Radyan

Radyanın tanımının görsel ifadesi ve $\pi$ ile ilişkisi.

Radyan, bir dairede yarıçap uzunluğundaki yay parçasını gören merkez açıya eşit açı ölçme birimidir. 1 radyan Şablon:Matematik ya da yaklaşık 57,2958 derecedir (57°17′45″).

Radyan, bir açının ölçüsünü ifade etmek için kullanılan bir açı birimidir. Açının merkez açıya karşılık gelen yayının uzunluğunun, çemberin yarıçapına bölünmesiyle elde edilir.

Daha açık bir ifadeyle, çemberin merkezinden geçen iki ışın arasındaki açı, radyan cinsinden ifade edilebilir. Bu açı, çemberin merkezindeki birim uzunluklu bir yay tarafından kaplanıyorsa, açının ölçüsü 1 radyandır.

Radyan, derece gibi başka bir açı birimi alternatifi olarak kullanılabilir. Bir açının radyan cinsinden ölçümü, derece cinsinden ölçümünden farklıdır ve pi sayısı ile ilişkilidir. Tam bir daire, 2π radyan veya 360 derece ölçülür. Bir radyan, yaklaşık olarak 57,3 dereceye eşittir.

Örneğin, yarıçap değeri 1 m, olan bir çemberde 1 m uzunlukta yayı gören merkez açı 1 radyan'dır.

Radyan, açısal ölçünün standart birimidir ve matematiğin birçok alanında kullanılır. Bir açının radyan olarak ölçümü sayısal olarak bir birim dairenin karşılık gelen bir yayının uzunluğuna eşittir, böylece bir radyan 57,3 derecenin hemen altındadır (yay uzunluğu yarıçapa eşit olduğunda). Birim daha önceden bir SI tamamlayıcı birimi idi, ama bu kategori 1995 yılında kaldırıldı ve radyan şimdi bir SI türetilmiş birimi olarak kabul edilir. Tam açı ölçümünün SI birimi steradyandır. Radyan, rad sembolü ile temsil edilir (Unicode-kodu U+33AD ㎭). Üst simge c harfi "dairesel ölçüm" için alternatif bir semboldür, ancak bu seyrek kullanılır çünkü bir derece sembolü (°) ile kolayca karıştırılabilir. Yani örneğin bir 1,2 radyan değeri 1,2 rad, 1,2rad ya da 1,2c olarak yazılabilir.

Tanım

Radyan, dairesel bir yay tarafından oluşturulan düzlem açıyı, yayın uzunluğu bölü yayın yarıçapı olarak açıklar. Bir radyan, bir dairenin yarıçapına eşit uzunlukta olan bir yayın bu dairenin merkezinde oluşturduğu açıdır. Daha genel olarak, böyle bir açının radyan cinsinden büyüklüğü yay uzunluğunun dairenin yarıçapına olan oranına eşittir. Yani θ = s /r, θ radyan cinsinden açı, s yay uzunluğu ve r yarıçaptır. Tersi durumda, kapalı yayın uzunluğu, yarıçap çarpı açının radyan cinsinden büyüklüğüne eşittir (yani s = rθ).

İki uzunluğun oranı itibarıyla radyan hiçbir birim sembolü gerektirmeyen bir "saf sayı"dır ve matematiksel yazıda "rad" sembolü hemen hemen her zaman ihmal edilir. Hiçbir sembol olmadığında bir açının biriminin radyan olduğu varsayılır ve derece birimi için ° sembolü kullanılır.

Tam bir devir 2π radyan'dır.

burada yarıçapı bir olan ve böylece çevresi 2π olan bir daire ile gösterilmiştir.

Tam bir devrin radyan cinsinden büyüklüğü (360 derece) tüm çevrenin uzunluğu bölü yarıçaptır (ya da 2πr /r veya 2π). Dolayısıyla 2π radyan 360 dereceye eşittir. Bu, bir radyanın 180/π dereceye eşit olduğu anlamına gelir.

Tarihte bir açının derecesine karşı radyan ölçü kavramını 1714 yılında Roger Cotes ortaya koymuştu.[1][2] Radyanı, isim dışında her yönden açıkladı ve açısal ölçü birimi olarak doğallığını fark etti. Açıları yay uzunluğuna göre ölçme fikri diğer matematikçiler tarafından hâlihazırda kullanılıyordu. Örneğin al-Kashi (c. 1400) birim olarak çap bölümlerini kullandı, burada bir çap bölümü 1/60 radyan idi ve ayrıca çap bölümünün altmışlı kesirlik alt birimlerini de kullandılar.[3] Radyan terimi basılı bir yayında ilk olarak 5 Haziran 1873 tarihinde Queen's College, Belfast'ta James Thomson (Lord Kelvin'in kardeşi) tarafından hazırlanan sınav sorularında kullanıldı. O, bu terimi 1871'den beri kullanmaktaydı, bununla birlikte 1869 yılında, daha sonradan University of St Andrews'a giren Thomas Muir rad, radyal ve radyan terimleri arasında bocaladı. 1874 yılında Muir, James Thomson ile görüştükten sonra radyanı benimsedi. [4][5][6]

Dönüştürmeler

Radyan ile derece arasında dönüştürme

Derece-radyan dönüşüm şeması

Belirtildiği gibi bir radyan 180/π dereceye eşittir. Dolayısıyla, radyandan dereceye dönüştürmek için 180/π ile çarpın.

:$\text{derece olarak açı}=\text{radyan olarak açı}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }$

Örneğin:

$1\text{ rad}=1\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57.2958^{\circ }$

$2.5\text{ rad}=2.5\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 143.2394^{\circ }$

$\frac{\pi }{3}\text{ rad}=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=60^{\circ }$

Tersi durumda, dereceden radyana dönüştürmek için π/180 ile çarpın.

:$\text{radyan olarak açı}=\text{derece olarak açı}\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}$

Örneğin:

$1^{\circ }=1\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}\approx 0,0175\text{ rad}$

$23^{\circ }=23\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}\approx 0,4014\text{ rad}$

Radyan sayısı 2π ‘ye bölünerek radyanlar ‘dönüş’lere (tam devirlere) dönüştürülebilir.

Radyandan dereceye dönüşüm türetmesi

Bir dairenin çevre uzunluğu ‘dir, burada dairenin yarıçapıdır.

Yani aşağıdaki denklik bağıntısı doğrudur:

360^\circ \iff 2\pi r [Çünkü 360 derecelik bir dönüş için tam bir daire çizmek gerekir]

Radyanın tanımına göre tam bir daire şöyle gösterilir:

$\frac{2\pi r}{r}\text{ rad}$

$=2\pi \text{ rad}$

Yukarıdaki bağıntılar birleştirildiğinde:

$2\pi \text{ rad}=360^{\circ }$

$\Rrightarrow 1\text{ rad}=\frac{360^{\circ }}{2\pi }$

$\Rrightarrow 1\text{ rad}=\frac{180^{\circ }}{\pi }$

Radyan ile grad arasında dönüştürme

2π radyan bir dönüşe eşittir. Bir dönüş ise 400 grad ‘dır (400g). Dolayısıyla radyandan grad ‘a dönüştürmek için $200/\pi$ ile çarpın ve grad ‘dan radyana dönüştürmek için $\pi /200$ ile çarpın.

Örneğin,

$1.2\text{ rad}=1.2\cdot \frac{200^{\text{g}}}{\pi }\approx 76.3944^{\text{g}}$

$50^{\text{g}}=50\cdot \frac{\pi }{200^{\text{g}}}\approx 0.7854\text{ rad}$

Bazı yaygın açıların dönüştürülmesi

Tabloda bazı yaygın açıların dönüştürülmesi gösterilmektedir.

Birimler	Değerler
Devir	0	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	Şablon:Sfrac	1
Radyan	0	Şablon:Sfracπ	Şablon:Sfracπ	Şablon:Sfracπ	Şablon:Sfracπ	Şablon:Sfracπ	Şablon:Sfracπ	Şablon:Sfracπ	Şablon:Sfracπ	Şablon:Sfracπ	π	Şablon:Sfracπ	2π
Derece	0°	15°	30°	36°	45°	60°	72°	90°	120°	144°	180°	270°	360°
Grad	0g	Şablon:Sfracg	Şablon:Sfracg	40g	50g	Şablon:Sfracg	80g	100g	Şablon:Sfracg	160g	200g	300g	400g

Radyan olarak ölçmenin avantajları

Bazı yaygın açılar radyan cinsinden ölçülür. Bu diyagramdaki tüm büyük çokgenler düzgün çokgenlerdir.

Kalkulusta ve matematiğin pratik geometrinin ötesindeki diğer birçok dalında açılar evrensel olarak radyan cinsinden ölçülür. Bunun nedeni radyanın matematiksel bir "doğallığa" sahip olmasıdır. Bu doğallık, bir dizi önemli sonucun daha zarif bir şekilde formüle edilebilmesine olanak verir.

En dikkat çekici olan şudur ki trigonometrik fonksiyonlar içeren analizlerin sonuçları, fonksiyonların argümanları radyan cinsinden ifade edildiğinde basit ve zariftir. Örneğin radyan kullanımı,

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1,$

dahil olmak üzere matematikteki birçok kimliğin temeli olan basit limit formülüne olanak verir:

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$\frac{d^2}{d{x}^2}\sin x=-\sin x.$

Bunlar ve diğer özellikler nedeniyle, fonksiyonların geometrik anlamları ile açıkça ilgili olmayan matematiksel problemlerin çözümlerinde trigonometrik fonksiyonlar görünür.

(örneğin,$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-y$ diferansiyel denkleminin çözümleri $\int \frac{dx}{1+x^2}$, integralinin değerlendirilmesi vb.).Tüm bu durumlarda, fonksiyon argümanlarının en doğal olarak açıların radyan ölçümüne geometrik bağlamlarda karşılık gelen biçimde yazıldığı tespit edilmiştir.

Trigonometrik fonksiyonlar, radyanlar kullanıldığında ayrıca basit ve zarif dizi açılımlarına da sahiptir; örneğin sin x için aşağıdaki Taylor dizisi:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots .$

Eğer x derece olarak ifade edilseydi dizi, π/180 ‘in kuvvetlerini içeren karışık faktörler ihtiva edecekti: x derece sayısı ise radyan sayısı y = πx /180 olur, dolayısıyla:

$\sin x_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}}=\sin y_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{\pi }{180}x-{\left(\frac{\pi }{180}\right)}^3\frac{x^3}{3!}+{\left(\frac{\pi }{180}\right)}^5\frac{x^5}{5!}-{\left(\frac{\pi }{180}\right)}^7\frac{x^7}{7!}+\cdots .$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları arasındaki matematiksel olarak önemli ilişkiler ve üstel fonksiyonlar da (örnek olarak bkz: Euler formülü) fonksiyonların argümanları radyan ise zariftir, diğer türlü ise karmaşıktır.

Boyutsal analiz

Radyan, ölçü birimi olmasına rağmen boyutsuz bir miktardır. Bu, daha önce verilen tanımda görülebilir: bir dairenin merkezinden uzanan ve radyan olarak ölçülen bir açı, kapalı yayın uzunluğunun dairenin yarıçap uzunluğuna olan oranına eşittir. Birimler birbirini götürdüğünden bu oran boyutsuzdur.

Polar ve küresel koordinatlar koordinatları iki ve üç boyutlu tanımlamak için radyanlar kullandığı halde birim, yarıçap koordinatından türetilmiştir, böylece açı ölçüsü hala boyutsuzdur.[7]

Fizikte kullanım

Radyan, açısal ölçümler gerektiğinde fizikte yaygın olarak kullanılır. Örneğin açısal hız, tipik olarak saniyede radyan (rad/s) cinsinden ölçülür. Saniyede bir devir, saniyede 2π radyana eşittir.

Benzer şekilde açısal ivme çoğu zaman saniye kare başına radyan (rad/s2) cinsinden ifade edilir.

Boyutsal analiz amacıyla, birimler sırasıyla s−1 ve s−2 dir.

Aynı şekilde, iki dalganın faz farkı da radyan cinsinden ölçülebilir. Örneğin, iki dalganın faz farkı (k·2π) radyan ise (k bir tam sayı) bunların fazda olduğu kabul edilir, bunun yanında eğer iki dalganın faz farkı (k·2π + π) ise (k bir tam sayı) bunların anti-fazda olduğu kabul edilir.

Radyan birimlerin katları

Metrik ön eklerde radyan kullanımı sınırlıdır ve matematikte hiç yoktur. bir mili-radyan (mrad) bir radyanın binde biridir ve bir mikroradyan (urad ya da μrad) bir radyanın milyonda biridir, yani 103 mrad = 106 urad = 1 rad. Bir dairede 2π × 1000 mili-radyan (≈ 6283.185 mrad) vardır. Böylece trigonometrik bir mili-radyan bir dairenin 1⁄6283 ‘ünün hemen altındadır. Bir dairenin açısal ölçümünün bu "gerçek" trigonometrik birimi (Stadiametrik) menzil bulucu kullanan teleskobik görüş üreticileri tarafından kullanılmaktadır. Lazer ışınlarının sapması da genellikle mili-radyan cinsinden ölçülür. Trigonometrik mili-radyanın (0.001 rad) (açısal) mil olarak bilinen bir yaklaştırması NATO ve diğer askeri kuruluşlar tarafından atış tekniği ve hedeflemede kullanılmaktadır. Her açısal mil bir dairenin 1⁄6400 'ünü temsil eder ve trigonometrik mili-radyandan 1-⅞% daha küçüktür. Genelde hedefleme işlerinde bulunan küçük açılar için hesaplamada 6400 sayısını kullanma kolaylığı, neden olduğu küçük matematiksel hatalardan ağır basar. Geçmişte diğer atış tekniği sistemlerinde 1⁄2000π'e farklı yaklaştırmalar kullanmıştır. Örneğin İsveç 1⁄6300 'i kullanmıştır ve SSCB 1⁄6000'i kullanmıştır. Mili-radyana dayalı olarak NATO mili 1000 m 'lik bir menzilde kabaca 1 m 'dir (bu kadar küçük açılarda eğrilik ihmal edilebilir).

Mikroradyan (μrad) ve nanoradyan (nrad) gibi küçük birimler astronomide kullanılır ve aynı zamanda lazerlerin ışın kalitesini ultra-düşük sapma ile ölçmek için de kullanılabilir. Benzer şekilde, mili- 'den daha küçük önekler son derece küçük açıların ölçülmesinde potansiyel olarak kullanışlıdır.

Dış bağlantılar

• RadianŞablon:Webarşiv at MathWorld