Düzenli Borel ölçüsü

Şablon:Öksüz Matematiğin bir alt dalı olan gerçel analizde, özellikle ölçü kuramında, düzenli Borel ölçüsü bir topolojik uzayda Borel kümelerini ölçülebilir kılan bir dış ölçüdür. Düzenli Borel ölçüsünün değişik Borel ölçüsü tanımlarından sebepli değişik tanımları mevcuttur.

Düzenli Borel ölçüsü terimi, Borel kümesi, Borel ölçüsü gibi kavramlara da adı verilen Émile Borel'in adını taşımaktadır.

Tanımı

Düzenli Borel ölçüsünün üç değişik esas tanımı bulunmaktadır ve bunların her biri Borel ölçüsünün tanımlarına göre değişiklik göstermektedir: Birinci tanıma göre düzenli Borel ölçüsü kapalı her Borel kümesi $E$ için

$\sup \{\mu (C):C\subset E,C\text{ kapalı ve ölçülebilir}\}=\mu (E)$

eşitliğini sağlayan Borel ölçülerine verilen addır.
İkinci bir tanıma göre düzenli Borel ölçüsü herhangi Borel kümesi $E$ için

$\sup \{\mu (C):C\subset E,C\text{ tıkız ve ölçülebilir}\}=\mu (E)$

ve

$\inf \{\mu (U):U\supset E,U\text{ açık ve ölçülebilir}\}=\mu (E)$

eşitliklerini sağlayan Borel ölçülerine verilen addır.
Üçüncü bir tanıma göre ise düzenli Borel ölçüsü topolojik bir $X$ uzayındaki her $A\subset X$ için $\mu (A)=\mu (B)$ eşitliğini sağlayacak bir $B$ Borel kümesinin varlığını gerçekleyen Borel dış ölçüsüdür. Bu tanımda, $A$ kümesine ölçülebilir şartı getirilmesi gerekmediğine dikkat edilmelidir. Çünkü, $\mu$ dış ölçü olduğu için, $\mu (A)$ ifadesi iyi tanımlıdır.

Özellikler

• ${ℝ}^n$'deki Lebesgue dış ölçüsü düzenli Borel ölçüsüdür.
• Eğer bir Borel ölçüsü hem içeriden hem dışarıdan düzenli ve yerel sonlu ölçüyse, o zaman bu ölçüye Radon ölçüsü adı verilir.