Heston modeli

Finansta ve matematiğin bir alt dalı olan finansal matematikte Heston modeli, bir dayanak varlığın volatilitesinin zamana bağlı hareketini tanımlayan stokastik bir modeldir. Bu modelde, volatilite, Black-Scholes modeli ya da yerel volatilite modelindeki gibi sabit ya da deterministik değildir ve bir rassal süreçtir. Model, bu modeli 1993 yılında yayınlayan. Amerikalı finansçı ve matematikçi Steven Heston'ın adını taşımaktadır.

Varsayımlar

Heston modelinde, $S_t$ ile gösterilen bir varlığın fiyat süreci ve bu sürecin içinde bulunan volatilite süreci $\sqrt{{\nu }_t}$'nin her ikisi de stokastik bir süreci takip eder. Daha ayrıntılı yazmak gerekirse, $S_t$ sürecinin

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sqrt{{\nu }_t}{S}_{t}d{W}_t^S$

stokastik diferansiyel denklemini sağladığı varsayılırken, $\sqrt{{\nu }_t}$ sürecinin aşağıdaki gibi verilen bir stokastik denklemi sağladığı; yani, bir Ornstein-Uhlenbeck sürecini izlediği varsayılır:

$d\sqrt{{\nu }_t}=-\theta \sqrt{{\nu }_t}dt+\delta d{W}_t^{\nu }.$

Burada, $W_t^S,W_t^{\nu }$ ile gösterilenler, aralarındaki korelasyonun $\rho$ olduğu birer Wiener sürecidir; yani, her ikisi de birer Brown hareketidir (sürekli bir rassal yürüyüştür). Itô önsavı kullanılarak, anlık varyans ${\nu }_t$'nin aağıdaki gibi bir Feller karekök süreci ya da CIR sürecini izlediği gösterilebilir:

$d{\nu }_t=\kappa (\theta -{\nu }_t)dt+\xi \sqrt{{\nu }_t}d{W}_t^{\nu }.$

Modelin beş parametresi vardır:

• ${\nu }_0$ başlangıçtaki varyanstır.
• $\theta$, fiyat sürecinin uzun vadedeki ortalama varyansıdır; yani, t sonsuza doğru giderken, ${\nu }_t$'nin beklenen değeri de sıfıra gider.
• $\rho$ daha önce bahsedildiği gibi iki Wiener sürecinin arasındaki korelasyondur.
• $\kappa$ parametresi ${\nu }_t$ sürecinin $\theta$ ortalama değerine dönüş hızıdır.
• $\xi$ ise ${\nu }_t$'nin varyansını belirler ve volatilitenin volatilitesi olarak ifâde edilir.

Eğer parametreler, Feller şartı da denilen,

$2\kappa \theta >{\xi }^2$

eşitsizliğini sağlıyorsa, o zaman, ${\nu }_t$ pozitif olur.

Heston kismi diferansiyel denklemi

Heston modelinde Black-Scholes modelindeki benzer bir argümanla bir kısmi diferansiyel denklem elde edilebilir. Ancak, dikkat edilmesi gereken nokta, Black-Schole modelinde rassallığın bir tane kaynağı varken, Heston modelinde rassallığın iki tane kaynağı vardır.

Black-Scholes modelindeki fikirden hareketle portföy ($P$) şu şekilde elde kurulabilir:

• 1 tane opsiyon (yani opsiyon alınmıştır)
• $\mathrm{△}$ sonradan belirlenmek üzere $-\mathrm{△}$ tane opsiyonun dayanak varlığı (hisse senedi)
• ${\mathrm{△}}_1$ sonradan belirlenmek üzere $-{\mathrm{△}}_1$ tane değeri dayanak varlığın volatilitesine bağlı başka bir varlık

Opsiyonun fiyatı $V=V(t,S)$ ve yukarıda bahsedilen ve değeri dayanak varlığın volatilitesine bağlı başka bir varlığın değeri de V_1 olsun. O zaman, bu portföyün değeri

$P=V-\mathrm{△}S-{\mathrm{△}}_2{V}_1$

olur. Bu portföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi $\mathrm{d}P$ o zaman

$\mathrm{d}P=\mathrm{d}V-\mathrm{△}\mathrm{d}S-{\mathrm{△}}_1\mathrm{d}{V}_1$

olur. Blakck-Scholes denkleminde olduğu gibi, Ito formülü kullanılarak $d\mathrm{\Pi }$ hesaplanır ve rassallıkları yok edecek $\mathrm{△}$ ve ${\mathrm{△}}_1$ seçimleri yapılır. Sonuç olarak elde kalan portföy risksiz oranla büyüyecektir. Sonuç olarak, $\lambda :=\lambda (S,\nu ,t)$ volatilite riski fiyatı olmak üzere (ki daha sonra $\lambda (S,\nu ,t)=\lambda \nu$ olarak belirlenir)

$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{S^2\nu }{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+\rho \xi \nu S\frac{{\partial }^{2}V}{\partial \nu \partial S}+\frac{{\xi }^2\nu }{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\nu }^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV+[\kappa (\theta -\nu )-\lambda ]\frac{\delta V}{\delta \nu }=0$

elde edilir.

Ayrıca bakınız

• Stokastik volatilite
• Riske duyarız ölçü
• Girsanov teoremi
• Martingal (olasılık teorisi)
• SABR volatilite modeli