Carlson teoremi

Şablon:Karıştırma Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Carlson teoremi üstel tipli bir tam fonksiyonun sanal sayı ekseninde üzerindeki büyümesi ile pozitif tam sayılarda sıfır değeri alması arasında ilişki kuran bir sonuçtur. Teorem, bu sonucu doktora tezinde kanıtlayan Fritz David Carlson'un adını taşımaktadır.

Teoremin kanıtı Phragmén–Lindelöf teoreminde elde edilebilir. Teorem, Newton serilerinin açılımlarının biricikliğini göstermede uygulamaları mevcuttur.

Teoremin ifâdesi

Şablon:Math, üstel tipli bir tam fonksiyon olsun; yani, Şablon:Math karmaşık düzlemde her yerde holomorf olsun ve bir Şablon:Math ve bir Şablon:Math gerçel sayısı için $$|f(z)|\le C{e}^{\tau |z|},z\in ℂ$$ büyüme koşulu sağlansın. Eğer

• $y\in ℝ$ için $|f(iy)|\le C{e}^{m|y|}$ büyüme kontrolünü sağlayan bir Şablon:Math sayısı varsa ve
• Negatif olmayan her Şablon:Math sayısı için Şablon:Math olursa,

o zaman, Şablon:Math fonksiyonu sıfıra özdeştir; yani, sıfır fonksiyonudur.

Varsayımların zayıflatılması

Teoremde tam fonksiyonun büyüme davranışına yönelik üç ana şart vardır. Bunlardan ilki, fonksiyonun üstel tipli olması, ikincisi fonksiyonun sanal eksen üzerindeki tipinin $\pi$den küçük olması, üçüncüsü ise negatif olmayan tam sayılarda sıfır değeri almasıdır.

• İlk varsayımın yerine Şablon:Math üzerinde sürekli, Şablon:Math üzerinde analitik ve bir Şablon:Math ve bir Şablon:Math gerçel sayısı için

$$|f(z)|\le C{e}^{\tau |z|},\mathrm{Re}z>0$$

büyüme koşulu sağlanması alınabilir.

• Şablon:Math örneğinden görüleceği üzere, sanal eksen üzerindeki tipinin $\pi$den küçük olması gereklidir.
• Üçüncü varsayım daha teknik bir varsayımla zayıflatılabilir. Eğer, fonksiyon, üst yoğunluğu 1 olan bir kümede sıfır değeri alıyorsa, o zaman yine aynı sonuç tekrar geçerlidir. Diğer deyişle, fonksiyon üst yoğunluğu 1 olan Şablon:Math} kümesinde sıfır değeri alıyor; yani, $x\in A$ için $f(x)=0$ ve

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|A\cap \{0,1,\dots ,n-1\}|}{n}=1$$

ise, Carlsson teoreminin sonucu yine geçerlidir. Şablon:Math kümesinin üst yoğunluğu 1 den az ise teoremin sonucu geçerli değildir; daha doğrusu, bu durumda karşıt örnekler bulunabilir.