Viviani teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Viviani_Theorem.svg|küçükresim|sağ|upright=1.14|{{Ortala|Üçgenin içerisinde kalan herhangi bir P noktası için, bu noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı {{kayma| ''s'' + ''t'' + ''u''}}, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.}}]]

Adını [[Vincenzo Viviani]]'den alan '''Viviani teoremi''', ''herhangi bir'' iç noktadan bir [[eşkenar üçgen]]in kenarlarına olan en kısa mesafelerin toplamının üçgenin [[Yükseklik (üçgen)|yüksekliğinin]] uzunluğuna eşit olduğunu belirtir.<ref name="ref1">{{dergi kaynağı|arxiv=0903.0753|ad=Elias|soyadı=Abboud|başlık=On Viviani's Theorem and its Extensions|dergi=College Mathematics Journal|cilt=43|sayı=3|yıl=2010|sayfalar=203-211|doi=10.4169/074683410X488683|s2cid=118912287}}</ref> Çeşitli matematik yarışmalarında, ortaokul matematik sınavlarında yaygın olarak kullanılan bir teoremdir ve gerçek dünyadaki birçok probleme uygulanabilirliği vardır.

==İspat==
[[Dosya:Viviani_theorem_visual_proof.svg|küçükresim|<center>Viviani teoreminin görsel ispatı:
{|
|valign="top"|1.||P noktasından ABC eşkenar üçgeninin kenarlarına olan en kısa mesafeler gösterilmiştir.
|-
|valign="top"|2.||Sırasıyla AB, BC ve CA'ya paralel olan ve P'den geçen DE, FG ve HI doğruları PHE, PFI ve PDG benzer üçgenlerini tanımlar.
|-
|valign="top"|3.||Bu üçgenler eşkenar olduğundan, yükseklikleri dikey olacak şekilde döndürülebilir.
|-
|valign="top"|4.||PGCH bir paralelkenar olduğundan, PHE üçgeni yukarı kaydırılarak yüksekliklerin toplamının NUI üçgeninin yüksekliğine eşit olduğu gösterilebilir.
|}</center>]]

Bu isapt, bir üçgenin alanının, tabanının yarısı ile yüksekliğinin çarpımı, yani bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısı olduğu şeklindeki kolayca kanıtlanabilen önermeye dayanır.<ref name="Alsina">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics''. MAA 2010, {{isbn|9780883853481}}, p.&nbsp;96 ({{Google books|mIT5-BN_L0oC|excerpt (Google)|page=96}})</ref>

ABC yüksekliği ''h'' ve kenarları ''a'' olan bir eşkenar üçgen olsun.

P üçgenin içindeki herhangi bir nokta olsun ve ''s, t, u'' P'nin kenarlara olan dik uzaklıkları olsun. P'den A, B ve C'nin her birine bir doğru çizerek PAB, PBC ve PCA üçgenlerini oluşturun.

Şimdi, bu üçgenlerin alanları <math>\frac{u \cdot a}{2}</math>, <math>\frac{s \cdot a}{2}</math> ve <math>\frac{t \cdot a}{2}</math>'dır. Bunlar çevreleyen üçgeni tam olarak doldurur, dolayısıyla bu alanların toplamı çevreleyen üçgenin alanına eşittir.
Yani şöyle yazabiliriz:
:<math>\frac{u \cdot a}{2} + \frac{s \cdot a}{2} + \frac{t \cdot a}{2} = \frac{h \cdot a}{2}</math>

ve böylece

:<math>u + s + t = h</math>

[[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]

==İlişkisel karşıtanlam==
Bunun tersi de geçerlidir: Bir üçgenin bir iç noktasından kenarlarına olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızsa, üçgen eşkenardır.<ref name=Chen>{{dergi kaynağı|soyadı1=Chen|ad1=Zhibo|soyadı2=Liang|ad2=Tian|başlık=The converse of Viviani's theorem|url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2006-11_37_5/page/n61|dergi=The College Mathematics Journal|cilt=37|sayı=5|sayfalar=390-391|yıl=2006|doi=10.2307/27646392|jstor=27646392}}</ref>

== Uygulamaları ==
[[Dosya:Flammability diagram methane.svg|sağ|küçükresim|upright=1.82|{{Ortala|Metan için [[yanıcılık grafiği]]}}]]
{{details|Üçlü çizim}}

Viviani teoremi, bir eşkenar üçgenin kenarlarına paralel doğruların, [[yanıcılık grafiği]] gibi [[üçlü çizim]] yapmak için koordinatlar verdiği anlamına gelir.

Daha genel olarak, aynı şekilde düzenli bir [[simpleks]] üzerinde koordinatlar verilmesini mümkün kılar.

==Genişletmeler==

===Paralelkenar===
Bir [[paralelkenar]]ın herhangi bir iç noktasından kenarlara olan uzaklıkların toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır. Bunun tersi de geçerlidir: Eğer bir [[dörtgen]]in iç kısmındaki bir noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızsa, o zaman dörtgen bir paralelkenardır.<ref name=Chen/>

Sonuç, karşılıklı kenarları paralel olan herhangi bir 2''n''-gene genelleştirilebilir. Karşılıklı paralel kenarların herhangi bir çifti arasındaki mesafelerin toplamı sabit olduğundan, paralel kenar çiftleri arasındaki tüm ikili toplamların toplamının da sabit olduğu sonucuna varılır. Sonuç, karşılıklı kenarları paralel olması gerekmeyen bir ''eşkenar'' altıgen için geçerli olduğundan, genel olarak tersi doğru değildir.

===Düzgün çokgen===
Eğer bir çokgen [[düzgün çokgen|düzgün]] (hem eşaçılı hem de [[eşkenar çokgen|eşkenar]]) ise, bir iç noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızdır. Spesifik olarak, ''n'' çarpı [[apotem]]e eşittir; burada ''n'' kenar sayısı ve apotem merkezden bir kenara olan mesafedir.<ref name=Chen/><ref>{{kitap kaynağı|soyadı=Pickover|ad=Clifford A.|başlık=The Math Book|url=https://archive.org/details/mathbooksterling0000unse|yayıncı=Stirling|yıl=2009|sayfa=[https://archive.org/details/mathbooksterling0000unse/page/n151 150]|isbn=978-1402788291}}</ref> Bununla birlikte, tersi geçerli değildir; kare olmayan paralelkenar bir [[karşı örnek]]tir.<ref name=Chen/>

===Eşaçılı çokgen===
Bir iç noktadan [[eşaçılı çokgen]] kenarlarına olan uzaklıkların toplamı noktanın konumuna bağlı değildir.<ref name="ref1" />

=== Dışbükey çokgen===
Dışbükey (konveks) bir çokgenin herhangi bir iç noktasından kenarlara olan uzaklıkların sabit bir toplamına sahip olması için gerek ve yeter koşul, eşit uzaklık toplamlarına sahip doğrusal olmayan üç iç noktanın bulunmasıdır.<ref name=ref1/>

===Düzgün çokyüzlü===
Bir [[düzgün çokyüzlü]]nün iç kısmındaki herhangi bir noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır. Ancak bunun tersi [[dört yüzlü]]ler için bile geçerli değildir.<ref name=Chen/>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Konuyla ilgili okumalar ==
* {{dergi kaynağı|ad1=Shay | soyadı1=Gueron |ad2=Ran |soyadı2=Tessler| başlık=The Fermat-Steiner problem| dergi=Amer. Math. Monthly | yıl=2002 | cilt=109 |sayı=5 | sayfalar=443-451|doi=10.2307/2695644| jstor=2695644 }}
* {{dergi kaynağı|ad1=Hans|soyadı1=Samelson|başlık=Proof without words: Viviani's theorem with vectors|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2003-06_76_3/page/n65|yıl=2003 | dergi=Math. Mag.|doi=10.2307/3219327| cilt=76|sayfalar=225|sayı=3|jstor=3219327}}
* {{dergi kaynağı|ad1=Zhibo|soyadı1=Chen|ad2=Tian|soyadı2=Liang| başlık=The converse of Viviani's theorem|dergi=The College Mathematics Journal| yıl=2006|cilt=37|sayı=5|sayfalar=390-391|doi=10.2307/27646392|jstor=27646392}}
* {{dergi kaynağı|ad1=Ken-Ichiroh | soyadı1=Kawasaki | ad2=Yoshihiro |soyadı2=Yagi | ad3=Katsuya |soyadı3=Yanagawa | başlık=On Viviani's theorem in three dimensions|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-07_89_515/page/n92 | dergi=Math. Gaz. | yıl=2005|cilt=89 |sayı=515 | sayfalar=283-287|doi=10.1017/S002555720017785X | jstor=3621243 | s2cid=126113074 }}
* {{dergi kaynağı|ad1=Li | soyadı1=Zhou|başlık=Viviani polytopes and Fermat Points| dergi=Coll. Math. J. | yıl=2012 | cilt=43|sayı=4|sayfalar=309-312|doi=10.4169/college.math.j.43.4.309|arxiv=1008.1236| citeseerx=10.1.1.740.7670| s2cid=117039483}}

== Dış bağlantılar ==
* {{MathWorld|title=Viviani's Theorem|urlname=VivianisTheorem}}
*[https://arxiv.org/abs/1008.1236 Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points]
* {{web kaynağı| url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml|başlık= Viviani's Theorem: What is it?}} at [[Cut-the-Knot|Cut the knot]].
*{{web kaynağı|ad1=Jay |soyadı1=Warendorff|url=http://demonstrations.wolfram.com/VivianisTheorem/|başlık=Viviani's Theorem}} the [[Wolfram Demonstrations Project]].
* {{web kaynağı|url=http://dynamicmathematicslearning.com/clough.html|başlık= A variation of Viviani's theorem & some generalizations}} at [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], an interactive dynamic geometry sketch.
* {{cite arXiv|first1=Elias | last1=Abboud |title=Loci of points inspired by Viviani's theorem | eprint=1701.07339|year=2017| class=math.HO }}
* {{cite arXiv|first1=Addie |last1=Armstrong | first2=Dan | last2=McQuillan | title=Specialization, generalization, and a new proof of Viviani's theorem|eprint=1701.01344|year=2017|class=math.HO }}

[[Kategori:Üçgen]]
[[Kategori:Üçgen geometrisi]]
[[Kategori:Öklid geometrisi]]
[[Kategori:Öklid geometrisi teoremleri]]
[[Kategori:Kanıt içeren maddeler]]