Karamata eşitsizliği

Matematikte Karamata eşitsizliği ya da baskılama eşitsizliği gerçel doğru üzerinde tanımlı ve gerçel değerli dışbükey ve içbükey fonksiyonlarla alakalı bir temel cebir teoremidir. Eşitsizlik, Jensen eşitsizliğinin kesikli biçimini genelleştiren bir sonuçtur ve bu genelleştirme Schur-dışbükey fonksiyonu kavramına gitmektedir. Eşitsizlik Sırp matematikçi Jovan Karamata'nın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Gerçel doğru üzerindeki bir $I$ aralığında tanımlanmış ve gerçel değerler alan bir dışbükey bir $f$ fonksiyonunu ele alalım. Şablon:Math aralığında Şablon:Math ve Şablon:Math sayıları verilmiş olsun ve Şablon:Math sayıları Şablon:Math sayılarını baskılasın; diğer deyişle,

• $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n$    ve    $y_1\ge y_2\ge \cdots \ge y_n,$
• her $i\in \{1,\cdots ,n-1\}$ için

$x_1+\cdots +x_i\ge y_1+\cdots +y_i$

• $x_1+\cdots +x_n=y_1+\cdots +y_n$

olsun. O zaman,

$f(x_1)+\cdots +f(x_n)\ge f(y_1)+\cdots +f(y_n)$

olur. Eğer $f$ fonksiyonu kesin dışbükey bir fonksiyonsa, o zaman bu eşitsizlikteki eşitlik hâli ancak ve ancak her Şablon:Math için Şablon:Math olursa gerçekleşir.