Lipschitz bölgesi

Matematikte bir Lipschitz bölgesi ya da Lipschitz sınırlı bir bölge, Öklid uzayında yer alan ve sınırının yeteri kadar düzgünlüğe sahip olduğu bir bölgedir. Burada ifâde edilen yeteri kadar düzgünlükten, bu bölgenin sınırının, yerel olarak, Lipschitz sürekli bir fonksiyonun grafiği olarak temsil edilebildiği anlaşılır. Bu özel bölgeler, Alman matematikçi Rudolf Lipschitz'in adını taşımaktadır.

Sobolev gömme teoremlerinin birçoğunun varsayımı üzerinde çalışılan bölgenin bir Lipschitz bölgesi olmasını gerektirir. Sonuç olarak, birçok kısmi diferansiyel denklem ve varyasyon problemi Lipschitz bölgelerinde çalışılıp tanımlanır.

Tanım

$n\in \mathbb{N}$ olmak üzere, $\mathrm{\Omega }$, ${ℝ}^n$de bir bölge ve $\partial \mathrm{\Omega }$ ise bu bölgenin sınırı olsun. Her $p\in \partial \mathrm{\Omega }$ için aşağıdaki koşullar sağlanırsa, $\mathrm{\Omega }$ya Lipschitz bölgesi adı verilir.
$p$ noktasından geçen $n-1$ boyutlu bir $H$ hiperdüzlemi ve Lipschitz sürekli bir $g:H\to ℝ$ fonksiyonu vardır öyle ki en az bir $r>0$ ve $h>0$ gerçel sayısı için

• $\overrightarrow{n}$, $H$ye dik olan birim vektör (normal vektör),
• $B_r(p):=\{x\in {ℝ}^n\mid \Vert x-p\Vert <r\}$ yarıçapı $r$ olan açık yuvar
• $C:=\{x+y\overrightarrow{n}\mid x\in B_r(p)\cap H,-h<y<h\}$

olmak üzere

• $\mathrm{\Omega }\cap C=\{x+y\overrightarrow{n}\mid x\in B_r(p)\cap H,-h<y<g(x)\}$
• $(\partial \mathrm{\Omega })\cap C=\{x+y\overrightarrow{n}\mid x\in B_r(p)\cap H,g(x)=y\}$

yazılabilir.

Başka bir deyişle, sınırının her noktasında, $\mathrm{\Omega }$, yerel olarak, bir Lipschitz sürekli fonksiyonun grafiğinin üstünde yer alan noktaların kümesidir.

Genelleştirmeler

Lipschitz bölgelerinin bir genelleştirmesi, zayıf Lipschitz bölgeleridir. Bu bağlamda, şu açık ve yarı yuvarlar tanımlansın:

• $Q:=B_1(0)$, diğer deyişle, ${ℝ}^n$deki başnoktadaki birim açık yuvar
• $Q_0:=\{(x_1,\dots ,x_n)\in Q\mid x_n=0\},$
• $Q_{+}:=\{(x_1,\dots ,x_n)\in Q\mid x_n>0\}.$

Daha önce verildiği gibi, $n\in \mathbb{N}$ olmak üzere, $\mathrm{\Omega }$, ${ℝ}^n$de bir bölge ve $\partial \mathrm{\Omega }$ ise bu bölgenin sınırı olsun. Her $p\in \partial \mathrm{\Omega }$ için aşağıdaki koşulların sağlandığı bir $r>0$ sayısı ve ${\ell }_p:B_r(p)\to Q$ gönderimi varsa $\mathrm{\Omega }$ya zayıf Lipschitz bölgesi adı verilir:

• ${\ell }_p$ bire bir eşlemedir; yani, birebir ve örtendir.
• ${\ell }_p$ ve $l_p^{-1}$ gönderimlerinin her ikisi de Lipschitz süreklidir.
• ${\ell }_p(\partial \mathrm{\Omega }\cap B_r(p))=Q_0.$
• ${\ell }_p(\mathrm{\Omega }\cap B_r(p))=Q_{+}.$

Daha önce tanımı verilen Lipschitz bölgelerine, yukarıdaki tanıma bağlı olarak, bazen güçlü Lipschitz bölgesi denilir. Güçlü Lipschitz bölgeleri her zaman zayıf Lipschitz bölgesidir ama bunun tersi doğru değildir. Örneğin,

$\mathrm{\Omega }:=(-1,1)\times (0,1)\times (0,-1)\cup (0,1)\times (0,-1)\times (-1,-1)\cup (0,1)\times 0\times (0,-1)\subset {ℝ}^3$

olarak verilsin. Bu bölge çapraz tuğla bölgesi olarak bilinen özel bir bölgedir ve Lipschitz bölgesi değildir. Ancak, bu bölge zayıf Lipschitz bölgesidir.