Hermite-Hadamard eşitsizliği

Hermite-Hadamard eşitsizliğinin görsel temsili

Matematikte, Hermite-Hadamard eşitsizliği bazen Hadamard eşitsizliği olarak da adlandırılan ve dışbükey fonksiyonların ortalama değerinin hem aşağıdan hem de yukarıdan kestirimini veren bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, Charles Hermite ve Jacques Hadamard'ın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifâdesi

$f:[a,b]\to ℝ$ dışbükey bir fonksiyon olsun. O zaman,

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Daha genel olarak, $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ sınırlı, dışbükey bir bölge ve $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ dışbükey bir fonksiyon olsun ve aynı zamanda $f{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}\ge 0$ sağlansın. O zaman,

$\frac{1}{|\mathrm{\Omega }|}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx\le \frac{c_n}{|\partial \mathrm{\Omega }|}\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f(y)d\sigma (y)$

olur. Burada, $|\mathrm{\Omega }|$ kümenin Lebesgue hacmi, $|\partial \mathrm{\Omega }|$, $\mathrm{\Omega }$nın topolojik sınırının yüzey alanı, $c_n$ ise sadece boyuta bağlı bir sabittir.