alırsak:

:{| class("wikitable")

| <math>\overrightarrow{G}\times\overrightarrow{H}</math>
| <math>=\begin{vmatrix} \mathbf{i} && \mathbf{j} && \mathbf{k} \\ a && b && c \\ d && e && f \end{vmatrix}</math>
|-
| <math>\quad</math>
|}

Yukarıdaki problem bir [[determinant]] problemidir. [[Sarrus kuralı]] ile hesaplanır.

== Kaynakça ==
{{kaynakça}}

== Ek kaynaklar ==
*{{springer|id=V/v096340|title=Vector|first=A.B.|last=Ivanov}}.
*{{Kaynak
 | başlık = Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics
 | ad = J. H.
 | soyadı = Heinbockel
 | yayıncı = Trafford Publishing
 | yıl = 2001
 | isbn = 1-55369-133-4
 | url = http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html
 | erişim-tarihi = 30 Eylül 2022
 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20200106103811/http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html
 | arşivtarihi = 6 Ocak 2020
 | ölüurl = hayır
 }}

{{Lineer cebir}}
{{Cebir}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Lineer cebir]]
[[Kategori:Fizik terimleri]]
[[Kategori:Vektörler| ]]