Tam diferansiyel denklem

Tam diferansiyel denklem veya Sağın diferansiyel denklem fizikte ve mühendislikte sıklıkla kullanılan bir tür adi diferansiyel denklemdir.

Tanım

R²'nin içinde tanımlı basit bağlantılı ve açık bir uzay D için ve D üzerinde sürekli olan iki I ve J fonksiyonu için birinci dereceden adi diferansiyel implisit form:

$I(x,y)\mathrm{d}x+J(x,y)\mathrm{d}y=0,$

ile belirtilen denklemler tam diferansiyel denklem adını alır eğer

$\frac{\partial F}{\partial x}=I$

ve

$\frac{\partial F}{\partial y}=J.$

şeklinde belirtilen sürekli türevlenebilir F fonksiyonu (potansiyel fonksiyon) tanımlanmışsa.

"Tam diferansiyel denklem" terimi tam türevi alınmış bir fonksiyona işaret eder. $F(x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n)$ fonksiyonu için $x_0$'e göre tam ya da sağın türev:

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}{x}_0}.$

şeklindedir.

Örnek

$F:{ℝ}^2\to ℝ$ şeklinde tanımlanmış

$F(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$

F fonksiyonu

$x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y=0.$

diferansiyel denklemi için potansiyel fonksiyondur.

Kaynakça

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8