Çebışov toplam eşitsizliği

Matematikte Çebışov toplam eşitsizliği aritmetik bir eşitsizliktir. Eşitsizlik FKG eşitsizliğinin ve Harris eşitsizliğinin özel hâlidir ve adını Pafnuti Çebışov'dan alır.

Eşitsizliğin ifadesi

Eğer $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$ ve $b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n$ ise, o zaman

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\ge \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right).$

olur. Benzer biçimde, eğer $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$ ve $b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$ ise, o zaman,

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right).$

olur.

Sürekli hali

Çebışov toplam eşitsizliğinin sürekli hâli de mevcuttur: f ve g bir [a, b] aralığı üzerinde tanımlı, gerçel değerler alan tümlevlenebilir (integrallenebilir) fonksiyonlarsa ve her ikisi ya artmayan ya da her ikisi azalmayan fonksiyonlarsa, o zaman

$\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx\ge (\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx)(\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx)$

olur. Eğer fonksiyonlardan bir tanesi azalmayan ve diğeri artmayan ise, bu eşitsizlik tersi yönde olur.

İspat

Her iki sonlu sayı dizisi artmayan olduğu için, Şablon:Math ve Şablon:Math terimleri her Şablon:Math için aynı işarete sahiptir. O zaman

$S=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n(a_j-a_k)(b_j-b_k)$

toplamı sıfırdan büyüktür: Şablon:Math. Terimlerde çarpma işlemi gerçekleştirilip toplam düzenlendiğinde

$0\le 2n\sum _{j=1}^n{a}_j{b}_j-2\sum _{j=1}^n{a}_j\sum _{j=1}^n{b}_j$

elde edilir. Bu yüzden,

$\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_j{b}_j\ge \left(\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_j\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{b}_j\right)$

olur.

Yeniden düzenleşim eşitsizliği kullanılarak da bir ispat aşağıdaki gibi bir satırda verilebilir:

$\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\sum _{j=0}^{n-1}{b}_j=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{a}_i{b}_j=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{k=0}^{n-1}{a}_i{b}_{i+k\text{mod}n}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{b}_{i+k\text{mod}n}\le \sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{b}_i=n\sum _i{a}_i{b}_i.$

Ayrıca bakınız

• Hardy-Littlewood eşitsizliği
• Yeniden düzenleşim eşitsizliği