Bochner-Martinelli formülü

Matematikte, Bochner-Martinelli formülü, Cauchy integral formülünün birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlara yönelik genellemelerinden birisidir. Şablon:Harvs ve Şablon:Harvs tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.

Formülün diferansiyel formlara yönelik genellemesi Bochner-Martinelli-Koppelman formülü olarak bilinmektedir.

Tarihçe

Bochner-Martinelli formülünün yayınlandığı ve kanıtlandığı ilk makale Martinelli'ye aittir. Başka bir makalede ise, Martinelli Hartogs teoreminin kanıtını Bochner-Martinelli formülünü kullanarak vermiştir.

Bochner ise 1943'ün nisan ayında yayınlanması için ibraz ettiği makalesinde yer alan ve yine aynı yılın Eylül ayında güncellediği bir dipnotta Formül (53)'ün ve kanıtı bu formüle dayanan Teorem 5'in Enzo Martinelli tarafından (Şablon:Harv) hemen yakın zamanda yayınlandığını söylemektedir. Yine aynı dipnotta, yazarın (yani Bochner'in) bu sonuçları daha önce 1940/41 kış döneminde Princeton'daki doktora seviyesindeki bir derste sunduğu ve Donald C. May tarafından Haziran 1941'de yazılan An integral formula for analytic functions of k variables with some applications başlıklı doktora tezinde yer aldığı kaydedilmiştir. Ancak, Bochner 1947'de yayınladığı bir makalesindeki dipnotta, daha önce Şablon:Harv makalesindeki dipnotta Martinelli'den önce bu formüle aşina olabileceği hakkındaki iddiasının dayanaksız olduğunu ve bu iddiasını geri çektiğini yazmıştır.

Walter Koppelman son yaptığı yayınında Cauchy-Fantappiè çekirdeği ile alakalı mekanizmanın sadece fonksiyonlar için değil diferansiyel formlar için de uyarlanabileceğini göstermiştir.

Bochner–Martinelli çekirdeği

$\zeta ,z\in {ℂ}^n$ için, Bochner–Martinelli çekirdeği Şablon:Math ikili derecesi Şablon:Math olan ve Şablon:Math için aşağıdaki gibi tanımlı bir formdur:

$\omega (\zeta ,z)=\frac{(n-1)!}{(2\pi i{)}^n}\frac{1}{|z-\zeta {|}^{2n}}\sum _{1\le j\le n}({\bar{\zeta }}_j-{\bar{z}}_j)d{\bar{\zeta }}_1\wedge d{\zeta }_1\wedge \cdots \wedge d{\zeta }_j\wedge \cdots \wedge d{\bar{\zeta }}_n\wedge d{\zeta }_n$

Burada, toplamın terimleri Şablon:Math formunu atlar.

$\mathrm{\Omega }$ kümesi $ℂ$ⁿde parçalı düzgün bir sınıra ($b\mathrm{\Omega }$) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki Şablon:Math fonksiyonu $\mathrm{\Omega }$ kümesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bir fonksiyondur. O halde, Bochner-Martinelli formülü şunu ifade eder: $z\in \mathrm{\Omega }$ için

$f(z)=\underset{b\mathrm{\Omega }}{\int }f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\bar{\partial }f(\zeta )\wedge \omega (\zeta ,z).$

• Bu formülü veren teoremler aslında formülden daha fazlasını gösterirler. Bu teorem ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.
• Şablon:Math ayrıca holomorf ise, ikinci integral o zaman sıfıra eşittir ve aşağıdaki bağlantı holomorf fonksiyonlar için yazılabilir.

$f(z)=\underset{b\mathrm{\Omega }}{\int }f(\zeta )\omega (\zeta ,z).$

• Bochner-Martinelli çekirdeği harmoniktir ama $n>1$ için holomorf değildir.

Cauchy çekirdeği

Bochner-Martinelli çekirdeği Cauchy çekirdeğini birden fazla kompleks boyuta taşımaktadır. Gerçekten de $n=1$ alınırsa, o zaman Bochner-Martinelli çekirdeği şu hali alır:

$\omega (\zeta ,z)=\frac{1}{2\pi i}\frac{1}{|z-\zeta {|}^2}(\bar{\zeta }-\bar{z})d\zeta .$

Burada, $|z-\zeta {|}^2=(z-\zeta )(\bar{z}-\bar{\zeta })$ olduğunu gözlemleyip gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra çekirdeğin

$\omega (\zeta ,z)=\frac{1}{2\pi i}\frac{1}{(\zeta -z)}d\zeta$

olduğu görülür ki bu da Cauchy çekirdeğidir. Sonuç olarak, eğer Şablon:Math bir kompleks değişkenli holomorf fonksiyon ise Bochner-Martinelli formülünün yukarıda verilen özel hali Cauchy integral formülüne dönüşür. Yani,

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{b\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta .$

Bochner-Martinelli-Koppelman çekirdeği

$\gamma =\sum _{j=1}^n({\overline{w}}_j-{\overline{z}}_j)d{w}_j$ olsun. O zaman, Bochner–Martinelli-Koppelman çekirdeği $(p,q)$ formları $(1\le q\le n-1)$ için şu şekilde yazılabilir:

$U_q(w,z)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{q})\frac{(-1{)}^{\frac{q(q-1)}{2}}}{(2\pi i{)}^n}\gamma \wedge ({\bar{\partial }}_z\gamma {)}^q\wedge ({\bar{\partial }}_w\gamma {)}^{n-q-1}$

$\mathrm{\Omega }$ kümesi $ℂ$ⁿde parçalı düzgün bir sınıra ($b\mathrm{\Omega }$) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki Şablon:Math, $\mathrm{\Omega }$ bölgesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bileşen fonksiyonları olan $(0,q)$-formu olsun. O halde, Bochner-Martinelli-Koppelman formülü şunu ifade eder: $z\in \mathrm{\Omega }$ için

$f(z)=\underset{b\mathrm{\Omega }}{\int }f(w)\wedge U_q(w,z)-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\bar{\partial }}_{w}f(w)\wedge U_q(w,z)-{\bar{\partial }}_z\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(w)\wedge U_{q-1}(w,z).$

Bu teoremin ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.

Kaynakça

• Şablon:Kaynak(22 Haziran 2010da küçük güncellemeler yapılmıştır).
• Şablon:Kaynak.
• Şablon:Kaynak.
• Şablon:Kaynak.

• Şablon:Kaynak.
• Şablon:Kaynak. SEALS Portal kaynağında mevcut. Şablon:Webarşiv