Yörünge mekaniği sayfasının kaynağını görüntüle

{{Yazım yanlışları}}
[[Dosya:Orbital motion.gif|küçükresim|upright=1.19|Yeryüzünün yörüngesindeki bir uyduda, [[Tanısal hız|teğetsel hız]] ve içe doğru bir [[ivme]] vardır.]]{{Astrodinamik}}
'''Yörünge mekaniği''' veya '''astrodinamik''', [[roket]]ler ve diğer uzay araçlarının hareketini ilgilendiren pratik problemlerin, balistik ve gök mekaniğinin uygulamasıdır .Uzay araçlarının hareketi genellikle [[Newton'un hareket kanunları]] ve [[Newton'un evrensel çekim yasası]] ile hesaplanır. Bu, uzay görevi tasarımı ve denetimi altında olan bir çekirdek disiplindir.[[Gök mekaniği]]; daha geniş bir perspektifle [[Yıldız sistemi|yıldız sistemleri]], [[gezegenler]], [[Doğal uydu|uydular]] ve [[kuyruklu yıldız]]lar gibi kütle çekimi etkisinde bulunan yörünge sistemleri için geçerlidir. Yörünge mekaniği; uzay araçlarının [[Gezinge|yörüngelerine]] ait yörünge manevraları, yörünge düzlemi değişiklikleri ve gezegenler arası transferler gibi kavramlara odaklanır ve itici manevraların sonuçlarını tahmin etmek için görev planlamacıları tarafından kullanılır. [[Genel görelilik]] teorisi, yörüngeleri hesaplamak için Newton yasalarından daha kesin bir teoridir ve doğru hesaplar yapmak ya da yüksek yerçekimini ihtiva eden durumlar söz konusu olduğunda (Güneşe yakın yörüngeler gibi) bazen gereklidir.

== Tarihçe ==

Yirminci yüzyılda uzay yolculuğunun yükselişine kadar, yörünge ve gök mekaniği arasında çok az fark vardı ve [[Sputnik]] döneminde bu alan uzay dinamiği olarak adlandırılıyordu.<ref>{{harvnb|William Thompson|1961}}</ref> [[Kepler problemi]] (konumun zamana göre belirlenmesi) gibi bazı problemleri çözmek için kullanılan bazı temel teknikler bu nedenle her iki alanda da aynıdır. Ayrıca bu alanların tarihi neredeyse tamamen paylaşılmaktadır.

[[Johannes Kepler]], 1605 yılında yayınladığı kurallarıyla gezegen yörüngelerini başarıyla  açıklayan ilk kişidir. [[Isaac Newton]], 1687 yılında yayınladığı ''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]'' kitabında gök hareketinin daha genel yasalarını açıklamıştır.

== Pratik teknikler ==
{{Ayrıca bakınız|Yörüngeler listesi}}

=== Temel kurallar ===

Aşağıdaki temel kurallar, yine bu kurallarca tanımlanan [[klasik mekanik]] tarafından varsayılan durumlar için kullanışlıdır. Ele alınan spesifik örnek, bir gezegen etrafında dönen bir uyduya aittir. Ancak bu genel kurallar, bir yıldızın etrafındaki küçük cisimlerin yörüngeleri gibi diğer durumlar için de geçerli olabilir.

* [[Kepler'in gezegensel hareket yasaları|Kepler'in gezegensel hareket yasaları:]]
** Yörüngeler eliptiktir ve bu [[elips]]in bir odağında daha ağır olan nesne bulunur. Bu durumun özel bir örneği merkezinde bir gezegen olan dairesel bir yörüngedir (daire özel bir elipstir).
** Uydudan gezegene çizilen hayali bir çizgi, yörüngesinin hangi aralığı ölçülürse ölçülsün; eşit ''zamanlarda'' eşit ''alanlar'' tarar.
** Bir uydunun yörünge [[Periyot (matematik)|periyodunun]] karesi, gezegen ile arasındaki ortalama uzaklığın küpü ile doğru orantılıdır.
* Uydunun yörünge periyodu ve şekli, kuvvet uygulanmadan değişemez.
* Alçak bir yörüngede (veya eliptik bir yörüngenin alçak kısmında) bulunan bir uydu, gezegene daha yakın olan daha güçlü yerçekimi çekimi nedeniyle, gezegenin yüzeyine göre yüksek bir yörünge veya eliptik yörüngenin yüksek kısmındaki bir uydudan daha hızlı hareket eder.
* Eğer bir uydunun yörüngesinde yalnızca bir noktada itme kuvveti uygulanırsa, uydu sonraki her yörüngesinde aynı noktaya geri döner, ancak geri kalan yörüngesi değişir. Bu nedenle, sadece kısa bir itme uygulamasıyla bir dairesel yörüngeden başka bir dairesel yörüngeye geçmek mümkün değildir.
* Dairesel bir yörüngede, uydunun hareketine zıt yönde uygulanan itme kuvveti yörüngeyi eliptik bir yörüngeye çevirir; uydu alçalarak ateşleme noktasından 180 derece uzaktaki en düşük yörünge noktasına ([[Apsis (astronomi)|periapsis]]) ulaşır, ardından tekrar yükselir. Oluşan yörüngenin periyodu, orijinal dairesel yörüngenin periyodundan daha kısa olacaktır. Uydunun hareket yönünde uygulanan itme kuvveti ise, en yüksek yörünge noktası ([[Apsis (astronomi)|apoapsis]]) ateşleme noktasından 180 derece uzakta olacak şekilde eliptik bir yörünge oluşturur. Bu durumda oluşan yörüngenin periyodu, orijinal dairesel yörüngenin periyodundan daha uzun olacaktır.

Yörünge mekaniği kuralları sonuçları bazen sezgilere aykırıdır. Örneğin iki uzay aracı, aynı dairesel yörüngede ve kenetlenme eğilimindeyse çok yakın olmadıkları sürece sürüklenen uzay aracı daha hızlı gitmek için basitçe motorlarını ateşleyemez. Bu; yörüngesinin şeklini değiştirir, irtifa kazanmasına sebep olur ve takip edilen araca göre yavaşlamasına ve dolayısıyla daha sonra hedefi kaçırmasına sebep olur. Kenetlenmeden önceki uzay randevusu, normalde birden fazla yörünge periyodunda hassas bir şekilde hesaplanmış birden fazla motor ateşlemesini gerektirir ve tamamlanması saatler hatta günler alır. Astrodinamiğin standart varsayımları geçerli olmadığı ölçüde, gerçek yörüngeler hesaplananlardan farklılık gösterecektir. Örneğin, basit atmosferik sürüklenme fenomeni Dünya yörüngesindeki nesnelerin yörüngesini hesaplamayı zorlaştıran bir faktördür. Bu pratik kurallar, ikili yıldız sistemi gibi benzer kütleye sahip iki veya daha fazla cismi tanımlarken kesinlikle yanlıştır. Gök mekaniği daha geniş çeşitlilikteki durumlara uygulanabilen daha genel kurallar kullanır. Newton'un yasalarından matematiksel olarak türetilebilen Kepler'in gezegen hareket yasaları, yalnızca kütleçekimsel olmayan kuvvetlerin yokluğunda kütleçekim uygulayan iki cismin hareketini tanımlamak için geçerlidir; ayrıca parabolik ve hiperbolik yörüngeleri de açıklar. Yıldızlar gibi büyük nesnelerin yakın çevresinde klasik mekanik ve genel görelilik arasındaki farklar da önem kazanmaktadır.

== Astrodinamiğin kuralları ==
{{Ayrıca bakınız|Laplace–Runge–Lenz vektörü}}

Astrodinamiğin temel kuralları [[Newton'un evrensel çekim yasası]] ve [[Newton'un hareket kanunları]]dır ve bu kanunlar için temel matematiksel araç ise [[diferansiyel kalkülüs]]tür.

Atmosfer dışındaki her yol veya yörünge geri dönüştürülebilirdir yani uzay-zaman fonksiyonunda zaman ters çevrilir. Hızlar ters çevrilir ve ivmeler(roket itişinden kaynaklananlar da dahil olmak üzere). Yani bir roket hızı yönü boyunca ateşlenirse, çevrilen durumda hıza aksi istikamette olur. Tabii ki roket ile sağlana itmelerde tamamen çevrim olmaz, her iki türlü de aynı [[delta-v]] kullanılır ve kütle oranı aynı olacak şekilde uygulanır.

Astrodinamiğin standart varsayımları dışarıdan herhangi bir cisim ile girişim içermez, kütle diğer cisimleri için ihmal edilebilirdir ve güneş rüzgarları, atmosferik sürüklenme, gibi kuvvetlerde ihmal edilebilir olarak varsayılır. Tabii ki daha isabetli hesaplar işleri daha da basitleştiren bu varsayımlar olmadan elde edilebilir, fakat o zaman daha karmaşık bir hale bürünür. Ayrıca daha fazla isabetli hesap yapmak o kadar da değerli farklılıklar oluşturmaz.

Yörüngedeki cisim sadece merkezdeki çekici bir cismin etkisinde olduğu düşünüldüğü zaman Keplerin gezegensel hareket kanunları Newton'un hareket yasalarından türetilebilir. Bir motor etkisi veya itici bir kuvvet olduğunda Newton'un yasaları geçerliliğini korur faka Keplerin yasaları artık geçerli değildir. İtici etki durduğu zaman oluşan yörünge farklı olacaktır fakat Keplerin yasaları ile tekrar açıklanabilir. Açıklayıcı bu üç yasa şöyledir:

*Bütün gezegenlerin yörüngeleri odaklarından birinde güneş olan bir elipstir.
*Gezegen ile güneşi birleştiren bir doğru eşzaman aralığında eşit alanlar tarar. 
*Yörünge periyodunun kareleri (^2) yarı-büyük eksenin 3. kuvveti ile doğru orantılıdır.

== Kaçış hızı ==
{{Ayrıca bakınız|Kurtulma hızı}}

Kaçış hızı aşağıda görüldüğü üzere kolayca türetilebilir. Herhangi bir uzay aracının belirli bir enerjisi iki bileşenden, belirli [[potansiyel enerji]] ve belirli bir kinetik enerjiden oluşur. Kütlesi M olan bir gezegen ile ilişkili belirli potansiyel enerji aşağıdaki gibi verilir; <center><math>\epsilon_p = - \frac{G M}{r} \,</math></center>

Bu arada bir cismin özel [[kinetik enerji]]si aşağıdaki gibi ifade edilir: <center><math>\epsilon_k = \frac{v^2}{2} \,</math></center>

Daha sonra [[Enerjinin korunumu|enerji korunacağından]], <center><math> \epsilon = \epsilon_k+\epsilon_p \!</math></center>

Toplam [[özel yörünge enerjisi]]; <center><math>\epsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{G M}{r} \,</math></center>   Merkezdeki cismin merkezi ile uzaydaki araç arasındaki mesafeye, <math>r</math>, bağlı değildir. O halde nesne, sonsuz <math>r</math> mesafesine sadece bu negatif olmazsa ulaşabilir ki bu da gösterir ki;

<center><math>v\geq\sqrt{\frac{2 G M}{r}}</math></center>

Dünya'dan kaçış hızı 11&nbsp;km/s civarıdır fakat bu hız Güneşin çekim kuvvetinden dolayı sonsuz bir mesafeye ulaşabilmek için yetersizdir. Mesafesi Güneş–Dünya arası mesafe kadar Güneşten uzak bir mesafeye, ama Dünya'ya yakın değil, kaçmak için 42&nbsp;km/s civarında hız gerekir. Fakat Dünya'dan ateşlenen bir uzay aracı için ancak Dünya'nın yörüngesinde hareket ederken (nedeniyle tahrik sistemi) daha da ivme hepsinin aynı yöne taşıyor ise, Dünya'dan başlatılan uzay aracı için, Dünya'nın yörüngesel hız için "kısmını kredi", olacak.

===Serbest yörüngeler için formüller===

Yörüngeler [[konikler|konik kesitler]]dir, yani açısı bilinen bir objenin mesafesi formüldeki [[Kutupsal koordinat sistemi|kutupsal koordinatlara]] karşılık gelir, yani;

: <math>r = \frac{ p }{1 + e \cos \theta}</math>

: <math>\mu= G(m_1+m_2)\,</math>

: <math>p=h^2/\mu\,</math>

Burada μ ifadesi [[kütleçekim parametresi|kütle çekim parametresi]] olarak ifade edilir ki bu da  G.M yani [[kütleçekim sabiti|kütle çekim sabiti]] çarpı kütledir, m<sub>1</sub> and m<sub>2</sub> buradaki kütleler sırası ile birinci ve ikinci cisimlerin kütleleridir ve h ifadesi de birinci nesnenin ikinciye göre [[özel açısal momentum]]unu verir. Ayrıca, "θ" parametresi [[gerçek anomali]] olarak, ''p'' [[konik kesit|semi-latus rectum]] olarak, "e" [[yörünge dış merkezliliği]] olarak ifade edilir be bu ifadelerin hepsi 6 bağımsız [[yörünge elemanı]]ndan elde edilebilir.

===Çembersel yörüngeler===

Merkezi bir nesnenin yerçekiminin hakim olduğu tüm bağıl yörüngeler doğada elips şeklindedir. Bu durumların özel bir hali, sıfır dış merkezliliğe sahip bir elips olan çembersel bir yörüngedir. Kütlesi "M" olan bir objeden "r" uzaklığındaki çembersel yörüngeye sahip bir cismin "v" hızı şöyle bulunur

:<math>\ v = \sqrt{\frac{GM} {r}\ }</math>
.
burada <math>G</math> [[kütleçekim sabiti|kütle çekim sabiti]]dir ki bu sabitte aşağıdaki değere eşittir
: 6.673 84 &times; 10<sup>&minus;11</sup> m³/(kg·s²

Bu formülü doğru kullanmak için birimleri tutarlı olmalıdır; örneğin "M" kilogram ve "r" ifadesi de metreye eşit olmalıdır. Yani cevap saniyede metre olarak bulunmalıdır.

''GM' ifadesi çoğunlukla [[standart kütleçekim parametresi|standart kütle çekim parametresi]] olarak adlandırılır ki [[standard kütleçekim parametresi|standart kütle çekim parametresi]] her gezegen veya güneş sistemindeki her uydu için farklıdır. ''
Bir kez dairesel yörünge hızı bilinirse [[kaçış hızı]] yörünge hızının [[karekök 2]] katı olarak bulunur

:<math>\ v = \sqrt 2\sqrt{\frac {GM} {r}\ } = \sqrt{\frac {2GM} {r}\ }.</math>

===Eliptik yörüngeler===

Eğer 0<e<1 ise serbest yörüngelerin denkleminin paydası θ gerçek anomalisi ile değişiklik gösterir, fakat pozitif olarak kalır ve asla sıfıra eşit olmaz. Buna mukabil, göreli konum vektörü periapsis en küçük bir büyüklük olacak, r<sub>p</sub> (ve aşağıdaki gibi verilen) şekilde sınırlı kalır

:<math>r_p=\frac{p}{1+e}</math>

θ = 180 olduğu vakit r en yüksek değerine ulaşır. Bu noktaya ise apoapsis denir ve radyal koordinatları, r<sub>a</sub>, şu şekilde gösterilir

:<math>2a=r_p+r_a</math>

Aşağıda gösterilen 2a değeri periapsis ve apoapsis noktalarını birleştiren çizgi mesafesi bu iki nokta arasındaki mesafe olsun

:<math>2a=r_p+r_a</math>

Yukarıdaki denklemleri yerine koyduğumuz zaman

:<math>a=\frac{p}{1-e^2}</math>

a elipsin semimajor eksendir. P'yi yalnız bırakıp sonucu konik kesit eğrisi formülünde yazınca şu sonuca ulaşılır,

:<math>r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}</math>

==== Yörünge periyodu ====

Standart varsayımlar altında [[Yörünge periyodu]] (<math>T\,\!</math> eliptik yörünge boyunca seyahat eden bir cisim için şu şekilde hesaplanabilir

:<math>T=2\pi\sqrt{a^3\over{\mu}}</math>

Burada:
*<math>\mu\,</math> [[standard kütleçekim parametresi|standart kütle çekim parametresi]]ne,
*<math>a\,\!</math> [[yarı-büyük ekseni]]nin uzunluğuna eşittir.

Sonuç:
*Yörünge periyodu yarıçapı [[yarı-büyük ekseni]]nin uzunluğuna eşit olan bir çembersel yörünge için (<math>a\,\!</math>) değerine eşittir.
*Belirli bir yarı-büyük yörünge süresi, dış merkezliliğe bağlı değildir (Ayrıca bakınız: [[Kepler'in gezegensel hareket kanunları#Üçüncü kanun|Kepler'in üçüncü kanunu]]).

====Hız====

Standart varsayımlar altında eliptik bir yörünge izleyen bir cisim için [[yörünge hızı]] (<math>v\,</math>) [[Vis-viva denklemi]] kullanılarak hesaplanır

:<math>v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}</math>

Burada:
*<math>\mu\,</math>, [[standard kütleçekim parametresi|standart kütle çekim parametresi]]ni,
*<math>r\,</math>, yörüngedeki cisimlerin birbirleri arasındaki mesafeyi,
*<math>a\,\!</math>, [[yarı-büyük ekseni]]nin uzunluğunu ifade eder.

Hiperbolik bir yörünge için hız denklemi ya + <math>{1\over{a}}</math>, ifadesini ya da bu durumda "a" negatif olduğu varsayımı ile aynıdır.

====Enerji====

Standart varsayımlar altında eliptik bir yörüngenin [[yörünge enerjisi]], (<math>\epsilon\,</math>), sıfıra eşittir ve bu yörüngede orbital enerji korunumu denklemi ([[Vis-viva denklemi]]) aşağıdaki şekilde olabilir

:<math>{v^2\over{2}}-{\mu\over{r}}=-{\mu\over{2a}}=\epsilon<0</math>

Burada:
*<math>v\,</math> yörüngedeki cismin hızı,
*<math>r\,</math> merkezdeki cisim ile yörüngedeki cisim arasındaki mesafe,
*<math>a\,</math> [[yarı-büyük ekseni]],
*<math>\mu\,</math> [[standard kütleçekim parametresi|standart kütle çekim parametresi]]dir.

Sonuçlar:

*Büyük ekseni verilen bir yörünge için belirli bir yörünge enerjisi dış merkezlilikten bağımsızdır

[[Viral teoremi]] kullanarak şunları buluruz
*özgül potansiyel enerjinin zaman-ortalaması eşittir 2ε
*''r''<sup>−1</sup> nın zaman-ortalaması ''a''<sup>−1</sup>e eşittir
*spesifik kinetik enerjinin zaman-ortalaması -ε a eşittir.

===Parabolik yörüngeler===

Dış merkezlilik bire eşit ise yörünge denklemi şu şekilde olur

:<math>r={{h^2}\over{\mu}}{{1}\over{1+\cos\theta}}</math>

Burada:
*<math>r\,</math> merkezdeki cismin [[kütle merkezi]] ile yörüngedeki cismin arasındaki radyal mesafe,
*<math>h\,</math> yörüngedeki cismin [[spesifik açısal momentum]]u,
*<math>\theta\,</math>yörüngedeki cismin gerçek anomalisi,
*<math>\mu\,</math> ise [[standard kütleçekim parametresi|standart kütle çekim parametresi]]dir.

Gerçek anomali, θ, 180° ye yaklaştıkça payda sıfıra yaklaşır ve bu nedenle "r" sıfıra yakınsar. Dolayısıyla, yörüngenin enerjisi ("e"=1) şu şekilde verilir:

:<math>\epsilon={v^2\over2}-{\mu\over{r}}=0</math>
Burada:
*<math>v\,</math> yörüngedeki cismin hızıdır.

Diğer bir deyişle, parabolik bir yolun her noktasında hız

:<math>v=\sqrt{2\mu\over{r}}</math> olur.

===Hiperbolik yörüngeler===

Eğer ''e''>1 ise yörünge formülü
:<math>r={{h^2}\over{\mu}}{{1}\over{1+e\cos\theta}}</math>

hiperbolik bir yörüngenin geometrisini tanımlar. Sistem, iki simetrik eğrilerden oluşur; yörüngedeki cisim bunlardan birini kaplar. Diğeri boş bir matematiksel görüntüdür. Açıkça, yukarıdaki denklemin paydası cos''θ'' = -1/''e'' olduğu zaman sıfıra gider. Bu değeri gerçek anomali olarak ifade ederiz.

:<center>''θ''<sub>∞</sub> = cos<sup>−1</sup>(-1/''e'')<center>

Radyal mesafe sonsuza yaklaştığı için gerçek anomali ''θ''<sub>∞</sub>ya yaklaşır. ''θ''<sub>∞</sub> ''asimptotun gerçek anomalisi'' olarak bilinir. ''θ''<sub>∞</sub> ifadesinin 90 ile 180 derece arasında olduğu görülebilir. sin²''θ''+cos²''θ''=1 trigonometrik eşitliğinden şu denkleme de ulaşılabilir:

:<center>sin''θ''<sub>∞</sub> = (e<sup>2</sup>-1)<sup>1/2</sup>/e

====Enerji====

Standart varsayımlar altında hiperbolik bir yörüngenin [[spesifik yörünge enerjisi]] (<math>\epsilon\,</math>) sıfırdan büyüktür ve bu formda bir yörünge için [[yörüngesel enerji korunum denklemi]] şöyledir,

:<math>\epsilon={v^2\over2}-{\mu\over{r}}={\mu\over{-2a}}</math>

Burada:
*<math>v\,</math> yörüngedeki cisminin yörünge hızı,
*<math>r\,</math> merkezdeki cisim ile yörüngedeki cisim arasındaki radyal mesafe,
*<math>a\,</math>  negatif [[yarı-büyük ekseni]] ve,
*<math>\mu\,</math> [[standard kütleçekim parametresi|standart kütle çekim parametresi]]dir.

====Hiperbolik aşırı hız====
{{Ayrıca bakınız|karakteristik enerji}}

Standart varsayımlar altında hiperbolik bir yörünge izleyen bir cisim hiperbolik aşırı hız (<math>v_\infty\,\!</math>) adı verilen [[Kinetik enerji|yörünge hızı]]na ulaşır ve bu şu şekilde hesaplanır

:<math>v_\infty=\sqrt{\mu\over{-a}}\,\!</math>

Burada:
*<math>\mu\,\!</math> [[standard kütleçekim parametresi|standart kütle çekim parametresi]] ve,
*<math>a\,\!</math> [[yörünge]]'nin [[hiperbol]]'ünün negatif [[yarı-büyük ekseni]]dir. Hiperbolik aşırı hız kavramı aşağıdaki ifade ile [[özel yörünge enerjisi]] veya bir diye adıyla karakteristik enerji ile ilişkilidir.
:<math>2\epsilon=C_3=v_{\infty}^2\,\!</math>

==Yörüngelerin hesaplanması==

===Kepler denklemi===
Yörüngeleri hesaplamak için tarihsel denebilecek bir yaklaşımla [[Kepler denklemi]]'ni kullanmaktır: :<math> M = E - \epsilon \cdot \sin E </math>.

Burada ''M'' [[ortalama ayrıklık]], ''E'' [[dış merkezlik anomalisi]] ve <math>\displaystyle \epsilon </math>  [[Dış merkezlik (mathematics)|dış merkezlilik]]tir.

Kepler'in bu formülü ile <math>\theta</math> from [[periapsis]]in, finding the time-of-flight to reach an angle ([[true anomaly]]) of <math>\theta</math> from [[periapsis]] is broken into two steps:
# Gerçek anomali <math>\theta</math> kullanılarak <math>E</math> hesaplamak
# Dış merkezlilik anomalisi <math>E</math> kullanılarak uçuş süresi <math>t</math>ni hesaplamak.

Belirli bir zamanda dış merkezlik anomalisini bulmak (problemin ters hali) daha zordur. Kepler denklemi <math>E</math> aşkındır yani <math>E</math> için cebirsel bir çözüm yoktur. Kepler denklemi <math>E</math> için analitik olarak ter çevirme ile bulunabilir.

Kepler denklemi bütün reel <math> \textstyle \epsilon </math> değerlerine göre çözümü şöyledir:

<math> 
 E =   
\begin{cases}

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
 {\frac{M^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{\theta \to 0} \left(
 \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \left(
 \frac{\theta}{ \sqrt[3]{\theta - \sin(\theta)} } ^n \right)
\right)
,  & \epsilon = 1  \\

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
{ \frac{ M^n }{ n! } }
\lim_{\theta \to 0} \left(
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \left(
 \frac{ \theta }{ \theta - \epsilon \cdot \sin(\theta)} ^n \right)
\right)
, &  \epsilon \ne  1

\end{cases}
</math>

Bu denklemi çözünce şuna ulaşılır:

<math> 
E =  
\begin{cases} \displaystyle
x + \frac{1}{60} x^3 + \frac{1}{1400}x^5 + \frac{1}{25200}x^7 + \frac{43}{17248000}x^9 + \frac{ 1213}{7207200000 }x^{11} +
 \frac{151439}{12713500800000 }x^{13} \cdots \ | \ x = ( 6 M )^\frac{1}{3}
 ,  & \epsilon = 1  \\
\\
\displaystyle
  \frac{1}{1-\epsilon} M 
- \frac{\epsilon}{( 1-\epsilon)^4 } \frac{M^3}{3!} 
+ \frac{(9 \epsilon^2 + \epsilon)}{(1-\epsilon)^7 } \frac{M^5}{5!} 
- \frac{(225 \epsilon^3 + 54 \epsilon^2 + \epsilon ) }{(1-\epsilon)^{10} } \frac{M^7}{7!}
+ \frac{ (11025\epsilon^4 + 4131 \epsilon^3 + 243 \epsilon^2 + \epsilon ) }{(1-\epsilon)^{13} } \frac{M^9}{9!} \cdots

, &  \epsilon \ne  1

\end{cases}
</math>

<br />
Alternatif olarak, Kepler Denklemi sayısal olarak çözülebilir. Bunun için ilk olarak bir <math>E</math> değeri tahmin edilir ve uçuş zamanı için kullanılır ardından <math>E</math> değeri gerekli hassasiyete kadar istenen değere yakın bir uçuş-zamanı elde etmek için uyarlanır. Genellikle, Newton yöntemi yakınsamayı nispeten hızlı elde etmek için kullanılır.

Bu yaklaşımın ana zorluğu aşırı ekstrem eliptik yörüngeler için yakınsama aşırı zor ve uzun sürebilir. Paraboliğe yakın yörüngeler için dış merkezlilik <math>\epsilon</math> neredeyse bire eşittir ve bu değeri <math>e = 1</math> formülünde ortalama ayrıklık için kullanınca, <math>E - \sin E</math>, kendimizi neredeyse birbirine eşit iki değeri birbirinden çıkarırken buluruz ev hesabın doğruluğu zarara uğrar. Çembersel şekle yakın yörüngeler için ilk etapta periapsis bulmak zordur (ve gerçekten çembersel yörüngeler hiç periapsis olmaz). Ayrıca, denklem eliptik bir yörünge varsayımı üzerinde elde edilmiştir yani parabolik veya hiperbolik yörüngeler için de geçerli değildir. Daha sonra Evrensel değişken bu sıkıntılar aşağıdaki [[evrensel değişken formülasyonu]]nun gelişmesine yol açtı.

===Konik yörüngeler===

Basit prosedürler için, değişken elipsler için [[delta-v]] hesabı gibi, geleneksel yaklaşım oldukça etkilidir. Diğerleri, özellikle yakın dairesel ve hiperbolik yörüngeler için daha karmaşıktır.

===Yamalı konik yaklaşımı===
{{Ana|Yamalı konik yaklaşımı}}

Hohmann transfer yörüngesi gezegenler arası yörüngeler için yetersizdir çünkü gezegenin kendi kütlesini ihmal eder. Bir gezegenin çevresinde gezegenin yerçekimi uzay aracının hareketini domine eder ve çoğu durumda Hohmann [[delta-v]] değerini aşırı abartır yani ateşleme zamanında oldukça yanılır. Delta-v'nin birinci dereceden bir yaklaşımını almak için nispeten basit bir yol olan 'Yamalı Konik Yaklaşım' kullanılır. Yörüngeden geçen ve egemen olan cisim belirlenir ve sadece bu cismin o yörünge bölgesine etkisi modellenir. Örneğin Mars ile Dünya arası bir yörünge için Dünya'nın kütlesi sadece kütle çekiminin etki alanı boyunca hesaplanır. Uzay aracı bu yörünge için yeterli [[kaçış hızı]] ile gezegenler arası uzaya fırlatılmalıdır. Daha sonra, Mars'ın etki alanına yaklaşana kadar sadece Güneşin etkisi göz önünde bulundurulmalıdır. Bu aşama sırasında transfer yörünge modeli hesaplar için uygundur. Son olarak, yörüngenin Mars'ın kütlesince etki eden kısmında sadece Mars'ın etkisi göze alınmalıdır. Uzay aracı Mars'a hiperbolik bir yörünge ile yaklaşmalıdır ve son [[Ters yön yörünge|retrograd]] (geri, geriye) yönlü ateşleme aracın hızını Mars tarafından yakalanacak kadar düşürmelidir.

[[Etki alanı küresi (astrodynamics)|Etki alanı küresi]]'nin <math>r_{SOI}</math> yarıçapı ile değişir:

: <math>r_{SOI} = a_p\left(\frac{m_p}{m_s}\right)^{2/5}</math>

burada <math>a_p</math> yörüngenin [[Güneş]]'e göre [[yarı-büyük eksen]]i; <math>m_p</math> ve <math>m_s</math> ise sırasıyla [[gezegenin]] ve Güneşin kütleleridir.

Bu basite indirgeme şekli kabaca gerekli yakıt miktarını ve uçuş zamanını hesaplamak için yeterlidir fakat genellikle uzay aracını varacağı noktaya rehberlik etmek için kullanmaya isabetsiz kalır. Yani, bunu yapmak için sayısal metot gerekir:
<!--

====Formüllerin türetilmesi====

Bir uzay aracının bir gezegenden diğerine seyahat etmesi için Yamalı konik yaklaşımı yolculuğu üç aşamaya böler;

#Ana gezegenden kaçış
#Gezegenler arası transfer
#Varılack gezegenin etkisine girme.

2. aşama ile başlıyoruz. Bu aşamada gezegenlerin kütleleri ihmal edilir ve sadece Güneşin kütlesi göz önünde bulundurulur. Therefore, this phase can be treated as a standard Hohmann transfer orbit.

The [[specific orbital energy]] of an orbit is <math>-\mu/2a</math>, where <math>a</math> is the [[semimajor axis]] and <math>\mu</math> is the [[standard gravitational parameter]] of the gravitating body.  For phase 2, we are interested in the following orbits around the Sun:

{| border=1 
|-
! Orbit              !! Major axis                 !! Total specific orbital energy
|-
| At origin          || <math> 2r_0 \,</math>      || <math>-\frac{\mu}{2r_0}</math>
|-
| Transfer           || <math> r_0 + r_1 \,</math> || <math>-\frac{\mu}{r_0+r_1}</math>
|-
| At destination     || <math> 2r_1 \,</math>      || <math>-\frac{\mu}{2r_1}</math>
|}

*<math>-\mu/2r_0</math> for the origin planet
*<math>-\mu/2r_1</math> for the destination planet
*<math>-\mu/(r_0+r_1)</math> for the Hohmann transfer orbit

We must first get from the origin planet's orbit to the Hohmann transfer orbit, which requires a delta-v sufficient to make up the difference in orbital energy between the two orbits involves a change in specific kinetic energy of

A useful concept is the speed of a circular orbit speed at a given distance from a given body, which we will refer to as <math>C_b(r)</math>, where <math>b</math> is the body and <math>r</math> is the distance.  (We may omit <math>b</math> and <math>r</math> for clarity.)  This speed is usually easy to determine, simplifies the formulas, and tells us a lot about the gravitational conditions of a location in space.  The [[specific orbital energy]] for a body in a circular orbit is <math>-\frac{1}{2C}</math>, and the [[specific kinetic energy]] is <math>\frac{1}{2C}</math>.
-->

===Evrensel değişken förmülasyonu===

o 2-cisim sorununu çözmek için geleneksel yaklaşımlardaki hesaplama eksikliklerin giderilmesi, evrensel değişken formülasyonu sayesinde olmuştur. Çembersel, eliptik, parabolik ve hiperbolik yörünge durumlarında da işe yarar, diferansiyel denklemler de çözüme iyi derecede yakınsar. Ayrıca kökler teorisi ile birleşen problemler ile iyi bir şekilde genelleştirilebilir.

===Karışıklıklar (perturbations)===

Evrensel değişken formülasyonu parametrelerin varyasyonu tekniği ile iyi çalışır, fakat bu durum şu ana kadar geçerlidir, Kepler'in 6 yörünge elamanı yerine başka bir yörünge elemanları kümesi kullanılır: Uydunun ilk konumu ve hız vektörü <math>x_0</math> and <math>v_0</math> (bilinen bir <math>t = 0</math> döneminde). İki cisim içeren simülasyonda bu elemanlar evrensel değişken formülasyonunda kullanılarak uydunun konumunu ve ileri bir durumdaki hızını belirlemek için yeterlidir. Aksine, uydunun yörüngedeki herhangi bir anda, konum ve hızını ölçebiliriz ve daha sonra evrensel değişken teorsis yaklaşımını kullanarak ilk konumunu ve epoch noktasındaki hızını hesaplayabiliriz. Tamamen mükemmel bir iki cisimli sistemde yörünge elemanları değişmez bir hal alır (tıpkı Kepler elemanlarının olacağı gibi)

Fakat, pertürbasyonlar yörünge öğelerinin zaman içinde değişmesine neden olur. Yani, pozisyon elemanını <math>x_0(t)</math> şeklinde ve hız elemanını <math>v_0(t)</math> şeklinde  zamana bağlı olarak değiştiklerini göstererek yazarız. Düzensizliklerin etkisini hesaplamak için tekniği bulma ifadelerden biri olur. 
Ve bu gerçek yörüngeler basit modellerden küresel bir dünyaya göre farklı etkileri şunlardır:

* Ekvatoral çıkıntılar node(?) ve yerlerinde çıkarıma neden olur.
* Kütle çekim alanında [[Tesseral harmoniği]]<ref>{{Web kaynağı | url = http://mathworld.wolfram.com/TesseralHarmonic.html | başlık = Tesseral Harmonic | arşivurl = https://web.archive.org/web/20160730005914/http://mathworld.wolfram.com/TesseralHarmonic.html | arşivtarihi = 30 Temmuz 2016 | erişimtarihi = 20 Mayıs 2016 | ölüurl = hayır }}</ref>  ek karışıklık oluşturur
* Ay ve Güneşin kütle çekim karışıklığı yörüngeleri değiştirir.
* Atmosferik sürüklenme ek bir itki kullanılmaz ise yarı-büyük ekseni düşürür.

Çok büyük zaman aralıklarından sonra (yörüngede milyonlarca turdan sonra), çok küçük karışıklar bile dominant hale gelebilir ve yörüngedeki davranış [[Kaos teorisi|kaotik]] olabilir. öte taraftan karışıklıklar (perturbations), zeki astrodinamikçiler tarafında yörünge bakım görevleri için düzenlenebilir, örneğin [[Yörünge istasyon-bakımı|istasyon-bakımı]], [[yer takibi]] bakım veya onarımı veya düşük irtifada seçili hedefleri kapsayacak şekilde yerberi aşamaları.

==Yörünge manevraları==
{{Ana|Orbital maneuver}}

Bir [[uzay uçuşu]]nda yörünge manevrası, [[Uzay aracı itkisi|itki]] kullanılarak aracın yörüngesinin değiştirilmesi olayıdır. Örneğin Dünyadan çok uzakta Güneş etrafında bir yörüngeye sahip bir uzay aracı  için yörünge manevrası ''derin-uzay manevrası (DUM)'' olarak adlandırılır. {{kaynak needed (lead)|date=September 2011}}

===Yörünge transferi===

Transfer yörüngeleri genellikle eliptik olan ve bir yörüngeden diğer yörüngeye ulaşmak için kullanılan yörüngelerdir. Genellikle başında, sonunda ve bazen birkaç defada ortada bir ateşleme gerektirir.

*[[Hohmann transfer yörüngesi]] en düşük [[delta-v]] gerektirir.
*Bİr [[bi-elliptic transfer]] Hohmann transferden daha az enerji gerektirebilir fakat yörüngelerin oranı 11.94'e eşit veya büyük ise,<ref>{{Kitap kaynağı | soyadı = Vallado | ad = David Anthony | başlık = Fundamentals of Astrodynamics and Applications | sayfa = 317 | yayıncı = Springer | tarih = 2001 | isbn = 0-7923-6903-3 | url = https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC&printsec |erişimtarihi= 20 Mayıs 2016 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20170716235316/https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC&printsec |arşivtarihi= 16 Temmuz 2017 | ölüurl =hayır}}</ref> ama Hohmann transferinin üzerinde bir sürede seyahat zamanı gerektirir.
*Daha hızlı transferler daha fazla delta-v pahasına hedef ve kaynak yörünge ile kesişen başka bir yörünge kullanabilir.
* Düşük itkili motor kullanmak ([[elektriksel itki]] gibi), ilk yörüngede en uygun transfer yörüngesi sürekli apogee hızın yönünde sokarak elde edilir son istenen dairesel yörüngeye supersynchronous... Fakat bu metot düşük itkiden dolayı daha fazla zaman alır.<ref>{{Kitap kaynağı | soyadı = Spitzer | ad = Arnon | başlık = Optimal Transfer Orbit Trajectory using Electric Propulsion | yayıncı = USPTO | tarih = 1997 | url = http://www.google.com/patents/US5595360 |erişimtarihi= 20 Mayıs 2016 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20160407063537/http://www.google.com/patents/US5595360 |arşivtarihi= 7 Nisan 2016 | ölüurl =hayır}}</ref>

Düzlemsel olmayan yörüngeler arasında transfer durumunda [[yörünge eğimi değişimi|düzlem değişim itkisi]] yörünge düzlemlerinin kesişim noktasında yapılmalıdır. (the "node").

{{Çoklu resim
 |direction = horizontal
 |align = center
 |width1 = 190
 |width2 = 239
 |width3 = 190
 |width4 = 190
 |width5 = 192
 |image1=Orbital Hohmann Transfer.svg
 |image2=Bi-elliptic transfer.svg
 |image3=Orbital Two-Impulse Transfer.svg
 |image4=Orbital General Transfer.svg
 |image5=Optimal Transfer Orbit using Electric Propulsion.png
 |caption1=A [[Hohmann transfer]] from a low circular orbit to a higher circular orbit
 |caption2=A [[bi-elliptic transfer]] from a low circular starting orbit (dark blue), to a higher circular orbit (red)
 |caption3=Generic two-impulse elliptical transfer between two circular orbits
 |caption4=A general transfer from a low circular orbit to a higher circular orbit
 |caption5=An optimal sequence for transferring a satellite from a supersynchronous to a geosynchronous orbit using electric propulsion
}}{{Temiz}}

===Kütle çekimi yardımı ve Oberth efekti===

[[Kütleçekim yardımı|Kütle çekim yardımı]]nın olduğu durumlarda, uzay aracı gezegenin etkisi ile savrulur ve farklı bir yönde ve fraklı bir hızda gezegenin etkisinden ayrılır. Bu yardım daha fazla yakıt taşımaktan daha fazla kullanışlıdır. Bu yardım ile yapılan manevra uzak mesafeler için herhangi bir fiziksel çarpışma olmamasına rağmen [[elastik çarpışma]] gibi düşünülebilir. Newton'un 3. hareket kanunundan (etki aynı güçte tepki yaratır) dolayı bir uzay aracı tarafından elde edilen momentum gezegen tarafından kayıp edilmiş olmalı ya da tam tersi. Fakat, gezegen uzay aracına göre çok çok daha fazla kütleye sahip olduğundan aracın gezegenin yörüngesine etkisi ihmal edilebilir düzeydedir. [[Oberth efekti]] kütle çekim yardımı operasyonunda düşünülebilir. Bu etki ateşleme sisteminin kullanımı bu yöntemle yüksek hızlarda daha iyi çalışır ve dolayısı ile değişimler gezegenin yörüngesine yakın iken daha etkilidir, yani bu durum [[delta-v]]'nin daha efektif kullanılmasıdır.

=== Gezegenler arası taşıma ağı ve belirsiz (fuzzy) yörüngeler ===
{{Ana|Gezegenler arası taşıma ağı}}
{{Ayrıca bakınız|Düşük enerji transferi}}

Şimdi rota aramak için bilgisayarları, Güneş sistemindeki gezegenlerin ve uyduların doğrusalsızlığından faydalanarak, kullanmak mümkün. Örneğin, Dünya'nın yükseklerinde olan ve [[Trojan noktaları]]ndan geçen bir yörüngeden Mars'a yörünge grafiklemek mümkündür.{{Kaynak belirt|tarih=January 2016}}. Ortaklaşa Gezegenler arası taşıma ağı olarak adlandırılan bu sistemde belirsiz hatta kaotik yörüngeler hiç yakıt kullanmadan Lagrange noktasına ulaşabilirler (yörünge tutarak n uygulamada bazı düzeltmeler gerektirir).

Onlarla en büyük sorun, son derece yavaş olmaları ve yıllarca sürebilmeleri. Ayrıca ateşleme pencereleri çok fazla uzakta olabilir.

Fakat yine de [[Genesis (uzay aracı)|Genesis]] gibi projelerde görevlendirildiler. Bu uzay aracı {{L1}} Dünya-Güneş noktasına ulaştı ve çok az propilen kullanarak geri döndü.

== Ayrıca bakınız ==
{{Div sütunu|colwidth=26em}}
* [[Kepler Yörüngesi]]
* [[Aerodinamik]]
* [[Astrofizik]]
* [[Gök mekaniği]]
* [[Kaos teorisi]]
* [[Lagrange noktası]]
* [[Yörünge]]
* [[Roche limiti]]
* [[Havacılık Mühendisliği]]
{{Div sütunu bitiş}}

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}
{{Astronomi-altdal}}
{{Yörüngeler}}
{{Uzay uçuşu}}
{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Astrodinamik]]