Tek taraflı limit

Şablon:Kaynaksız Kalkülüste tek taraflı limit, x reel değişkenli bir f(x) fonksiyonun her iki limitidir. Burada x, ya üstten ya da alttan belirli bir noktaya yaklaşır. Bu limit şöyle sembolize edilebilir:

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$ veya $\underset{x\downarrow a}{\lim }f(x)$ veya $\underset{x\searrow a}{\lim }f(x)$ ya da $\underset{x\underset{>}{\to }a}{\lim }$

a yaklaşım değerinde x azalan limittir (x, a ya "sağdan" veya "üstten" yaklaşır) ve şöyle ifade edilir.

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$ veya $\underset{x\uparrow a}{\lim }f(x)$ veya $\underset{x\nearrow a}{\lim }f(x)$ ya da $\underset{x\underset{<}{\to }a}{\lim }$

a yaklaşım değerinde x artan limittir (x, a ya "soldan" veya "alttan" yaklaşır)

x, a ya yaklaşırken eğer f(x) fonksiyonunun limiti, iki tek taraflı limite eşittir.

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$

Bazı durumlarda yukarıdaki limit yoktur. Fakat yine de iki tek taraflı limit vardır. Bu nedenle x, a ya yaklaşırken fonksiyonun limiti bazen "iki taraflı limit" olarak adlandırılır. Bazı durumlarda iki tek taraflı limit vardır, bazı durumlarda yoktur.

Sağ taraflı limit tam olarak şöyle ifade edilebilir:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in I(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon )$

Benzer şekilde sol taraflı limit tam olarak şöyle ifade edilebilir:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in I(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon )$

Burada $I$, $f$ tanım kümesi içindeki aralığı ifade eder.

Örnekler

Farklı tek taraflı limitlere sahip bir fonksiyona örnek aşağıda verilmiştir:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1+2^{-1/x}}=1,$

Oysa

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{1+2^{-1/x}}=0.$

Limitin topolojik tanımı ile ilişkisi

p noktasındaki tek taraflı limit, limitin genel tanımına karşılık gelir. Fonksiyonun tanım kümesi tek tarafta sınırlandırılır.

Abel teoremi

Şablon:Ana Bir önemli teorem, belirli kuvvet serisine sahip tek taraflı limitlerin kendi yakınsaklık mesafelerindeki davranışına Abel teoremi denir.

Ayrıca bakınız

• Reel izdüşümsel çizgi

Dış bağlantılar

• Şablon:Planetmath reference