Zincir kuralı (istatistik)

Olasılık teorisinde, zincir kuralı (genel çarpım kuralıŞablon:Kdn olarak da adlandırılır), yalnızca koşullu olasılıkları kullanarak bir rassal değişkenler kümesinin ortak dağılımının herhangi bir üyesinin hesaplanmasına izin verir. Kural, koşullu olasılıklar açısından bir olasılık dağılımını tanımlayan Bayes ağları çalışmasında kullanışlıdır.

Olaylar için zincir kuralı

İki olay

$A$ ve $B$ iki rassal olay olmak üzere zincir kuralı,

$P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)$ .

Örnek

$\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(B\mid A)\mathrm{P}(A)=2/3\times 1/2=1/3$ .

İkiden fazla olay

$A_1,\dots ,A_n$ ikiden fazla olay olmak üzere,

$\mathrm{P}(A_n\cap \dots \cap A_1)=\mathrm{P}(A_n|A_{n-1}\cap \dots \cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_{n-1}\cap \dots \cap A_1)$

Tümevarımla şuna ulaşılır:

$\mathrm{P}(A_n\cap \dots \cap A_1)=\prod _{k=1}^n\mathrm{P}\left(A_k\right|\bigcap _{j=1}^{k-1}{A}_j)$ .

Dört değişkenli zincir kuralı bu koşullu olasılıkları üretir:

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(A_4\cap A_3\cap A_2\cap A_1)& =\mathrm{P}(A_4\mid A_3\cap A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_3\cap A_2\cap A_1)\\ & =\mathrm{P}(A_4\mid A_3\cap A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_3\mid A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_2\cap A_1)\\ & =\mathrm{P}(A_4\mid A_3\cap A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_3\mid A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_2\mid A_1)\cdot \mathrm{P}(A_1)\end{array}$

Rassal değişkenler için zincir kuralı

İkiden fazla rassal değişken

$X,Y$ iki rassal değişken olmak üzere ortak dağılımı bulmak için koşullu olasılık tanımını uygulanabilir:

$\mathrm{P}(X,Y)=\mathrm{P}(X\mid Y)\cdot P(Y)$

Rassal değişkenlerin indekslenimi $X_1,\dots ,X_n$olmak üzere, ortak dağılımın bu üyesinin değerini bulmak için, koşullu olasılık tanımını uygulanabilir ve şu elde edilir:

$\mathrm{P}(X_n,\dots ,X_1)=\mathrm{P}(X_n|X_{n-1},\dots ,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_{n-1},\dots ,X_1)$

Bu süreci her son terimle tekrarlanırsa şu elde edilir:

$\mathrm{P}\left(\bigcap _{k=1}^n{X}_k\right)=\prod _{k=1}^n\mathrm{P}\left(X_k\right|\bigcap _{j=1}^{k-1}{X}_j)$

Örnek

Dört değişkenli zincir kuralı bu koşullu olasılıkların ürününü üretir:

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(X_4,X_3,X_2,X_1)& =\mathrm{P}(X_4\mid X_3,X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_3,X_2,X_1)\\ & =\mathrm{P}(X_4\mid X_3,X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_3\mid X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_2,X_1)\\ & =\mathrm{P}(X_4\mid X_3,X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_3\mid X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_2\mid X_1)\cdot \mathrm{P}(X_1)\end{array}$

Kaynakça

• Şablon:Kitap kaynağı978-0-8101-1821-8
• Şablon:Kitap kaynağı978-0-8101-1821-8
• Şablon:Russell Norvig 2003978-0-8101-1821-8
• "T978-0-8101-1821-8he Chain Rule of Probability", developerWorks, Nov 3, 2012.