Cauchy-Hadamard teoremi

Matematikte, özellikle karmaşık analizde, Cauchy-Hadamard teoremi bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını hesaplamakta kullanılan önemli bir sonuçtur. Teorem ismini, Fransız matematikçi Augustin Louis Cauchy ve Jacques Hadamard'dan almıştır. Teorem, ilk defa 1821 yılında Cauchy tarafından yayınlanmıştır. Ancak; Hadamard aynı sonucu tekrar bulana kadar o kadar yaygın olarak da bilinen bir sonuç olmamıştır. Hadamard'ın bu teoremi ilk keşfi 1888'de olmuştur ve hatta bulduğu bu sonucu 1892'de yazdığı tezinde de kullanmıştır.

Teoremin ifadesi

Bir karmaşık değişkenli bir kuvvet serisini ele alalım:

$f(z):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n,a,c_n\in ℂ.$

O zaman, ƒ 'nin a noktasındaki yakınsaklık yarıçapı olan R ile $c_n$ 'ler arasında şu şekilde bir ilişki vardır:

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(|c_n{|}^{1/n}).$

Burada limsup, dizinin n 'inci öğesinden sonraki öğelerinin en küçük alt sınırının, n sonsuza giderken limitidir. Eğer dizi değerleri sınırsız ise ki bu durumda lim sup ∞ olur, o zaman seri a civarında bile yakınsamaz. Ancak; lim sup 0 olursa, o zaman yakınsaklık yarıçapı ∞ olur ve bu da serinin karmaşık düzlemin her yerinde yakınsadığını gösterir.

Dış bağlantılar

• Şablon:MathWorld (İngilizce dilinde)