İç içe kökler

Matematikte iç içe kökler kök içinde köklü ifadelerin bulunması durumudur.

İç içe sonsuz kökler

$a{x}^n+bx+c=0$ genel denklemi için:

$a{x}^n=-bx-c\Rightarrow x^n=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}$ yandaki denklemde her iki tarafın n dereceden kökü alınırsa $x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x}$ şeklinde düzendi.

$x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x}$ denkleminde sol tarafta x ve sağ tarafta kökün içinde x vardır. Her ikisi de x tir. Sol taraftaki x kök içindeki kökün içine bir defa yazılırsa $x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x}}$ olur.

İki defa yazılırsa $x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x}}}$ olur. Burada -x/a ve -b/a şeklinde bir tekrarlanma var.

Sol taraftaki x kök içindeki kökün sonsuz defa yazılırsa :$x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}$ şeklinde bir içe sonsuz kökler meydana gelir. İç içe sonsuz köklerin kaynağı buradan gelmektedir.

Bunun tersi de doğrudur. Birinci kökün içindeki -b/a nın çarpım durumunda olan köklü ifadeye $x$ denilirse $a{x}^n+bx+c=0$ elde edilir.

Çünkü : $x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}$ içe içe sonsuz kökün her tarafın n ninci kuvveti alınırsa $x^n=-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}\Rightarrow -x^n-\frac{c}{a}=\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}$
şeklinde olur işleme devam edilirse $\frac{b}{a}[-x^n-\frac{c}{a}]=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}$ oldu sağ taraftaki ifade zaten x e eşitti. $\frac{b}{a}[-x^n-\frac{c}{a}]=x$ ve ispat tamamlanmış olur.

Genel Sonuç : $a{x}^n+bx+c=0\Rightarrow x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}$ dir.

Eğer denklem $a{x}^n+bx=0$ şeklinde ise : Burada c sabit sayısı yoktur.

$a{x}^n=-bx\Rightarrow x^n=-\frac{b}{a}x\Rightarrow x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}x}$ şekline dönüşür. Sol taraftaki x kök içindeki x yerine bir defa yazılırsa $x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}x}}$ olur. İki defa yazılırsa $x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}x}}}$ şeklinde olur. Burada içe içe kök içinde -b/a lar devam eder. Bu işlem sonsuz defa uygulanırsa iç içe sonsuz kökler meydana gelir. $x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{.}..}}}$ şeklinde sonsuza gider. Bunun tersi de doğrudur.

Tersi için $x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{.}..}}}$ denkleminin her iki tarafının n dereceden kuvveti yani üssü alınırsa $x^n=-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{.}..}}$ devam edilirse $-\frac{a}{b}{x}^n=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{.}..}}$ bu denklemde ise sağ taraf x e eşitti. $\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{.}..}}$ yerine x yazılırsa $-\frac{a}{b}{x}^n=x$ olur. Bu denklem düzenlenirse $a{x}^n+bx=0$ denklemi elde edilir. $a{x}^n+bx=0$ denkleminde $x^n=-\frac{b}{a}x\Rightarrow x^{n-1}=-\frac{b}{a}\Rightarrow x=\sqrt[n-1]{-\frac{b}{a}}$ Şimdi iç içe köklü ifadelerin içindeki ikinci köklü ifadeye neden x denildiği ispatlandı.

Genel Sonuç 2 : $a{x}^n+bx=0\Rightarrow x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{.}..}}}$ ve $-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{.}..}}=\sqrt[n-1]{-\frac{b}{a}}$ olur.

Genel Sonuç 2 için ikinci yol: $x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}$ bu ifadede c=0 alınırsa sonuç 2 : yine elde edilir. Çünkü c=0 olması durumunda $a{x}^n+bx+c=0$ denkleminde artık sabit sayı olmaz.

$x=\sqrt[n]{-\frac{0}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{0}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{0}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}\Rightarrow x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{.}..}}}$ şeklinde olur.

Bölüm durumundaki iç içe sonsuz kökler

İspatlar dan sonra bir ispat daha

$x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}}$ şeklinde gösterilen iç içe kökler denir. $m=x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}}$ işlemin sonucuna m denilirse $m=x\sqrt[n]{y:m}$ şeklinde bir denkleme dönüşür. (Çünkü ikinci köklü ifadede sezgisel olarak m ye eşit oluyor.İspatı yukarıda yapıldı) $m=x\sqrt[n]{y:m}\Rightarrow m^n=x^{n}y:m$ olur işleme devam edilirse $m^{n}m=x^{n}y\Rightarrow m^{n+1}=x^{n}y$ eşit olur. Her iki tarafın $n+1$ dereceden kökü alınırsa $m=\sqrt[n+1]{x^{n}y}$ eşit olur. $m=x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}}$ eşitti. O zaman $\sqrt[n+1]{x^{n}y}=x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}}$ eşitliğinde doğrudur.

Genel sonuç 3

$\sqrt[n+1]{x^{n}y}=x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}}$

İkinci dereceden denklemin iç içe köklerle ilişkisi

Yukarıda ispatlar yapıldı. Genel iç içe kökler oluşturuldu.

$a{x}^n+bx+c=0$ denkleminde $x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}$ eşitti. $n=2$ alınması durumunda $a{x}^2+bx+c=0$ denklemi ve $x=\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{...}}}}$ oluşur.

Sonuç olarak $a{x}^n+bx+c=0\Rightarrow x=\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{...}}}}$ eşittir.

İkinci dereceden denklemin bir kökü $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ dır. O zaman x ler aynı olduğundan eşitleme yapılır. $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{...}}}}$ eşitliği yazılabilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta iç içe köklü ifadenin pozitif bir sonucu olması. Negatif sonuçlar çözüm kümesine alınamaz. (Bir ispat daha yapıldı.)

İkinci dereceden denklemde sabit sayı yok ise :

$a{x}^2+bx=0$ şeklinde bir denklem oluşur. Yandaki denklem $a{x}^n+bx=0$ denkleminin $n=2$ için özel bir durumudur. $a{x}^n+bx=0$ denkleminde $x=\sqrt[n-1]{-\frac{b}{a}}$ eşitti. Burada $n=2$ için

$a{x}^2+bx=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$ olur. x ler eşit olduğundan dolayı $-\frac{b}{a}=\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{.}..}}}$ eşitliği yazılabilir.

Sonuç 1

$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{...}}}}$ eşittir.

$-\frac{b}{a}=r$ ve $-\frac{c}{a}=p$ dönüşümleri yapılırsa: $\frac{ar+\sqrt{(ar{)}^2+4p{a}^2}}{2a}=\sqrt{p+r\sqrt{p+r\sqrt{p+r\sqrt{...}}}}$ işleme devam edilirse $\frac{ar+\sqrt{(ar{)}^2+4p{a}^2}}{2a}=\frac{ar+a\sqrt{(r{)}^2+4p}}{2a}=\frac{r+\sqrt{r^2+4p}}{2}$

$\sqrt{p+r\sqrt{p+r\sqrt{p+r\sqrt{...}}}}=\frac{r+\sqrt{r^2+4p}}{2}$ eşitliğine dönüşür. Daha da düzenlisi her iki tarafı $r$ ile çarpılırsa iç içe Karekökler genel sonucu $r\sqrt{p+r\sqrt{p+r\sqrt{p+r\sqrt{...}}}}=\frac{r^2+r\sqrt{r^2+4p}}{2}$ olur. Burada $r>0$ olduğuna dikkat ediniz.

Sonuç 2

$-\frac{b}{a}=\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{.}..}}}$

$-\frac{b}{a}=r$ dönüşümü yapılırsa: $r=\sqrt{r\sqrt{r\sqrt{r\sqrt{.}..}}}$ olur.

İç içe kökler

$\sqrt[a]{y_1+\sqrt[b]{y_2+\sqrt[c]{y_3}+...+\sqrt[m]{y_q}}}$,

$\sqrt[r]{m+\sqrt[n]{u}+\sqrt[q]{a}}$ şeklinde olan köklere iç içe kökler denir.

Kökler üssü ifadelerin kesirli biçimidir.

${[(a{)}^b]}^c=a^{bc}$ şeklindeki ifade üssü sayıların bir özelliğidir. İç içe köklerde aynı şekildedir. Kök sembolü aslında kesirli üsler için özel bir parantezdir. Aslında aynılar.

En önemli özelliği : $\sqrt[a]{p}=p^{\frac{1}{a}}$ bu ifade köklü ifadeleri ve üslü ifadeleri birbirine bağlayan bir eşitliktir. Bu özellikten yola çıkarak $\sqrt[r]{\sqrt[v]{\sqrt[w]{n}}}$ şeklindeki ifadeyi üssü ifadeye çevirmek mümkün.

$\sqrt[r]{\sqrt[v]{\sqrt[w]{n}}}$ burada ilk olarak $\sqrt[w]{n}=n^{\frac{1}{w}}$ şeklinde olur. Devam edilirse $\sqrt[r]{\sqrt[v]{n^{\frac{1}{w}}}}$ aynı şekilde $\sqrt[v]{n^{\frac{1}{w}}}=[n^{\frac{1}{w}}{]}^{\frac{1}{v}}$ şeklinde olur.${[(a{)}^b]}^c=a^{bc}$ özelliği uygulanırsa $n^{\frac{1}{wv}}$ olur.

Sıra $n^{\frac{1}{wv}}$ ifadesinde $\sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}}$ biçimine dönüşür. Bu da aynı şekilde $\sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}}=[n^{\frac{1}{wv}}{]}^{\frac{1}{r}}$ olur.Aynı özellik uygulanırsa $\sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}}=[n^{\frac{1}{wv}}{]}^{\frac{1}{r}}=n^{\frac{1}{wvr}}$ sonucuna ulaşılır. $n^{\frac{1}{wvr}}$ ifadesi $\sqrt[\frac{1}{wvr}]{n}$ formundada yazılabilir.

Sonuç

$n^{\frac{1}{wvr}}=\sqrt[r]{\sqrt[v]{\sqrt[w]{n}}}=\sqrt[\frac{1}{wvr}]{n}$

A-) $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ köklü ifadesi için $\sqrt{a}+\sqrt{b}=x$ denilirse her iki tarafın karesi alınırsa $a+b+2\sqrt{ab}=x^2$ şekline dönüşür.

$a+b+2\sqrt{ab}=x^2$ ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=x$ şeklinde olur. $\sqrt{a}+\sqrt{b}=x$ denilmişti. O zaman $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ eşitliği olur.

Sonuç

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

B-)

$\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ ise $\sqrt{a}-\sqrt{b}=x$ denilirse her iki tarafın karesi alınırsa $a+b-2\sqrt{ab}=x^2$ şekline dönüşür.

$a+b-2\sqrt{ab}=x^2$ ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=x$ şeklinde olur. $\sqrt{a}-\sqrt{b}=x$ denilmişti. O zaman $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ eşitliği olur.

Sonuç

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Not: Bu işlemler ispata dayalıdır. İçerisinde ezbere dayalı bir işlem yoktur. Tamamen mantık üzerinedir.