Hadwiger–Finsler eşitsizliği

Matematikte Hadwiger–Finsler eşitsizliği, Öklid düzlemindeki üçgen geometrisinin bir sonucudur. Düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ ve alanı $T$ ile gösterilirse, o zaman

$a^2+b^2+c^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}T\text{(HF)}.$

İlgili eşitsizlikler

• Weitzenböck eşitsizliği, Hadwiger–Finsler eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur: düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ ve alanı $T$ ile gösterilirse, o zaman

$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}T\text{(W)}.$

Weitzenböck eşitsizliği, Heron formülü kullanılarak da kanıtlanabilir; bu yolla, (W) için eşitliğin ancak ve ancak eğer üçgen bir eşkenar üçgen ise, yani $a=b=c$ için geçerli olduğu görülür.

• Dörtgen için bir versiyon: $ABCD$, uzunlukları $a$, $b$, $c$, $d$ ve alanı $T$ ile gösterilen dışbükey bir dörtgen olsun, sonra:

$a^2+b^2+c^2+d^2\ge 4T+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\sum (a-b{)}^2$ sadece bir kare için eşitlikle sonuçlanır.

Burada; $\sum (a-b{)}^2=(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(a-d{)}^2+(b-c{)}^2+(b-d{)}^2+(c-d{)}^2$

İspat

Kosinüs yasasından aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$\alpha$, $b$ ve $c$ arasındaki açı olsun. Bu aşağıdaki ifadeye dönüştürülebilir:

$a^2=(b-c{)}^2+2bc(1-\cos \alpha ).$

$A=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$ olduğundan;

$a^2=(b-c{)}^2+4A\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$'dir.

$1-\cos \alpha =2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$

ve

$\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$

olduğunu hatırlarsak, bunları kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde edebiliriz;

$a^2=(b-c{)}^2+4A\tan \frac{\alpha }{2}.$

Bunu üçgenin her kenarı için yaparak ve taraf tarafa toplayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$a^2+b^2+c^2=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4A(\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}).$

$\beta$ ve $\gamma$ üçgenin diğer açılarıdır. Şimdi, üçgenin açılarının yarısı $\frac{\pi }{2}$'den küçük olduğundan, $\tan$ fonksiyonu dışbükeydir:

$\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\ge 3\tan \frac{\alpha +\beta +\gamma }{6}=3\tan \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}.$

Bunu kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$a^2+b^2+c^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4A\sqrt{3}.$

Bu da Hadwiger–Finsler eşitsizliğidir.

Tarihçe

Hadwiger–Finsler eşitsizliğine, Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger yaptıkları çalışma (Şablon:Harvs) sonrası adını vermiştir, aynı makalede, bir tepe noktasını paylaşan diğer iki kareden türetilen bir kare üzerinde Finsler–Hadwiger teoremini de yayınladılar.

Eşitsizliğin genelleştirilmesi

1. Eğer $a$, $b$, $c$ ve $d$ bir dörtgenin dört kenarıysa ve $S$ alanı ise, o zaman

$a^2+b^2+c^2+d^2\ge 4S$'dir.

Eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir kare ise doğrudur.

2. Eğer $L_1$, $L_2$, ……, $L_n$ n kenarlı şeklin kenar uzunlukları ve $S$ alanı ise, o zaman

$L_1^2+L_2^2+$……$L_n^2\ge 4S\tan \frac{\pi }{n}(n\ge 3)$'dir.

Eşitlik, ancak ve ancak n-kenarlı şekil eş kenarlı bir n-kenarlı şekil ise doğrudur.

Ayrıca bakınız

• Üçgen eşitsizlikleri listesi
• Eşçevre eşitsizliği

Kaynakça

• Şablon:Akademik dergi kaynağı
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, Şablon:ISBN, pp. 84-86 Şablon:Webarşiv

Dış bağlantılar

• Şablon:PlanetMath
• Şablon:PlanetMath

Konuyla ilgili yayınlar

• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak