Özdeğer ayrışımı sayfasının kaynağını görüntüle

[[Lineer cebir]]de, '''özdeğer ayrışımı'''<ref name="zhaoyang">{{Tez kaynağı |ad1=Li |soyadı1=Zhaoyang |başlık=Matris Ayrışımı |tarih=2006 |url=http://nek.istanbul.edu.tr:4444/ekos/TEZ/41171.pdf |erişimtarihi=26 Şubat 2021 |tip=Yüksek lisans |yayıncı=İstanbul Üniversitesi |yer=İstanbul}}</ref> ya da '''eigen ayrışımı''',<ref>{{dergi kaynağı |ad1=Taner |soyadı1=Uçkan |yazar2=Cengiz Hark |yazar3=Ebubekir Seyyarer |yazar4=Ali Karcı |başlık=Ağırlıklandırılmış Çizgelerde Tf-Idf ve Eigen Ayrışımı Kullanarak Metin Sınıflandırma |dergi=Bitlis Eren Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi |tarih=24 Aralık 2019 |cilt=8 |sayı=4 |sayfalar=1349-1362|url=https://dergipark.org.tr/en/pub/bitlisfen/issue/50904/531221 |dil=Türkçe|issn=2147-3129}}</ref> bir [[matris (matematik)|matris]]in [[Özdeğer, özvektör, özuzay|özdeğerleri ve özvektörleri]] cinsinden ifade edilen daha basit matrislere [[Çarpanlara ayırma|ayrıştırılmasıdır]]. Sadece [[kare matris]]ler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

== Tanım ==

{{mvar|n}} adet [[doğrusal olarak bağımsız]] {{mvar|q<sub>i</sub>}} ({{math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}) özvektörleri olan {{math|''n'' × ''n''}} boyutlu {{math|'''A'''}} kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}  </math>
Burada {{math|'''Q'''}}, {{mvar|i}} numaralı sütunu {{math|'''A'''}}'nın  {{mvar|q<sub>i</sub>}} özvektörü olan {{math|''n'' × ''n''}} boyutlu kare matristir. {{math|'''Λ'''}} ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler ({{math|1=''Λ<sub>ii</sub>'' = ''λ<sub>i</sub>''}}) olan bir [[köşegen matris]]tir. Sadece [[köşegenlenebilir matrisler]] bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, <math>\left[ \begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right]</math> ayrıştırılamaz.

Özvektörler {{mvar|q<sub>i</sub>}} genellikle normaldir, ama bazen {{math|'''Q'''}}'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş {{mvar|n}} adet {{mvar|v<sub>i</sub>}} özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki {{math|'''Q'''<sup>−1</sup>}} ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.

Ayrışım, [[özvektör]]lerin temel özelliğinden türetilebilir:
:<math>\begin{align}
\mathbf{A} \mathbf{v} &= \lambda \mathbf{v} \\
\mathbf{A} \mathbf{Q} &= \mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \\
\mathbf{A} &= \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1} .
\end{align}</math>

=== Örnek ===

2 × 2 boyutlu {{math|'''A'''}} matrisi
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}</math>
tekil olmayan {{math|'''B'''}} matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.
:<math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times2}.
</math>

Herhangi bir köşegen matrisi <math>C=\left[ \begin{smallmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{smallmatrix} \right]</math> için, <math>\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{C}</math> özdeşliği:

: <math>\begin{bmatrix}
    a & b \\
    c & d 
  \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    1 & 3
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    x & 0 \\
    0 & y
  \end{bmatrix},
</math>

İki taraf da {{math|'''B'''}} ile çarpılırsa:

: <math>\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}.</math>

Yukarıdaki denklem iki [[eşanlı denklem]]e ayrılır:

: <math> \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ cx \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} by \\ dy \end{bmatrix} \end{cases} .</math>

[[Özdeğer]]ler {{mvar|x}} ve {{mvar|y}} ayrıştırılır:
: <math> \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \end{cases} </math>

Vektörleri isimlendirirsek:
:<math>\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix},</math>
iki vektör denklemi elde ederiz:

: <math> \begin{cases} A \overrightarrow{a} = x \overrightarrow{a} \\ A \overrightarrow{b} = y \overrightarrow{b} \end{cases}</math>

İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:
: <math>\mathbf{A} \mathbf{u} = \lambda \mathbf{u}</math>

burada {{mvar|λ}} iki özdeğeri ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}), {{math|'''u'''}} ise iki vektörü ({{math|{{vec|''a''}}}}, {{math|{{vec|''b''}}}}) içerir.

{{math|''λ'''''u'''}}'u sola kaydırıp {{math|'''u'''}}'yu ayırırsak:

:<math>(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{u} = \mathbf{0}</math>

{{math|'''B'''}} tekil olmadığı için {{math|'''u'''}} sıfırdan büyüktür. Yani,
: <math>\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0</math>

Böylece,
: <math>(1- \lambda)(3 - \lambda) = 0</math>

{{math|'''A'''}} matrisinin özdeğerlerini verir ({{math|1=''λ'' = 1}}, {{math|1=''λ'' = 3}}). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi <math>\left[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{smallmatrix} \right]</math> olur.

Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek
: <math> \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \end{cases} </math>

ve bu denklemi çözersek:
:<math>a = -2c \quad\text{and} \quad b = 0, \qquad c,d \in \mathbb{R}.</math>

{{math|'''B'''}}'yi buluruz
:<math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix} -2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix},\qquad c, d\in \mathbb{R}, </math>
ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:
: <math>\begin{bmatrix}
-2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\qquad c, d\in \mathbb{R}</math>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

[[Kategori:Matrisler]]
[[Kategori:Lineer cebir]]