Asal kök sayfasının kaynağını görüntüle

{{kaynaksız|tarih=Ekim 2024}}
Bir '''asal kök''' modülü n [[sayılar teorisi]]ndeki [[modüler aritmetik]]ten bir kavramdır. Eğer <math>n \ge 1 </math> olan bir [[tam sayı]] ise, n formuna göre aralarında [[asal sayı]]lar mod n'e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,<math>( Z / n \cdot Z )^x </math> veya <math>Z_n^*</math> olarak gösterilir. 
Bir [[asal sayı]] için <math>p \ge 3</math> ve <math>k \ge 1</math> ise, bu grup ancak ve ancak <math>1, 2, 4, p^k \!</math> veya <math>2 p^k\!</math> 'ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya <math>Z_n^*</math>'in bir asal elemanı'dır şeklinde tanımlanır.

Bir asal kök modülü n, diğer bir deyişle, mod n'e göre ''g'' gibi öyle bir [[tam sayı]]dır ki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her [[tam sayı]], ''g'' 'nin bir kuvvetine denktir.

;Örneğin

:<math>n=14\!</math> alalım.<math>(Z/14 \cdot Z)^x</math> 'in elemanları

:<math>1, 3, 5, 9, 11 ve 13\!</math> 'ün denk sınıflarından oluşur.

mod 14'e göre <math>3^2 \equiv 9, 3^3 \equiv 13, 3^4 \equiv 11, 3^5 \equiv 5 ve 3^6 \equiv 1\!</math> olduğundan, ''3'' mod 14'e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5'tir.

:<math>  n     n^k\!</math> (mod 14) - (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrar sonra kesilmiştir)
:<math>  1 :   1,\!</math>
:<math>  2 :   2, 4, 8\!</math> 
:<math>  3 :   3, 9, 13, 11, 5, 1\!</math> 
:<math>  4 :   4, 2, 8\!</math> 
:<math>  5 :   5, 11, 13, 9, 3, 1\!</math>
:<math>  6 :   6, 8\!</math>
:<math>  7 :   7,\!</math>
:<math>  8 :   8,\!</math>
:<math>  9 :   9, 11, 1\!</math>
:<math> 10 :  10, 2, 6, 4, 12, 8\!</math>
:<math>11 :  11, 9, 1\!</math>
:<math> 12 :  12, 4, 6, 2, 10, 8\!</math>
:<math> 13 :  13, 1\!</math>
:<math> 14 :   0,\!</math>

14'le [[aralarında asal]] olan [[sayı]]lar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan [[sayı]]lardır. Bu [[sayı]]ların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.

Problemi ''f''(''n'', ''k'') = ''n<sup>k</sup>'' - 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, ''n'' için tasarlanan köklerin ''k'' > 0 olan kuvvetleri için bir [[polinom]] sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki [[sayı]]lardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.

[[Kategori:Asal sayılar]]