Bernoulli dağılımı

Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve $q=1-p$ olasılıkla başarısızlık ile 0 değeri alan bir ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim insanı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir.

Eğer X Bernoulli dağılımı gösteren bir rassal değişken ise;

$\mathrm{Pr}(X=1)=1-\mathrm{Pr}(X=0)=1-q=p.$

Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu f şöyle ifade edilir:

$f(k;p)=\{\begin{array}{cc}p& \text{eger }k=1,\\ 1-p& \text{ eger }k=0,\\ 0& \text{diger hallerde.}\end{array}$

Bir Bernoulli rassal değişkeni X için beklenen değer

$E\left(X\right)=p$,

ve varyans

$\text{var}\left(X\right)=p(1-p).$

olur.

Bernoulli dağılımı için yüksek veya düşük p değerlerinde basıklık ölçüsü sonsuzluğa yaklaşır. Fakat $p=1/2$ için basıklık derecesi ölçümü -2 olup, bu değer diğer bütün olasılık dağılımlar için basıklık ölçüleri ile karşılaştırıldığında bunun en küçük olduğu görülür.

Bernoulli dağılımı üstel ailesi içinde bulunan bir dağılımdır.

İlişkili dağılımlar

• Eger $X_1,\dots ,X_n$ bağımsız fakat aynen dağılım gösteren ve her biri p başarı olasılığı ile Bernoulli dağılımı gösteren rassal değişkenler olurlarsa,

$Y=\sum _{k=1}^n{X}_k\sim \mathrm{B}(n,p)$

yani bir binom dağılımdir.

• Kategorik dağılım herhangi bir sabit sayıda aralıklı değerler alan değiskenler ile Bernoulli dağılımının bir genelleştirilmesidir.
• Beta dağılımının eşlenik önseli Bernoulli dağılımıdır.

İçsel kaynaklar

• Bernoulli denemesi
• Bernoulli süreci
• Bernoulli örneklemesi
• Örneklem büyüklüğü