Özdeğer ayrışımı

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

Tanım

Şablon:Mvar adet doğrusal olarak bağımsız Şablon:Mvar (Şablon:Math) özvektörleri olan Şablon:Math boyutlu Şablon:Math kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:

$𝐀=𝐐\mathrm{\Lambda }{𝐐}^{-1}$

Burada Şablon:Math, Şablon:Mvar numaralı sütunu Şablon:Math'nın Şablon:Mvar özvektörü olan Şablon:Math boyutlu kare matristir. Şablon:Math ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler (Şablon:Math) olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ ayrıştırılamaz.

Özvektörler Şablon:Mvar genellikle normaldir, ama bazen Şablon:Math'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş Şablon:Mvar adet Şablon:Mvar özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki Şablon:Math ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.

Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:

$\begin{array}{cc}𝐀𝐯& =\lambda 𝐯\\ 𝐀𝐐& =𝐐\mathrm{\Lambda }\\ 𝐀& =𝐐\mathrm{\Lambda }{𝐐}^{-1}.\end{array}$

Örnek

2 × 2 boyutlu Şablon:Math matrisi

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$

tekil olmayan Şablon:Math matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

$𝐁=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\in {ℝ}^{2\times 2}.$

Herhangi bir köşegen matrisi $C=\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right]$ için, ${𝐁}^{-1}𝐀𝐁=𝐂$ özdeşliği:

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right],$

İki taraf da Şablon:Math ile çarpılırsa:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right].$

Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax\\ cx\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}by\\ dy\end{array}\right]\end{array}.$

Özdeğerler Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar ayrıştırılır:

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]\end{array}$

Vektörleri isimlendirirsek:

$\overrightarrow{a}=\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right],\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right],$

iki vektör denklemi elde ederiz:

$\{\begin{array}{c}A\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{a}\\ A\overrightarrow{b}=y\overrightarrow{b}\end{array}$

İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:

$𝐀𝐮=\lambda 𝐮$

burada Şablon:Mvar iki özdeğeri (Şablon:Mvar, Şablon:Mvar), Şablon:Math ise iki vektörü (Şablon:Math, Şablon:Math) içerir.

Şablon:Math'u sola kaydırıp Şablon:Math'yu ayırırsak:

$(𝐀-\lambda 𝐈)𝐮=\mathrm{𝟎}$

Şablon:Math tekil olmadığı için Şablon:Math sıfırdan büyüktür. Yani,

$\det (𝐀-\lambda 𝐈)=0$

Böylece,

$(1-\lambda )(3-\lambda )=0$

Şablon:Math matrisinin özdeğerlerini verir (Şablon:Math, Şablon:Math). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$ olur.

Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=1\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]\end{array}$

ve bu denklemi çözersek:

$a=-2c\text{and}b=0,c,d\in ℝ.$

Şablon:Math'yi buluruz

$𝐁=\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right],c,d\in ℝ,$

ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:

${\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right],c,d\in ℝ$