D'Agostino'nun K-kare sınaması

İstatistik bilim dalında D'Agostino'nun K² sınaması normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K² istatistiği şöyle elde edilir:

n değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü, $\sqrt{b_1}$, şöyle tanımlanır:

$\sqrt{b_1}=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}=\frac{{\mu }_3}{{\left({\sigma }^2\right)}^{3/2}}=\frac{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x-\overline{x})}^3}{{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x-\overline{x})}^2\right)}^{3/2}}$

Örneklem basıklık ölçüsü, $\sqrt{b_2}$ ise şöyle tanimlanır:

$b_2=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}=\frac{{\mu }_4}{{\left({\sigma }^2\right)}^2}=\frac{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x-\overline{x})}^4}{{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x-\overline{x})}^2\right)}^2}$

Burada $\overline{x}$ örneklem ortalaması, σ² ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ₃ ve μ₄ üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir.

Dönüştürülmüş çarpıklık

Önce, çarpıklık ölçüsü $\sqrt{b_1}$ 'nin bir dönüşümü olan

$Z\left(\sqrt{b_1}\right)$

hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

$Y=\sqrt{b_1}\cdot \sqrt{\frac{(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}$

${\beta }_2\left(\sqrt{b_1}\right)=\frac{3(n^2+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}$

$W^2=-1+\sqrt{2({\beta }_2\left(\sqrt{b_1}\right)-1)}$

$\delta =1/\sqrt{ln(W)}$

$\alpha =\sqrt{\frac{2}{W^2-1}}$

$Z\left(\sqrt{b_1}\right)=\delta ln(Y/\alpha +\sqrt{(Y/\alpha {)}^2+1})$

Dönüştürülmüş Basıklık

Sonra, basıklık ölçüsü olan $b_2$ 'in bir dönüşümü olan $Z\left(b_2\right)$ hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

$E\left(b_2\right)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

${\sigma }_{b_2}^2=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1{)}^2(n+3)(n+5)}$

$x=\frac{b_2-E\left(b_2\right)}{{\sigma }_{b_2}}$

Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:

$\sqrt{{\beta }_1\left(b_2\right)}=\frac{6(n^2-5n+2)}{(n+7)(n+9)}\sqrt{\frac{6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}$

$A=6+\frac{8}{\sqrt{{\beta }_1\left(b_2\right)}}[\frac{2}{\sqrt{{\beta }_1\left(b_2\right)}}+\sqrt{1+\frac{4}{{\beta }_1\left(b_2\right)}}]$

$Z\left(b_2\right)=((1-\frac{2}{9A})-\sqrt[3]{\frac{1-2/A}{1+x\sqrt{2/(A-4)}}})\sqrt{\frac{9A}{2}}$

İçerikli K² istatistiği

Şimdi, bu $Z\left(\sqrt{b_1}\right)$ ile $Z\left(b_2\right)$ ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sınama istatistiği şöyle tanımlanır:

$K^2={\left(Z\left(\sqrt{b_1}\right)\right)}^2+{\left(Z\left(b_2\right)\right)}^2$

$K^2$ istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir ${\chi }^2$ ile dağılım gösterir.

İç bağlantılar

• Normallik sınamaları
• Kolmogorov-Smirnov sınaması
• Shapiro-Wilk sınaması
• Smirnov-Cramér-von-Mises sınaması
• Jarque-Bera sınaması

Kaynakça

• D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", The American Statistician, Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321.