Finsler–Hadwiger teoremi

Şablon:Ortala

Finsler–Hadwiger teoremi, bir tepe noktasını paylaşan herhangi iki kareden türetilen üçüncü bir kareyi tanımlayan Öklid düzlem geometrisindeki ifadedir. Teorem adını, üçgenin kenar uzunlukları ve alanıyla ilgili Hadwiger-Finsler eşitsizliğini yayınladıkları makalenin bir parçası olarak 1937'de yayınlayan Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger'den almıştır.

Açıklama

Teoremi ifade etmek için, $◻ABCD$ ve $◻A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D$'nin ortak tepe noktasına sahip iki kare olduğunu varsayalım. $E$ ve $G$, sırasıyla $B^{\prime }D$ ve $D^{\prime }B$ doğrularının orta noktaları ve $F$ ve $H$, iki karenin merkezi olsun. Daha sonra teorem, $◻EFGH$ dörtgenin de bir kare olduğunu belirtir.

$◻EFGH$ karesine, verilen iki karenin Finsler-Hadwiger karesi denir.

Uygulaması

Finsler–Hadwiger teoreminin tekrarlanan uygulaması, keyfi bir dörtgenin kenarlarına inşa edilmiş dört kareden oluşan merkezler aracılığıyla parçaların uygunluğu ve dikliği üzerinde Van Aubel teoremini kanıtlamak için kullanılabilir. Her bir ardışık kare çifti, teoremin bir örneğini oluşturur ve bu örneklerin iki karşıt Finsler-Hadwiger karesi çifti, aynı türetilmiş kareye sahip teoremin diğer iki örneğini oluşturur.

İspat

1. $◻ABCD$ ve $◻A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ kareleri, şekil (a)'da gösterildiği gibi ortak bir $A$ tepe noktasını paylaşsın. Daha sonra, orijinal karelerin $S$ ve $Q$ merkezleri ile birlikte $B^{\prime }D$ ve $B{D}^{\prime }$ segmentlerinin orta noktaları $P$ ve $R$, başka bir $◻PQRS$ karesinin köşeleridir.

2. $◻ABCD$ ve $◻A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ karelerinin $BD$ ve $B^{\prime }{D}^{\prime }$ köşegenlerini şekil (b)'de gösterildiği gibi çizin. O halde $PQRS$, gölgeli dörtgen $BD{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ ile ilişkili Varignon paralelkenarıdır.

3. $PQRS$'nin bir kare olduğunu göstermek için, $BD{B}^{\prime }{D}^{\prime }$'nün $B{B}^{\prime }$ ve $D{D}^{\prime }$ çizgili köşegenlerinin dikey ve eşit uzunlukta olduğunu göstermemiz gerekir. Şekil (c), $BA=DA$, $B^{\prime }A=D^{\prime }A$, $\mathrm{\angle }BA{B}^{\prime }=\mathrm{\angle }DA{D}^{\prime }$ olduğunu ve böylece $\mathrm{△}BA{B}^{\prime }\cong \mathrm{△}DA{D}^{\prime }$ olduğunu göstermektedir. Böylece $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$. Ancak $BA\perp DA$ ve $B^{\prime }A\perp D^{\prime }A$; dolayısıyla $B{B}^{\prime }\perp D{D}^{\prime }$'dir.

Konuyla ilgili yayınlar

• Fisher, J. C., Ruoff, D., & Shilleto, J. (1981). Polygons and polynomials. In The Geometric Vein (ss. 321-333). Springer, New York, NY.
• Detemple, D., & Harold, S. (1996). A round-up of square problems. Mathematics Magazine, 69(1), ss. 15-27.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, s. 125 (books.google.de Şablon:Webarşiv).
• Frizta Edius & Vina Setiawaty, (2019), Expansion of Finsler-Hadwiger Theorem, Paya Lebar Methodist Girls’ School (Secondary), A project presented to the Singapore Mathematical Project Festival, Proje RaporuŞablon:Ölü bağlantı

Dış bağlantılar

• Şablon:MathWorld
• finsler-hadwiger theorem (Video, 3:55 dk)
• A Problem of Hinged Squares, What is it? A Mathematical Droodle Şablon:Webarşiv @cut-the-knot.org
• Triangle with Squares 4: Finsler Hadwiger Theorem Şablon:Webarşiv @gogeometry.com
• A problem based on the Finsler-Hadwiger theorem @geogebra