Bretschneider formülü

Şablon:Ortala

Geometride, Bretschneider formülü, genel bir dörtgen verildiğinde, dörtgenin kenarları ve karşı açıları ile dörtgenin alanı arasındaki ilişkiyi gösteren bir ifadedir.

Açıklama

Bretschneider formülü, genel bir dörtgen alanı için aşağıdaki şekilde ifade edilir:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

$=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{2}abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )]}.$

Burada Şablon:Matematik, Şablon:Matematik, Şablon:Matematik, Şablon:Matematik dörtgenin kenarlarıdır, Şablon:Matematik yarı çevre ve Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik iki zıt açıdır.

Bretschneider formülü, bir çemberin içinde olsun (kirişler dörtgeni) ya da olmasın, herhangi bir dörtgen için geçerlidir.

Alman matematikçi Carl Anton Bretschneider formülü 1842'de keşfetti. Formül aynı yıl Alman matematikçi Karl Georg Christian von Staudt tarafından da elde edildi.

İspat

Dörtgenin alanını Şablon:Matematik ile belirtilsin. O zaman aşağıdaki ifade yazılabilir:

$\begin{array}{cc}K& =\text{area of }\mathrm{△}ADB+\text{area of }\mathrm{△}BDC\\ & =\frac{ad\sin \alpha }{2}+\frac{bc\sin \gamma }{2}.\end{array}$

Bu nedenle

$2K=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .$

$4K^2=(ad{)}^2{\sin }^2\alpha +(bc{)}^2{\sin }^2\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

Kosinüs yasası şunu ifade eder:

$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma ,$

çünkü her iki kenar da Şablon:Matematik köşegeninin uzunluğunun karesine eşittir. Bu aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:

$\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Bunu yukardaki Şablon:Matematik formülüne eklersek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$\begin{array}{cc}4K^2+\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}& =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-2abcd-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-2abcd(\cos (\alpha +\gamma )+1)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd\left(\frac{\cos (\alpha +\gamma )+1}{2}\right)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).\end{array}$

Not: ${\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}=\frac{1+\cos (\alpha +\gamma )}{2}$ (tüm $\frac{\alpha +\gamma }{2}$ değerleri için geçerli bir trigonometrik özdeşliktir.)

Brahmagupta formülündeki adımları takip ederek bu ifade aşağıdaki şekilde yazılabilir:

$16K^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

Yarı çevrenin değeri,

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

olarak alınırsa yukarıdaki ifade aşağıdaki gibi olur:

$16K^2=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

$K^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

ve Bretschneider formülü, her iki tarafın karekökünü aldıktan sonra aşağıdaki gibi eld edilir:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

İlgili formüller

Bretschneider formülü, kirişler dörtgeninin alanı için Brahmagupta formülünü genelleştirir ve bu da bir üçgenin alanı için Heron formülünü genelleştirir.

Dörtgenlerin kirişler dörtgeni olmaması durumunda Bretschneider formülündeki trigonometrik ayarlama, kenarlar ve köşegenler Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik cinsinden trigonometrik olmayan bir şekilde yeniden yazılabilir.

$\begin{array}{cc}K& =\frac{1}{4}\sqrt{4e^2{f}^2-(b^2+d^2-a^2-c^2{)}^2}\\ & =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}.\end{array}$

Kaynakça ve ilave okumalar

• Ayoub B. Ayoub: Ptolemy ve Brahmagupta Teoremlerinin Genelleştirmeleri. Matematik ve Bilgisayar Eğitimi, Cilt 41, Sayı 1, 2007,
• EW Hobson : Düzlem Trigonometrisi Üzerine Bir İnceleme. Cambridge University Press, 1918, ss. 204–205 (çevrimiçi kopya)
• CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, s. 225-261 (çevrimiçi kopya, Almanca Şablon:Webarşiv)
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, ss. 323-326 (çevrimiçi kopya, Almanca Şablon:Webarşiv)
• Bajgonakova, G.A. & Mednykh, Alexander. (2012). On Bretschneider’s formula for a hyperbolic quadrilateral. Matematicheskie Zametki YAGU. 1.
• Garza-Hume, Clara E., Maria C. Jorge, & Arturo Olvera. "Quadrilaterals and Bretschneider's Formula." The Mathematics Teacher 111.4 (2018): 310-314. JSTOR, www.jstor.org/stable/10.5951/mathteacher.111.4.0310.
• Park, K. S. (2006). A Study on the Design of Teaching Units for Teaching and Learning of Secondary Preservice Teachers' Mathematising: Reinvention of Bretschneider's Formula. School Mathematics, 8(3), 327-339.

Dış bağlantılar

• Şablon:MathWorld
• Bretschneider's formula Şablon:Webarşiv at proofwiki.org
• Bretschneider's formula Şablon:Webarşiv at artofproblemsolving