Heron formülü

Kenar uzunlukları a, b ve c olan bir üçgen.

Heron formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamaya yarayan geometri formülüdür. Yunan matematikçi Heron tarafından bulunmuştur.

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

s, üçgenin yarı çevresini göstermektedir:

$s=\frac{a+b+c}{2}.$

Heron formülü şu şekillerde de yazılabilir:

$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$

$A=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

$A=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}$

Örnek

ΔABC, kenar uzunlukları a=7, b=4 ve c=5 olan bir üçgen olsun. Yarıçevre   $s=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(7+4+5)=8$  ve alan

 $T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}$

$=\sqrt{8\cdot 1\cdot 4\cdot 3)}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\approx 9.8$

İspatı

Kosinüs teoremini yazarsak,

$\cos \hat{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

C açısının sinüsünü bulalım

$\sin \hat{C}=\sqrt{1-{\cos }^2\hat{C}}=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2ab}.$

Üçgenin a kenarının yüksekliği b·sin(C) olur.

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{2}(\text{taban})(\text{yukseklik})\\ & =\frac{1}{2}ab\sin \hat{C}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2))}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(c^2-(a-b{)}^2)((a+b{)}^2-c^2)}\\ & =\sqrt{\frac{(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}\\ & =\sqrt{\frac{(b+c-a)}{2}\frac{(a+c-b)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}\frac{(a+b+c)}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(b+c-a)}{2}\frac{(a+c-b)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\end{array}$

İspatın iki adımında, iki kare farkı kullanılmıştır.

Kaynakça

• Şablon:Web kaynağı