Landau-Kolmogorov eşitsizliği

Matematikte Landau-Kolmogorov eşitsizliği gerçel sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun farklı türevleri arasında ilişki kuran bir aradeğerleme eşitsizlikleri ailesidir.

Eşitsizliğin ifadesi

$T\subset ℝ$ bir aralık olsun ve $f$ ise bu aralık üzerinde $n$ kere sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer, hem $f$ hem de $f^{(n)}$ sınırlıysa, o zaman her $1\le k<n$ için

$\Vert f^{(k)}{\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}(T)}\le C(n,k,T){\Vert f{\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}(T)}}^{1-k/n}{\Vert f^{(n)}{\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}(T)}}^{k/n}$

eşitsizliğini sağlayan bir $C(n,k,T)$ sabiti vardır.

Eşitsizlik, k = 1, n = 2 ve T = [c,∞) veya T = R durumlarında ilk defa Edmund Landau tarafından C(2, 1, [c,∞)) = 2 ve C(2, 1, R) = √2 en iyi kestirim sabitleri ile kanıtlanmıştır. Jacques Hadamard ve Georgiy Şilov'un katkılarından sonra, Andrey Kolmogorov keyfi n, k için en iyi kestirim sabitlerini buldu:

$C(n,k,ℝ)=a_{n-k}{a}_n^{-1+k/n}$

Burada, a_n ile Favard sabitleri gösterilmiştir.

Genelleştirmeler

Şu şekilde genelleştirmeleri vardır:

$\Vert f^{(k)}{\Vert }_{L_q(T)}\le K\cdot \Vert f{\Vert }_{L_p(T)}^{\alpha }\cdot \Vert f^{(n)}{\Vert }_{L_r(T)}^{1-\alpha }\text{ for }1\le k<n.$

Burada üç norm birbirinden farklı olabilir ve normlar L₁ den o L_∞a kadar değişebilir; en bilinen durum ise p=q=r=∞ durumudur. $T$ gerçel eksen, yarı eksen veya kapalı bir aralık olabilir.

Kallman-Rota eşitsizliği, Landau-Kolmogorov eşitsizliklerini türev operatöründen Banach uzaylarındaki daha genel büzüşmelere genelleştirir.