Kısmi türev

Şablon:Kaynaksız Şablon:Hesap Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin(fonksiyon), sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Tanım

$z:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$

$z=f(x_1,x_2,...,x_m,...,x_n)$

biçiminde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı sürekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki $\mathrm{\Delta }{x}_m$ değişimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

$\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }{x}_m}=\frac{f(x_1,x_2,...,x_m+\mathrm{\Delta }{x}_m,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_m,...,x_n)}{\mathrm{\Delta }{x}_m}$

$\mathrm{\Delta }{x}_m=h$

$\frac{\partial z}{\partial x_m}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,x_2,...,x_m+h,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_m,...,x_n)}{h}$

ifadesine $z$ fonksiyonunun $x_m$ değişkenine göre kısmi türevi denir.

$\frac{\partial f}{\partial x_m}=f_{x_m}=D_{x_m}f=\frac{\partial z}{\partial x_m}=z_{x_m}$

şeklinde gösterilir.

$z=f(x,y)$ ise;

$f_x(x,y)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

$f_y(x,y)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$

Örnek:

$\begin{array}{cc}& f(x,y)=x^3+x^{2}y-y^3\\ & f_x={\left(x^3\right)}_x+{\left(x^{2}y\right)}_x-{\left(y^3\right)}_x\\ & f_x=3x^2+2xy-0\\ & f_x=3x^2+2xy\\ \end{array}$