Vieta formülleri

Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Vieta formülleri

Eğer

P (X) = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}

derecesi $n \geq 1$ olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}$ sayıları kompleks ve $a_{n}$ sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre $P (X)$ $n$ (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} .$ Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} + x_{n} = \frac{- a_{n - 1}}{a_{n}} \\ (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \dots + x_{2} x_{n}) + \dots + x_{n - 1} x_{n} = \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} \\ ⋮ \\ x_{1} x_{2} \dots x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} . \end{matrix}$

Anlamı, $P (X)$ 'in $k$ tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı $(- 1)^{k} a_{n - k} / a_{n}$ 'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

\sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \dots x_{i_{k}} = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}}

şeklinde her $k = 1, 2, \dots, n .$ yazabiliriz.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak $P (X) = a X^{2} + b X + c$ şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, $P (X) = 0$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .

Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.