Logaritmik dışbükey fonksiyon

Matematikte logaritma fonksiyonu ile bileşkesi dışbükey olan fonksiyonlara logaritmik dışbükey veya log dışbükey fonksiyon denir; daha matematiksel bir ifadeyle, verilmiş bir $f$ fonksiyonu için $\log f$ dışbükey bir fonksiyonsa, o zaman $f$ logaritmik dışbükey fonksiyondur.

Tanım

Şablon:Math gerçel bir vektör uzayınının dışbükey bir altkümesi olsun. Şablon:Math ise negatif olmayan değerler alan bir fonksiyon olsun. O zaman,

• $\log \circ f$ dışbükeyse, Şablon:Math logaritmik dışbükeydir.
• $\log \circ f$ kesin dışbükeyse, Şablon:Math kesin logaritmik dışbükeydir.

Burada, $\log 0$ değeri $-\mathrm{\infty }$ olarak alınmıştır. Daha matematiksel bir ifadeyle açıkça yazmak gerekirse, Şablon:Math fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak Şablon:Math ve her Şablon:Math için aşağıdaki eşitsizlikleri sağlaması ile mümkündür:

$\begin{array}{cc}\log f(t{x}_1+(1-t)x_2)& \le t\log f(x_1)+(1-t)\log f(x_2),\\ f(t{x}_1+(1-t)x_2)& \le f(x_1{)}^{t}f(x_2{)}^{1-t}.\end{array}$

Benzer bir şekilde, Şablon:Math fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki eşitsizliklerin bütün Şablon:Math için eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.

Yukarıdaki tanıma göre, Şablon:Math sıfır değer alabilir. Ancak, Şablon:Math logaritmik dışbükeyse ve Şablon:Math kümesi içindeki herhangi bir noktada 0 değeri alıyorsa, o zaman Şablon:Mathin içindeki her noktada sıfır değeri almak zorundadır.

Denk koşullar

Eğer Şablon:Math bir Şablon:Math aralığında tanımlanmış ve türevlenebilir bir fonksiyonsa Şablon:Math fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak aşağıdaki eşitsizliğin Şablon:Math'daki her Şablon:Math ve Şablon:Math için sağlanmasıyla mümkündür.

$\log f(x)\ge \log f(y)+\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}(x-y).$

Şablon:Math'daki her Şablon:Math ve Şablon:Math için Şablon:Math varsayıldığında yukarıdaki eşitsizlik şuna denktir:

${\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)}^{\frac{1}{x-y}}\ge e^{\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}}.$

Benzer bir şekilde, Şablon:Math fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki eşitsizliklerin eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.

Eğer Şablon:Math bir Şablon:Math aralığında tanımlanmış ve iki kere türevlenebilir bir fonksiyonsa, Şablon:Math fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak Şablon:Math'daki her Şablon:Math için

$f^{″}(x)f(x)\ge f^{\prime }(x{)}^2$

olması ile mümkündür. Eğer eşitsizlik kâti ise, o zaman Şablon:Math fonksiyonu kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, bunun tersi doğru değildir; yani, Şablon:Math kesin logaritmik dışbükey olup bir Şablon:Math değeri için, $f^{″}(x)f(x)=f^{\prime }(x{)}^2$ olabilir. Örneğin, $f(x)=e^{x^4}$ ise, o zaman, Şablon:Math kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, $f^{″}(0)f(0)=0=f^{\prime }(0{)}^2$ olur.

Ayrıca, $f:I\to (0,\mathrm{\infty })$ fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak $\alpha \in ℝ$ için $e^{\alpha x}f(x)$ fonksiyonunun dışbükey olması ile mümkündür.

Yeterli koşullar

• $f_1,\dots ,f_n$ logaritmik dışbükeyse ve $w_1,\dots ,w_n$ negatif olmayan gerçel sayılarsa $f_1^{w_1}\cdots f_n^{w_n}$ logaritmik dışbükeydir.
• $\{f_i{\}}_{i\in I}$ logaritmik dışbükeylerden oluşan bir aile ise, o zaman, $g=\underset{i\in I}{\sup }{f}_i$ logaritmik dışbükeydir.
• $f:X\to I\subseteq 𝐑$ dışbükeyse ve $g:I\to {𝐑}_{\ge 0}$ logaritmik dışbükey ve azalmayan bir fonksiyonsa, o zaman $g\circ f$ logaritmik dışbükeydir.

Özellikler

Logaritmik dışbükey bir fonksiyon $f$, artan dışbükey fonksiyon $e^x$ ile tanım gereği dışbükey olan $\log \circ f$ fonksiyonun bileşkesi olduğundan dışbükey bir fonksiyon olur. Ancak, tersi durum her zaman geçerli değildir ve logaritmik dışbükeylik olağan dışbükeylikten daha kesin ve güçlü bir özelliktir. Örneğin, $f(x)=x^2$ dışbükeydir ama $\log f(x)=2\log |x|$ dışbükey değildir.

Örnekler

• $f(x)=\exp (|x{|}^p)$ fonksiyonu $p\ge 1$ iken logaritmik dışbükeydir ve $p>1$ iken kesin logaritmik dışbükeydir.
• $f(x)=\frac{1}{x^p}$ fonksiyonu $(0,\mathrm{\infty })$ üzerinde bütün $p>0$ için kesin logaritmik dışbükeydir.
• Euler gama fonksiyonu pozitif gerçel sayılar üzerine kısıtlandığında kesin logaritmik dışbükeydir. Aslında, bu özellik, Bohr-Mollerup teoremi ile Euler gama fonksiyonunu karakterize etmek için kullanılan şartlardan biridir.

Ayrıca bakınız

• Logaritmik içbükey fonksiyon