Fatou-Bieberbach bölgesi

Matematiğin bir dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Fatou-Bieberbach bölgesi, $ℂ^{n}$ e biholomorf gönderim ile denk olan ve $ℂ^{n}$ 'in özalt kümesi olan bölgelere verilen addır. Diğer deyişle,

$Ω ⊊ ℂ^{n}$ ise,
birebir, örten ve holomorf $f : Ω \to ℂ^{n}$ fonksiyonu varsa,
$f^{- 1} : ℂ^{n} \to Ω$ de yine holomorfsa,

o zaman $Ω$ bir Fatou-Biebarbach bölgesidir.

Bu bölgeler, Riemann dönüşüm teoremi sebebiyle karmaşık düzlemde (yani $n = 1$ iken) bulunmaz. O yüzden, bu bölgelerin varlığı, çok değişkenli karmaşık analizi bir değişkenli karmaşık analizden ayıran özelliklerden biridir.

Fatou-Biebarbach bölgesi adını bu tip bölgeleri 1920lerde araştırmış olan Fransız matematikçi Pierre Fatou^[1] ve Alman matematikçi Ludwig Bieberbach'dan^[2] almaktadır. Bu tip bölgelerin araştırması uzun süre kenarda kalmıştır.1980li yıllarda Jean-Pierre Rosay ve Walter Rudin'in makalesi,^[3] dikkatleri bu bölgelerin yeniden araştırılmasına çekmiştir.

Fatou-Bieberbach örnekleri genelde bir $p \in ℂ^{n}$ noktasını sabitleyen bir özeşyapı dönüşümü ve bu dönüşümün bu $p$ noktasındaki çekim havzası aracılığıyla verilir. Burada çekim havzası şu şekilde tanımlanabilir: $F : ℂ^{n} \mapsto ℂ^{n}$ bir $p \in ℂ^{n}$ noktasını sabitleyen (yani $F (p) = p$ ) bir özeşyapı dönüşümüyse, $F^{1} : = F$ ve $j \geq 2$ tam sayıları için $F^{j} : = F \circ F^{j - 1}$ tanımları altında

{z \in ℂ^{n} : \lim_{j \to \infty} F^{j} (z) = p}

kümesine $F$ 'nin $p$ noktasındaki çekim havzası denir. Eğer böyle bir özdönüşümün türevinin $p$ noktasındaki her özdeğerinin modülüsü 1"den küçükse, o zaman $p$ noktasındaki çekim havzası bir Fatou-Bieberbach bölgesi olur.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Şablon:Kaynakça

↑ Fatou, Pierre: "Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certains fonctions uniformes de deux variables." C.R. Paris 175 (1922)
↑ Bieberbach, Ludwig: "Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des $ℛ_{4}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln". Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte (1933)
↑ Rosay, J.-P. and Rudin, W: "Holomorphic maps from $ℂ^{n}$ to $ℂ^{n}$ ". Trans. Amer. Math. Soc. 310 (1988) [1] Şablon:Webarşiv

[1] Fatou, Pierre: "Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certains fonctions uniformes de deux variables." C.R. Paris 175 (1922)

[2] Bieberbach, Ludwig: "Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des $ℛ_{4}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln". Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte (1933)

[3] Rosay, J.-P. and Rudin, W: "Holomorphic maps from $ℂ^{n}$ to $ℂ^{n}$ ". Trans. Amer. Math. Soc. 310 (1988) [1] Şablon:Webarşiv

[1]

[2]

[3]

Fatou-Bieberbach bölgesi

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Gezinti menüsü

Ara