Çarpma kuralı

Şablon:Kaynaksız Çarpma kuralı iki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Kuralı Gottfried Leibniz türettiği için bu kural Leibniz kuralı olarak da geçer. Kuralın matematiksel ifadesi f ve g sırasıyla f(x) ve g(x) ifadelerinin kapalı formu olmak üzere şöyle verilir:

$\frac{d}{dx}(fg)=\left(\frac{df}{dx}\right)g+f\left(\frac{dg}{dx}\right)$

İspat

Türevin tanımı kullanılarak iki fonksiyonun çarpımının türevine bakılırsa

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}(fg)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =g(x)f^{\prime }(x)+f(x)g^{\prime }(x)\\ \end{array}$

Genelleme

F fonksiyonu N tane birbirinden farklı ancak aynı değişkene bağlı fonksiyonun çarpımı olsun.

$F(x)=\prod _{i=1}^N{f}_i(x)$

Bu ifadenin türevi yukarıda yapılan ispata dayanılarak şu şekilde gösterilir:

$\frac{dF}{dx}=\sum _{k=1}^N{f_k}^{\prime }\prod _{i\ne k}^N{f}_i$

Çarpımın ifadesindeki i, 1 'den N 'ye kadar k hariç her değeri alır.