Pascal özdeşliği

testwiki sitesinden

04.33, 28 Temmuz 2024 tarihinde imported>İmmoBot tarafından oluşturulmuş 2057 numaralı sürüm (→top: dz.)

(fark) ← Önceki sürüm | Güncel sürüm (fark) | Sonraki sürüm → (fark)

Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Şablon:Kaynaksız Şablon:Öksüz Şablon:Karıştırma Matematikte, Pascal özdeşliği binom katsayılarıyla ilgili kombinasyonel bir özdeşliktir. Bu özdeşliğe göre her n doğal sayısı için,

(\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}) = (\binom{n}{k}) for 1 \leq k \leq n

burada $(\binom{n}{k})$ binom katsayısı olarak adlandırılır. Pascal özdeşliği şu şekilde de yazılabilir:

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) = (\binom{n + 1}{k}) for 1 \leq k \leq n + 1

Cebirsel ispat

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) = (\binom{n + 1}{k}) .

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) & = \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} \\ = n! [\frac{n + 1 - k}{k! (n + 1 - k)!} + \frac{k}{k! (n + 1 - k)!}] \\ = \frac{n! (n + 1)}{k! (n + 1 - k)!} = (\binom{n + 1}{k}) \end{matrix}

Genel hali

Eğer $n, k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{p}, p \in ℕ^{*}$ ve $n = k_{1} + k_{2} + k_{3} + \dots + k_{p}$ . Öyleyse,

\begin{matrix} (\binom{n - 1}{k_{1} - 1, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{p}}) + (\binom{n - 1}{k_{1}, k_{2} - 1, k_{3}, \dots, k_{p}}) + \dots + (\binom{n - 1}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{p} - 1}) \\ = \frac{(n - 1)!}{(k_{1} - 1)! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} + \frac{(n - 1)!}{k_{1}! (k_{2} - 1)! k_{3}! \dots k_{p}!} + \dots + \frac{(n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots (k_{p} - 1)!} \\ = \frac{k_{1} (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} + \frac{k_{2} (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} + \dots + \frac{k_{p} (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} = \frac{(k_{1} + k_{2} + \dots + k_{p}) (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} \\ = \frac{n (n - 1)!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{p}!} = (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{p}}) . \end{matrix}

Ayrıca bakınız

Pascal üçgeni

"https://tr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Pascal_özdeşliği&oldid=2057" sayfasından alınmıştır