Black-Scholes denklemi

Black-Scholes denklemi, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede elde edilen Black-Scholes formülünün kanıtında ilk defa elde edilmiş ve daha genel türev ürünleri için de uyarlanabilen bir kısmi diferensiyel denklemdir. Black-Scholes formülünün orijinal kanıtındaki esas fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, Black-Scholes denklemi elde edilir ve elde edilen diferansiyel denklem, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürülür.

Denklemin ifadesi

Kullanma fiyatı K, vadesi T olan Avrupa tipi bir opsiyonun fiyatı $V=V(t,S)$, bu opsiyonun dayanak varlığının spot fiyatı S, oynaklığı (volatilitesi) $\sigma$ ve risksiz-faiz oranı r olsun. Diyelim ki, dayanak varlığın spot fiyat süreci geometrik Brown hareketini izlesin; yani, Brown hareketini $W$ ile gösterirsek, $\mu$ sabitse

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t.$

olsun. O zaman,

$\frac{\partial V}{\partial t}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{S^2{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}-rV=0.$

Kanıt

Black-Scholes modelinin merkezi varsayımlarından biri söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketlerinin (S_t) geometrik Brown hareketini izlemesidir. Yani, sabit bir sürüklenme ($\mu$) ve volatilite ($\sigma$) olmak üzere;

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$

Black-Scholes'un makalesindeki fikirden hareketle portföy ($P$) şu şekilde oluşsun:

• -1 tane opsiyon (yani opsiyon satılmıştır)
• $\mathrm{△}$ sonradan belirlenmek üzere $\mathrm{△}$ tane dayanak varlık

Opsiyonun fiyatı $V=V(t,S)$ olsun. O zaman, bu portföyün değeri

$P=-V+\mathrm{△}S$

olur. Bu potrföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi $\mathrm{d}P$ o zaman

$\mathrm{d}P=-\mathrm{d}V+\mathrm{△}\mathrm{d}S$

olur. Öbür taraftan, fiyatı iki kere türevlenebilien bir türev ürününün fiyatı $V=V(t,S)$ için Ito önsavı kullanılarak

$\mathrm{d}V=(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2})\mathrm{d}t+\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}\mathrm{d}W$.

O zaman,

$\mathrm{d}P=-\mathrm{d}V+\mathrm{△}\mathrm{d}S=-(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}-\mathrm{△}\mu S_t)\mathrm{d}t-(\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}-\mathrm{△}\sigma S)\mathrm{d}W$

olur. Bu portföyün dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız halde olması istendiğinden, difüzyon teriminin (rassallığa katkıda bulunan terimlerin) 0 olması gerekir. Yani, $\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}-\mathrm{△}\sigma S=0$ olmalıdır ki bu da $\mathrm{△}=\frac{\partial V}{\partial S}$ verir. O zaman,

$\mathrm{d}P=-(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2})\mathrm{d}t$

elde edilir. Diğer taraftan, portföy rassallığa duyarsız hale geldiği için risksiz faiz oranı ile büyüyecektir; yani,

$\mathrm{d}P=rPdt=-rVdt+rS\frac{\partial V}{\partial S}dt$

elde edilir. $\mathrm{d}P$ için elde edilen bu iki ifade birbirine eşitlenerek Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir:

$\frac{\partial V}{\partial t}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{S^2{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}-rV=0$

Bu denklemin çözülmesi için aynı zamanda bir sınır değeri konulması lazım;ancak, zaten opsiyonun vade tarihindeki değeri opsiyonun türüne göre $\max (S_T-K,0)$ veya $\max (K-S_T,0)$ olacaktır.

Ayrıca bakınız

• Feynman-Kac formülü