Sönümlü poisson denklemi

Şablon:Kaynaksız Fizikte, Sönümlü Poisson Denklemi :

$[\mathrm{\Delta }-{\lambda }^2]u(𝐫)=-f(𝐫)$

biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada $\mathrm{\Delta }$ Laplasyene, f herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna ve u da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar.

Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir.

Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman, denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu f ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır.

$u(𝐫{)}_{(\text{Poisson})}=\iiint {\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }\frac{f({𝐫}^{\prime })}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}.$

Diğer taraftan, λ çok büyük olduğu zaman, u, f/λ² değerine ulaşacaktır ki bu da λ sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, λ'nın normal değerleri için çözüm sönümlü 1/r fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren λ 'nın süperpozisyonu olacaktır.

Sönümlü Poisson Denklemi genel bir f için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu G

$[\mathrm{\Delta }-{\lambda }^2]G(𝐫)=-{\delta }^3(𝐫).$

olarak tanımlanır. u ve onun türevlerinin büyük r değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz;

$G(𝐤)=\iiint {\mathrm{d}}^{3}rG(𝐫)e^{-i𝐤\cdot 𝐫}$

Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir

$[k^2+{\lambda }^2]G(𝐤)=1.$

r argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir,

$G(𝐫)=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\iiint {\mathrm{d}}^{3}k\frac{e^{i𝐤\cdot 𝐫}}{k^2+{\lambda }^2}.$

Bu integralin değeri k-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası $k_r$ na dönüşür:

$G(𝐫)=\frac{1}{2{\pi }^{2}r}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{k}_r\frac{k_r\sin k_{r}r}{k_r^2+{\lambda }^2}.$

Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç :

$G(𝐫)=\frac{e^{-\lambda r}}{4\pi r}.$

Daha sonra problemin tümü için çözüm

$u(𝐫)=\int {\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }G(𝐫-{𝐫}^{\prime })f({𝐫}^{\prime })=\int {\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }\frac{e^{-\lambda |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}f({𝐫}^{\prime }).$

olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan λ ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/r fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar.

İki Boyutta: Manyetik Plazma düşünüldüğünde sönümlü poisson denklemi 2boyutluya benzerdir:

$({\mathrm{\Delta }}_{\perp }-\frac{1}{{\rho }^2})u({𝐫}_{\perp })=-f({𝐫}_{\perp })$

burada ${\mathrm{\Delta }}_{\perp }=\mathrm{\nabla }\cdot {\mathrm{\nabla }}_{\perp }$ ve ${\mathrm{\nabla }}_{\perp }=\mathrm{\nabla }-\frac{𝐁}{B}\cdot \mathrm{\nabla }$, $𝐁$ manyetik alana ve $\rho$ ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü :

$G({𝐤}_{\mathbf{\perp }})=\int \int d^{2}rG({𝐫}_{\perp })e^{-i{𝐤}_{\perp }\cdot {𝐫}_{\perp }}$

Daha sonra 2 boyutlu sönümlü poisson denklemi ile

$(k_{\perp }^2+\frac{1}{{\rho }^2})G({𝐤}_{\perp })=1$

olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu:

$G({𝐫}_{\perp })=\frac{1}{4{\pi }^2}\int \int {\mathrm{d}}^{2}k\frac{e^{i{𝐤}_{\perp }\cdot {𝐫}_{\perp }}}{k_{\perp }^2+1/{\rho }^2}.$

halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir :

${𝐤}_{\perp }=(k_r\cos (\theta ),k_r\sin (\theta ))$

Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası $k_r$ 'na dönüşür:

$G({𝐫}_{\perp })=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{k}_r\frac{k_r{e}^{i{k}_r{r}_{\perp }}}{k_r^2+1/{\rho }^2}.$

Ayrıca bakınız

• Yukawa Etkileşimi