Karmaşık koordinat uzayı

Matematikte, n boyutlu karmaşık koordinat uzayı, kompleks uzay ya da karmaşık uzay, sıralı $n$ tane karmaşık sayıdan oluşan uzaya verilen addır. Bu uzayın elemanlarına karmaşık (kompleks) vektör adı verilir.

Uzay, $n$ tane karmaşık düzlemin Kartezyen çarpımıdır ve ${ℂ}^n$ ile gösterilir; yani, $${ℂ}^n=\{(z_1,\dots ,z_n)\mid z_i\in ℂ\}$$ veya $${ℂ}^n=\underset{n}{\underbrace{ℂ\times ℂ\times \cdots \times ℂ}}.$$ $z_i$ değişkenlerinin her birine karmaşık (kompleks) koordinat denir.

Vektör uzayı

Karmaşık koordinat uzayı karmaşık sayılar üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır ve bu haliyle $n$ boyutludur. Vektör uzayındaki toplama işlemi ve skaler çarpım her bir koordinat için ayrı ayrı yapılır. ${ℂ}^n$deki vektörlerin gerçel ve sanal kısımları, ${ℂ}^n$ ile gerçel koordinat uzayı ${ℝ}^{2n}$ ile birebir ve örten bir ilişki kurar. Bu yüzden, olağan Öklid topolojisi aracılığıyla ${ℂ}^n$ de topolojik vektör uzayı olur.

Koordinattan bağımsız olarak, karmaşık sayılar üzerindeki herhangi bir vektör uzayı, boyutun iki katına çıktığı gerçel bir vektör uzayı olarak düşünülebilir. Buradaki karmaşık yapı, sanal sayı $i$ ile çarpmayı tanımlayan ve $J^2=-I$ özelliğine sahip doğrusal bir $J$ operatörü tarafından belirlenir.

Böylesine tanımlanmış herhangi bir uzay, gerçel bir uzay olarak, yönlendirilmiş uzaydır. Karmaşık düzlem Kartezyen düzlem olarak ele alınırsa, $w=u+iv$ karmaşık sayısıyla çarpma, $u^2+v^2=|w{|}^2$ determinantına sahip

$\left(\begin{array}{cc}u& -v\\ v& u\end{array}\right)$

gerçel matrisiyle temsil edilebilir.

Özel hâl olarak Cⁿ

${ℂ}^n$ üzerinde holomorf koordinat fonksiyonları olduğu için karmaşık manifold olarak da görülebilir. Daha genel olarak, ${ℂ}^n$, bir Stein manifoldu ve hatta Stein uzayı olarak düşünülebilir. ${ℂ}^n$, ayrıca karmaşık projektif varyete, bir Kähler manifoldu vb. olarak da kabul edilebilir.

Holomorfluk kavramı

Çok değişkenli karmaşık analiz birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonları inceleyen bir matematik dalıdır. $n$ boyutlu karmaşık koordinat uzayındaki açık kümeler üzerinde tanımlı bir fonksiyonun holomorf olması için her bir karmaşık değişkende ayrı ayrı holomorf olması yeterli ve gereklidir.

Ayrıca bakınız

• Koordinat uzayı

Diğer kaynaklar

• Şablon:Kaynak