Hankel dönüşümü

Matematikte Hankel dönüşümü, diğer adıyla Fourier–Bessel dönüşümü, herhangi bir f(r) fonksiyonunu sonsuz sayıda birinci tip Bessel fonksiyonlarının Şablon:Math oranlı toplamı olarak gösterir. Bu dönüşümde ortogonal temeli oluşturan Bessel fonksiyonlarının hepsi aynı ν mertebesindedir. Bu integral dönüşümü ilk kez matematikçi Hermann Hankel tarafından tasvir edilmiştir. Formülü ve ters dönüşümü sırasıyla şu şekilde verilebilir:

$F_{\nu }(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)J_{\nu }(kr)r\mathrm{d}r$

$f(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\mathrm{d}k$

Fourier dönüşümü ile Fourier serisi arasındaki ilişkinin benzeri Hankel dönüşümü ile Fourier-Bessel serisi arasında da vardır. Hankel dönüşümü iki boyutlu Fourier dönüşümünün dairesel olarak simetrik bir versiyonu olarak düşünülebilir; bu nedenle bu dönüşüm fizik ve mühendislikte silindirik veya dairesel simetrinin bulunduğu birçok problemde kullanılır.

Dönüşüm tablosu

Bazı yaygın Hankel dönüşümleri şu şekilde gösterilebilir:

$f(r)$	$F_0(k)$
$1$	$\frac{\delta (k)}{k}$
$\frac{1}{r}$	$\frac{1}{k}$
$r$	$-\frac{1}{k^3}$
$r^3$	$\frac{9}{k^5}$
$r^m$	$\frac{2^{m+1}\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2}+1)}{k^{m+2}\mathrm{\Gamma }(-\frac{m}{2})},-2<\mathrm{\Re }(m)<-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}$	$\frac{e^{-k|z|}}{k}$
$\frac{1}{z^2+r^2}$	$K_0(kz),z\in 𝐂$
$\frac{e^{iar}}{r}$	$\frac{i}{\sqrt{a^2-k^2}},a>0,k<a$
	$\frac{1}{\sqrt{k^2-a^2}},a>0,k>a$
$e^{-\frac{1}{2}{a}^2{r}^2}$	$\frac{1}{a^2}{e}^{-\frac{k^2}{2a^2}}$
$\frac{1}{r}{J}_0(lr)e^{-sr}$	$\frac{2}{\pi \sqrt{(k+l{)}^2+s^2}}K\left(\sqrt{\frac{4kl}{(k+l{)}^2+s^2}}\right)$
$-r^{2}f(r)$	$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_0}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_0}{\mathrm{d}k}$

$f(r)$	$F_{\nu }(k)$
$r^s$	$\frac{2^{s+1}}{k^{s+2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(2+\nu +s))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(\nu -s))}$
$r^{\nu -2s}\mathrm{\Gamma }(s,r^{2}h)$	$\frac{1}{2}{\left(\frac{k}{2}\right)}^{2s-\nu -2}\gamma (1-s+\nu ,\frac{k^2}{4h})$
$e^{-r^2}{r}^{\nu }U(a,b,r^2)$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(2+\nu -b)}{2\mathrm{\Gamma }(2+\nu -b+a)}{\left(\frac{k}{2}\right)}^{\nu }{e}^{-\frac{k^2}{4}}{}_1{F}_1(a,2+a-b+\nu ,\frac{k^2}{4})$
$r^n{J}_{\mu }(lr)e^{-sr}$	Eliptik integraller ile gösterilebilir.
$-r^{2}f(r)$	$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_{\nu }}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_{\nu }}{\mathrm{d}k}-\frac{{\nu }^2}{k^2}{F}_{\nu }$

Ayrıca bakınız

• Hankel matrisi
• Laplace dönüşümü