Bifurkasyon

Bifurkasyon diyagramı

Bifurkasyon (dallanma), ilk kez Henri Poincaré tarafından yaratılan bir kavramdır.

Edward Lorenz ile yaklaşık aynı tarihlerde W. E. Ricker balık üretme çiftliklerindeki popülasyon düzeyindeki değişimi simüle edebilecek bir denklem takımı arayışına girdi. Ricker, lojistik diferansiyel denklem olarak da bilinen $x_{n+1}=r\cdot x_n\cdot (1-x_n)$ denklemini seçti. Bu denklemde, bir sonraki yılın popülasyon miktarı geçen yılın popülasyon miktarı ve popülasyon artış hızına bağlı olarak belirlenmekteydi. Küçük r değerleri için popülasyon sabit bir sayıda kararlı kalırken, daha büyük r değerlerindeki davranışı oldukça karmaşık olmaktaydı. Ricker bu konu üzerinde fazla çalışmadı, ancak Robert May 70'li yılların başında aynı lojistik denklem üzerinde çalışmaya, üstelik de r'nin yüksek değerlerinde neler olduğunu araştırmaya başladı. r 3'ten daha büyük seçildiğinde popülasyon iki değer arasında salınım yapmaktaydı. r biraz daha arttırıldığında salınım periyodu 4, 8, 16 gibi katlanarak artmaktaydı. Belirli bir noktadan sonra ise sistemin çıkışı tamamen kaotik bir hal aldı. May, tüm bu sonuçları görerek yorumlayabileceği bir diyagram geliştirdi. Bu diyagrama bifurkasyon (dallanma) eğrisi denir. Bu noktada May, çalışmalarını daha ileriye götüremedi, ancak James Yorke eğriyi doğru yorumlayarak tek boyutlu bir sistemde üç periyotlu bir evrenin bulunması halinde sistemin kaotik bir yapı içerdiğini kanıtladı.

Epidemiyolojide salgın hastalıkların düzenli ya da düzensiz olarak dönemsel yaşandığı bilinir. May, bu salınımlı davranışın nonlineer bir modelle medellenebileceğini düşünmüş ve böyle bir sistem kurmuştur. May, modeli üzerinde bu tür bir sistemin ani pertürbasyonlara maruz kaldığında neler olabileceğini araştırmıştır. Geleneksel düşünceye göre aşılama kampanyaları sistemi istendiği yönde düzenli bir şekilde değiştirmeliydi. Oysa May, nonlineer bir sistemin genel eğilimi azalma yönünde olsa bile ara sıra beklenmedik ve yüksek artışlar gösterebileceğini savunmaktaydı. İngiltere'de yapılan kızamıkçık ile mücadele programının sonuçları May'i doğrular nitelikteydi. Doktorlar hastalıktaki ani artışları aşı kampanyasının başarısızlığı olarak yorumlayıp yeni aşı araştırmaları yapmaktaydılar. May, bu durumun aşıların başarısızlığı değil, sistemin genel karakteri olduğunu göstermiştir.

Temel Tanımlar

• $X^{\prime }=f(X)$ şeklinde tanımlanmış bir dinamik sistem olsun. Bu dinamik sistemin çözümlerinin kümesinin geometrik olarak temsil edilişine sistemin faz portresi denir.
• $f:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ şeklinde tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Bir $x_F\in \mathrm{\Omega }$ elemanı alalım. Eğer $ℝ\to {ℝ}^n,t\mapsto x_F$ sabit fonksiyonu $X^{\prime }=f(X)$ dinamik sisteminin bir çözümü ise $x_F$ bu sistemin bir denge noktasıdır.
• $X^{\prime }=f(X)$ dinamik sistemini düşünelim. $x_F\in {ℝ}^n$ elemanının bu sistemin bir denge noktası olduğunu varsayalım.
• $F_a(X):{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ bir $a$ parametresine bağlı olan bir fonksiyon olsun ve $\frac{dX}{dt}=F_a(X)$ şeklinde tanımlanmış bir dinamik sistem düşünelim. Bir bifurkasyon, $a$ parametresi çeşitli değerler aldığında sistemin faz portresinde meydana gelen topolojik bir değişikliği tanımlar.

Dış bağlantılar

• Kaos sunumu
• The Logistic Map and Chaos by Elmer G. Wiens