D'Alembert işleci

D'Alembert işlemcisi, özel görelilikte, elektromanyetizmada ve dalga kuramında; Minkowski uzayını ve Einstein alan denklemlerinin diğer çözümlerini sağlayan Laplace işlemcisine d'Alembert işlemcisi veya dalga işlemcisi denir.

İşlemci, $◻$ ya da ${◻}^2$ olarak da gösterilebilir. Kare olmasının nedeni 4 boyutlu Minkowski uzayını temsil ediyor olmasıdır. Aynı şekilde Laplace işlemcisindeki ${\mathrm{\nabla }}^2$ simgesi de 3 boyutlu uzayı temsil etmektedir. Kuantum alan kuramında daha çok ${\partial }^2$ gösterimi yeğlenir.

Tanım

Minkowski uzayında d'Alembert işlemcisinin açık tanımı, c ışık hızı olmak üzere,

$◻=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

şeklindedir. Burada açıkça görüleceği gibi uzay 4 boyutludur. Ancak sâdelik adına (x,y,z,t) koordinatları yerine (x,y,z,ict) seçilerek,

$◻=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial (ict{)}^2}$

biçimine dönüşür. Burada i sanal birim]dir.

Einstein toplam uzlaşımı ile $\mu =0,1,2,3=ict,x,y,z$ koordinatlar ve ${\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}$ türevler olmak üzere d'Alembert işlemcisi,

$◻={\partial }^2={\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }={\eta }^{\nu \mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }$

olarak ifâde edilebilir ki burada ${\eta }^{\nu \mu }$ Minkowski metriğidir.

Ayrıca Laplace işlemcisi ile de tanımlanabilir:

$◻={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

Fizikte d'Alembert işlemcisi

Dalga denklemi, d'Alembert işlemcisi ile ifâde edilebilir:

$◻\mathrm{\Psi }=0$

burada $\mathrm{\Psi }$ dalga fonksiyonudur.