Dirichlet beta fonksiyonu

Matematik'teki Dirichlet beta fonksiyonu (diğer bir deyişle Catalan beta fonksiyonu) özel fonksiyon'dur, aslında modifiye edilerek parantezlenmiş Riemann zeta fonksiyonu'nundan ibarettir. özel bir şekli Dirichlet L-fonksiyon'udur.

Tanım

Dirichlet beta fonksiyonu'nun tanımı

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s},$

veya eşdeğeri,

$\beta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1+e^{-2x}}dx.$

Re(s) > 0 olduğu her durum için geçerlidir.

Alternatif olarak, aşağıdaki Hurwitz zeta fonksiyonu'nun kompleks değerleri için s-plan'da yapılan tanım

$\beta (s)=4^{-s}(\zeta (s,\frac{1}{4})-\zeta (s,\frac{3}{4})).$

Diğer bir eşdeğer tanımlama, Lerch transcendent terimleri içerisindedir:

$\beta (s)=2^{-s}\mathrm{\Phi }(-1,s,\frac{1}{2}),$

s 'nin bütün karmaşık değerleri için bu bir kez daha geçerlidir.

Fonksiyonal denklem

fonksiyonal denklem beta fonksiyonunun açılımı kompleks düzlem'in sol tarafında Re(s)<0 için,

$\beta (s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s-1}\mathrm{\Gamma }(1-s)\cos \frac{\pi s}{2}\beta (1-s)$ olarak verilir.

Burada Γ(s) Gama fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Bazı tanınmış özel değerler:

$\beta (0)=\frac{1}{2},$

$\beta (1)={\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4},$

$\beta (2)=G,$

burada G Catalan sabiti'dir. ve

$\beta (3)=\frac{{\pi }^3}{32},$

$\beta (4)=\frac{1}{768}({\psi }_3(\frac{1}{4})-8{\pi }^4),$

$\beta (5)=\frac{5{\pi }^5}{1536},$

$\beta (7)=\frac{61{\pi }^7}{184320},$

burada ${\psi }_3(1/4)$ poligama fonksiyonu'nun sayısal bir değeridir. her pozitif k tam sayısı için genelleştirirsek:

$\beta (2k+1)=\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{\pi }^{2k+1}}{4^{k+1}(2k!)},$

Burada $E_n$ olarak gösterlien Euler sayısı'dır.. k ≥ 0,

için açılımlanmış şekli:

$\beta (-k)=\frac{E_k}{2}.$

Dolayısıyla bağıntının bütün negatif integral değerleri için fonksiyon tuhaf bir şekilde gözden kaybolur.

Ayrıca bakınız

• Hurwitz zeta fonksiyonu

Kaynakça

• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Şablon:MathWorld