Askey-Gasper eşitsizliği

Askey-Gasper eşitsizliği, Richard Askey ile George Gasper tarafından 1976'da ispatlanan, bir Jacobi polinomu eşitsizliğidir. Bieberbach varsayımının kanıtlanmasında kullanılmıştır.

İfade

Eğer β ≥ 0, α + β ≥ −2 ve −1 ≤ x ≤ 1 ise,

\sum_{k = 0}^{n} \frac{P_{k}^{(α, β)} (x)}{P_{k}^{(β, α)} (1)} \geq 0

eşitsizliği yazılır. Burada

P_{k}^{(α, β)} (x)

bir Jacobi polinomudur.

β=0 drumunda şu şekilde yazılabilir:

_{3} F_{2} (- n, n + α + 2, (α + 1) / 2; (α + 3) / 2, α + 1; t) > 0

(0≤t<1, α>–1 için)

α'nın negatif olmayan bir tam sayı olduğu eşitsizliğin bu biçimi, Louis de Branges tarafından Bieberbach varsayımının ispatlanmasında kullanılmıştır.

Shalosh B. Ekhad 1993'te eşitsizliğe kısa bir kanıt sunmuştur.

\begin{matrix} \frac{(α + 2)_{n}}{n!} & \times_{3} F_{2} (- n, n + α + 2, \frac{1}{2} (α + 1); \frac{1}{2} (α + 3), α + 1; t) = \\ = \frac{{(\frac{1}{2})}_{j} {(\frac{α}{2} + 1)}_{n - j} {(\frac{α}{2} + \frac{3}{2})}_{n - 2 j} (α + 1)_{n - 2 j}}{j! {(\frac{α}{2} + \frac{3}{2})}_{n - j} {(\frac{α}{2} + \frac{1}{2})}_{n - 2 j} (n - 2 j)!} \times_{3} F_{2} (- n + 2 j, n - 2 j + α + 1, \frac{1}{2} (α + 1); \frac{1}{2} (α + 2), α + 1; t) \end{matrix}