Gül (matematik)

7 yapraklı gül (k=7)

8 yapraklı gül (k=4)

Bazı rasyonel k değerlerine karşılık gelen güller (k=n/d)

Matematikte gül veya rodonea (Yunanca gül anlamına gelen rodon kelimesinden), kutupsal koordinat sisteminde çizilmiş bir sinüs ya da kosinüs eğrisine denir. Gül eğrisi, aşağıdaki kutupsal denklemle ifade edilir:

$r=a\cos (k\theta ).$

Bu denklemde kosinüs yerine sinüs de yazılabilir, ortaya çıkacak eğri kosinüs eğrisinin π/2k radyan kadar döndürülmüş bir kopyası olacaktır. Bunun sebebi de sinüs ve kosinüs arasındaki şu ilişkidir:

$\sin (k\theta )=\cos (k\theta -\frac{\pi }{2})=\cos \left(k(\theta -\frac{\pi }{2k})\right).$

Gül eğrisi aynı zamanda, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğrunun üzerinde sinüs/kosinüs dalgası şeklinde ileri geri hareket eden bir noktanın izleyeceği eğridir.

Denklemdeki a değeri gülün şeklini değil, bir bütün olarak büyüklüğünü (yani yaprakların uzunluğunu) etkiler.

Eğer k bir tek sayı ise, gül şeklinin tamamen çizilmesi için θ'nın π uzunluğunda bir interval boyunca ilerlemesi yeterlidir ve ortaya çıkacak gül k yapraklı olacaktır. Yok eğer k bir çift sayı ise, şeklin tamamen çizilmesi için θ'nın 2π uzunluğunda bir intervalde ilerlemesi gerekir ve ortaya çıkacak gül 2k yapraklı olacaktır. Burada ilginç bir nokta şudur: Herhangi bir tek sayının iki katı kadar (2, 6, 10, 14, 18, vs.) yaprağı olan bir gül çizilemez.

Elbette k bir tam sayı olmak zorunda değildir, rasyonel ya da irrasyonel de olabilir. Eğer k bir rasyonel sayı ise, ortaya çıkan eğri topolojik anlamda kapalı ve sonlu uzunlukta olacaktır. k irrasyonel ise, eğri kapalı olmayacak ve uzunluğu sonsuz olacaktır.

Bu eğrilere gül ismini veren, 18. yüzyıl İtalyan matematikçisi Guido Grandi'dir.

Alan

Eğer k bir çift sayı ise,

$r=a\cos (k\theta )$

eşitliğiyle tanımlanan gülün alanı, şöyle hesaplanabilir:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a\cos (k\theta )}{\int }}rdrd\theta =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(a\cos (k\theta ){)}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}(\pi +\frac{\sin (4k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{2}.$

Benzer şekilde, eğer k bir tek sayı ise, gülün alanı şu olacaktır:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a\cos (k\theta )}{\int }}rdrd\theta =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(a\cos (k\theta ){)}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}(\frac{\pi }{2}+\frac{\sin (2k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{4}.$

Dikkat edilirse, alan formüllerinde k gözükmemektedir, yani güllerin alanları k'nın değerinden bağımsızdır. Ayrıca, çift yapraklı güllerin alanı, tek yapraklı güllerin alanının iki katıdır.

Dış bağlantılar

• MathWorld'den Gül Şablon:Webarşiv sayfası (İngilizce)
• Girilen parametrelerle gül çizen Java uygulaması Şablon:Webarşiv