Yerçekimi için Gauss yasası sayfasının kaynağını görüntüle

{{Temizleme|Haziran 2015}}
Fizikte -ayrıca yer çekimi için Gauss akı teoremi olarak bilinen- Gauss yer çekimi yasası, Newton'un evrensel çekim yasasına temelde eşdeğer olan fizik yasasıdır. Her ne kadar '''Yer çekimi için Gauss yasası''' Newton'un yasasına denk olsa da, pek çok durumda Gauss yer çekimi yasası hesaplama yapmak için Newton'un yasasından çok daha basit ve uygundur.

Gauss yer çekimi yasası, Maxwell denklemlerinden biri olan Gauss elektrostatik kanununa matematiksel olarak benzer. Gauss yer çekimi yasası ile Newton'un yasasında, Gauss elektrik yasası ile Coulomb kanunu arasında bulunan aynı matematiksel bir ilişki vardır.

== Yasanın niteliksel açıklaması ==

Yer çekimi alanı (gravitasyonel alan) “g” -yanı sıra yer çekimi ivmesi olarak adlandırılır- bir vektör alanıdır ve her uzay-zaman noktasına etki eder. Birim kütle başına etki eden gravitasyonel kuvvet olarak da tanımlanır ve bir cisme gravitasyonel alanın herhangi bir uzay-zaman noktasında etkiyen kütleçekim kuvvetini gravitasyonel alan vektörü ile cismin gravitasyonel kütlesi çarpılarak bulunabilir.

Yer çekimi akısı kapalı bir yüzey üzerinde çekim alanı olan bir yüzey integralidir, benzer şekilde [[manyetik akı]], manyetik alanında yer alan bir yüzey integralidir.

Yer çekimi dereceleri için Gauss yasası:

Herhangi bir kapalı yüzeydeki yer çekimi akı kapalı kütle ile doğru orantılıdır.

==İntegral Formu==

Gauss yer çekimi yasasının açıklamasının integral (tamamlayıcı) modeli;

:{{oiint
| preintegral =
| intsubscpt = <math>\scriptstyle \partial V</math>
| integrand = }} (olarak yazılır <math>\oint_{\partial V}</math>) kapalı yüzeydeki integrali simgeler,
:∂''V,'' hacmin çok küçük bir parçasıdır ( V hacminin sınırı),
:''dA''''',''' alanın çok küçük bir parçasını temsil eden bir vektördür  ve yönü dışarı doğru bakar ( [[yüzey normali]] ile aynı yöndedir) (daha fazla detay için bkz: [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Surface%20integral yüzey integrali]),
:g, Kütleçekim alanı büyüklüğü
:''G,'' evrensel [[Kütleçekimi sabiti|çekim sabiti]], ve
:''M'' kapalı yüzeydeki total ağırlık ∂''V''.

Eşitliğin sol tarafı yer çekimi alanının akısıdır. Yasaya göre bu akı her zaman negatif ya da sıfırdır ve asla pozitif olamaz. Bu Gauss’un elektrik kanununun tam tersidir, diğer kanunda akı negatif veya pozitiftir. Aradaki farkın sebebi yük hem pozitif hem negatif değer alabilirken, kütlenin sadece pozitif değer alabilmesidir.

==Diferansiyel formu==

Gauss yer çekimi yasasının açıklamasının diferansiyel modeli;

<math>\nabla\cdot</math>  türevi (diverjans operatörünü) simgeler, ''G'' evrensel [[Kütleçekimi sabiti|çekim sabiti]] ve ''ρ'' her noktadaki kütle yoğunluğu

===İntegral Modelle İlişkisi===
Gauss yer çekimi yasasının iki formu matematiksel olarak eşdeğerdir. Diverjans teoremi
:<math>\oint_{\partial V}\mathbf{g}\cdot d \mathbf{A} = \int_V\nabla\cdot\mathbf{g}\ dV</math>
∂''V'' ve ''dV''  kapalı odaklı yüzeyi tarafında sınırlandırılan kapalı bölgeyi ve ''dV'' hacminin [[sonsuz küçük]] bir parçasıdır. Yer çekimi alanı (g) ''V'' hacime komşu türevlenebilir sürekli bir vektör alanıdır.

ayrıca bakınız

:<math>M = \int_{V}\rho\ dV</math>

Diverjans teoremini, Gauss yer çekimi kanunun integral formuna(modeline) eklersek
:<math>\int_V\nabla\cdot\mathbf{g}\ dV = -4 \pi G\int_{V}\rho\ dV</math>
şu şekilde yazılabilir;
:<math>\int_V(\nabla\cdot\mathbf{g})\ dV = \int_{V} (-4 \pi G\rho)\ dV.</math>
Bu aynı anda her olası hacimleri ''V''; için tutar, bunu olmasının tek yolu integrali alınan fonksiyonların eşit olmasıdır.
:<math>\nabla\cdot\mathbf{g} = -4\pi G \rho,</math>

sonucuna ulaşıyoruz, Gauss yerçekimi kanunun diferansiyel modeline.
Bu yöntemin ters kullanılarak integral formundan diferansiyel formu elde etmek mümkündür.
İki tür(model) eşdeğer olsa da, belirli bir hesaplamada birini ya da diğerini kullanmak daha uygun olabilir.

== Newton yasası ile ilişkisi ==

==Newton'un yasasından Gauss yasasını türetilmesi==

Gauss yer çekimi kanun Newton'un evrensel çekim yasasından türetilebilir, bir noktanın kütlesinden yer çekimi alanına ulaşılır:
:<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -GM\frac{\mathbf{e_r}}{r^2}</math>
:'''e<sub>r</sub>''' ışınsal [[birim vektör]] (merkezden dışarı yönde),
:''r''  yarıçap, |'''r'''|.
:''M'' parçacığın kütlesi, [[Nokta parçacık|noktasal kütle]] olarak varsayılan [[merkez]]de yer aldığı varsayılan kütlesidir.

Yapılan kanıt vektör hesaplamaları şemasının altındadır. Elektrostatikte bu işlem  Coulomb kuralından başlayarak gauss kuralıyla birleşerek aynı varsayımı  oluşturmaktadır.<ref name=Griffiths/>

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Kanıt gösterimi(görüntülemek için tıklayın).)
|-
| '''g'''('''r'''), çekimsel alan  '''r''',evrenin her noktasındaki küçük ağırlıklar '''g'''('''r''')  katkılarıyla hesaplanabilir   (bkz [[superpozisyon prensibi]]). bunu uygulayarak, uzaydaki her noktadaki '''s''' i, '''g'''('''r''') ye aklemiş oluruz. Ağırlıkla ilgili olarak (herhangi)bir  '''s'''(,Newton yasası ile hesaplanan) bulunabilir. Sonuç ise:
:<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -G\int \rho(\mathbf{s})\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} d^3\mathbf{s}.</math>
(d<sup>3</sup>'''s''' sırayla  d''s''<sub>x</sub>d''s''<sub>y</sub>d''s''<sub>z</sub>, her birinin -∞ dan  +∞ kadar integrali alınır.) eğer her birinin her taraftan divergensı alınır ('''r''' göre) ve bilinen teorem uygulanır.<ref name=Griffiths>bkz, örneğin, {{Kitap kaynağı | yazar=Griffiths, David J. | başlık=Introduction to Electrodynamics | url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_456 |basım=3.3 yayıncı=Prentice Hall | tarih=1998 | isbn=0-13-805326-X | sayfa=[https://archive.org/details/introductiontoel00grif_456/page/n65 50]}}</ref>
:<math>\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{s}}{|\mathbf{s}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{s})</math>
where δ('''s''') is the [[Dirac delta function]], the result is
:<math>\nabla\cdot\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -4\pi G\int \rho(\mathbf{s})\ \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ d^3\mathbf{s}.</math>
Using the "sifting<!--Note: This is not a typo, the word is really 'sifting' not 'shifting'--> property" of the Dirac delta function, we arrive at
:<math>\nabla\cdot\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -4\pi G \rho(\mathbf{r})</math>
which is the differential form of Gauss's law for gravity, as desired.
|}

===Gauss yasasından Newton kanunun çıkarımı ve İrrasyonelite===
Matematiksel açıdan gauss kuralından Newton yasasını çıkarmak tek başına imkânsızdır..Çünkü Gauss kuralı '''g''' nin  farklılığını '''g''' nin oluşturduğu eğimime bakarak hesaba katmaz. Gauss kuralına ek olarak yer çekimi korunumlu bir kuvvet olduğundan g irrasyonel yani sıfır olarak Kabul edilir. (bkz [[Helmholtz decomposition]]).
:<math>\nabla \times \mathbf{g} = 0</math>

Bu varsayımlardan Newton kanunun kanıtı aşağıdaki gibidir:

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
|-
|Gauss kanunun integralii ile başlar.:
: <math>\oint_{\partial V}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4 \pi GM.</math>
bu kanunu hacmin  ''V'' olduğu yere ve kürenin yarıçapının  ''r'' olduğu yere ayrıca noktasal ağırlığın ''M'' olduğu noktaya uygulayabiliriz. Burdançekimsel alanın noktasal yüke küresel olarak simetrik çıkmasını beklemk mantıklı olacaktır.bu varsayımı kullanarak '''g''' nin alacağı formu çıkarabiliriz;
: <math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = g(r)\mathbf{e_r}</math>
(i.e., '''g''' nin yönü   '''r''' yönüne paraleldir. ve '''g''' nin büyüklüğü sadece büyüklüğe bağlıdır, '''r''' yönüne değil.). this in ve ∂''V'' olduğu bilgisini kullanarak  ''r'' küresel sabitini ve alanı bulabiliriz. <math>4\pi r^2</math>,
: <math>g(r)\oint_{\partial V}\mathbf{e_r}\cdot d\mathbf{A} = -4 \pi GM</math>
: <math>g(r)(4\pi r^2) = -4 \pi GM</math>
: <math>g(r) = -GM/r^2</math>
: <math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -GM\frac{\mathbf{e_r}}{r^2}</math>
Newton yasasına göre.
|}

==Poisson denklemi ve Çekimsel potansiyel==
Çekimsel alanın  alan sıfır eğimi  olduğundan yukarıda da bahsedildiği üzere, bu  alan skaler potansiyelin  eğimle çarpımı olarak Kabul edilebilir. (çekimsel alan):<math>\mathbf{g}=-\nabla\phi.</math>
Gauss kanunun differansiyel versiyonu yer çekimi için şu şekilde uygulanır. [[Poisson's equation]]:
:<math>\nabla^2\phi = 4\pi G\rho.</math>
Bu formül çekimsel potansiyelin ve çekimsel alanine farklı yollardan hesaplanması için alternatifler sunar.g  nin   poisson denklemiyle hesaplanması matematiksel açıdan g nin gauss kuralı üzerinden direct olarak çıkmasıyla aynı olsa da, verilen duruma göre başka yaklaşımlar daha kolay hesaplamara yardımcı olabilir.

Radial açıdan simetrik sistemlerde, çekimsel potansiyel sadece bir değişkenin fonksiyonudur.ayrıca [[poisson denklemi]] şu şekle döner (bkz kutupsal ve silindirik koordinatlar)(see [[Del in cylindrical and spherical coordinates]]):
:<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\, \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) = 4\pi G \rho(r)</math>
while the gravitational field is:
:<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\mathbf{e_r}\frac{\partial \phi}{\partial r}.</math>

Denklem çözülürken sınırlı yoğunlukların sınırlar içerisinde devamlı olması gerektiği ve ∂ϕ/∂''r'' da iken sınırların''r''= 0  olduğu hesaba katılmalıdır.

==Uygulalamalar==

Gauss kuralı çekimsel alanine bulunması için  belirli durumlarda  örneğin newton yasasının kullanılmasının zorlaştığı durumlarda (imkânsız olmamakla beraber) rahatlıkla kullanılabilir.ayrıca detaylı bilgiler için ve daha ayrıntılı ortaya çıkarılışı için  pek çok makale vardır (bkz). Bununla ilgili olarak üç farklı uygulama bulunmaktadır.

===Bouger plakası===
{{Ana metin;}}

Gaussian hap kutusunu kullanarak çekimsel alan dışındaki  plakanın (bouger plakası) herhangi bir kalınlığı o plakaya diktir. Buna göre 2πG çarpımı ile  birim alandaki ağırlık büyüklüğü plakanın uzaklığından bağımsızdır.<ref>{{Web kaynağı |url=http://books.google.com/books?id=XVyD9pJpW-cC&pg=PA535 |başlık=The mechanics problem solver, by Fogiel, pp&nbsp;535–536 |erişimtarihi=22 Mayıs 2015 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20110629064940/http://books.google.com/books?id=XVyD9pJpW-cC&pg=PA535 |arşivtarihi=29 Haziran 2011 |ölüurl=hayır}}</ref> (see also [[Physical geodesy#Gravity anomalies|gravity anomalies]]).

Daha genel olarak, bir ağırlık için  yoğunlukla birlikte dağılım sadece karetezyen koordinat eksenindeki z ye bağlıdır.herhangi bir z için 2πG çarpım (yukarıdaki  alan başına düşen alan z nin üstünde, ağırlık başına düşen alan z nin altında  eksi ağırlıktır.)

===Simetrik silindirik ağırlık dağılımı===

Herhangi bir sonsuz silindirik ağırlık dağılımı durumunda (silindirik bir Gauss yüzey alanı oluşturarak)alanine kuvveti r uzaklığından birim alandaki total ağırlığın  merkezden 2G/r kadar içeri  eksenden uzak mesafelerdeki çarpımı ile bulunur.

===Küresel simetrik dağılım===
Küresel simetrik ağırlık dağılımı durumunda (küresel Gauss yüzeyini kullanarak) ağırlık kuvveti, r mesafesinden çarpımı ile toplam ağırlığın r den daha küçük mesafelerde  büyüklüğündedir. Merkezden r'den daha uzak mesafelerde tüm ağırlıklar göz ardı edilebilir. ''G''/''r''<sup>2</sup>

Örneğin, boş bir küre içinde hiçbir net  çekim oluşturmaz. Çekimsel alan eğer içi dolu olan bir küre içerisinde düşünülürse eşit olarak dağılmış olarak düşünülebilir. (çıkan alan içerideki alandan ya da dışardaki küresel cisimden ötürüdür.)

Gauss kanunu ile ulaşılan  sonuçlar sadece birkaç satır sürse de Newton yasasından yer çekimi  ile  ortaya çıkarmak için yapılan hesaplamalar ve çözümler pek çok sayfa tutar. Direkt çözüm için bakınız: Kabuk teorisi.

==Lagrangian formunda formülleri türetme==
Newtonsal çekim için :<math>\mathcal{L}(\vec{x},t) = - \rho(\vec{x},t) \phi(\vec{x},t) - {1 \over 8 \pi G} (\nabla \phi(\vec{x},t))^2 </math>
Hamilton kuralını uygulamak için Gauss kuralı ve yer çekimi ilşkisi

:<math>4 \pi G \rho (\vec{x},t) = \nabla^2 \phi(\vec{x},t). </math>
Lagranian (Newtonsal çekim) detaylar için

==Kurgu==

Arthur C. Clarke'ın Odyssey Two  adlı romanında(2010 yılı basım), Jupiter yörüngesinde uzaylı araştırırken Leonov un baş bilim adamı, VAsili orlov 'un mühendisi Curnow park Bauger ın anormalisini Gauss kuralından çıkartmışır. Söylediğine göre kendisi sadece bir astronomi dersinden  çekimsel kuvvetin sonsuz yüzeyde  bir örneği hatırlamış ancak günlük hayatta kullab hayal bile edememiştir.

==Ayrıca bakınız==

{{Div sütunu||22em}}
*[[Carl Friedrich Gauss]]
*[[Divergence theorem]]
*elektrik için[[Gauss kanunu]] 
*[[Gauss's law for magnetism]]
*[[Vector calculus]]
*[[Integral]]
*[[Flux]]
*[[Gauss yüzeyi]]
{{Div sütunu bitiş}}

==Kaynaklar ==
{{Kaynakça}}
*gauss kanunun uygulanması için örneğin ;[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.70.1195 this article].
{{Çevrilmiş sayfa|en|Gauss's law for gravity|sürüm=|hedefsürüm=|bölüm=|kategorisiz=}}

{{Carl Friedrich Gauss}}

[[Kategori:Kütleçekimi]]
[[Kategori:Kütleçekimi teorileri]]
[[Kategori:Vektör hesabı]]