Asal kök

Şablon:Kaynaksız Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer $n\ge 1$ olan bir tam sayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n'e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,$(Z/n\cdot Z{)}^x$ veya $Z_n^{*}$ olarak gösterilir. Bir asal sayı için $p\ge 3$ ve $k\ge 1$ ise, bu grup ancak ve ancak $1,2,4,p^k$ veya $2p^k$ 'ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya $Z_n^{*}$'in bir asal elemanı'dır şeklinde tanımlanır.

Bir asal kök modülü n, diğer bir deyişle, mod n'e göre g gibi öyle bir tam sayıdır ki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her tam sayı, g 'nin bir kuvvetine denktir.

Örneğin

$n=14$ alalım.$(Z/14\cdot Z{)}^x$ 'in elemanları

$1,3,5,9,11ve13$ 'ün denk sınıflarından oluşur.

mod 14'e göre $3^2\equiv 9,3^3\equiv 13,3^4\equiv 11,3^5\equiv 5ve{3}^6\equiv 1$ olduğundan, 3 mod 14'e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5'tir.

$n{n}^k$ (mod 14) - (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrar sonra kesilmiştir)

$1:1,$

$2:2,4,8$

$3:3,9,13,11,5,1$

$4:4,2,8$

$5:5,11,13,9,3,1$

$6:6,8$

$7:7,$

$8:8,$

$9:9,11,1$

$10:10,2,6,4,12,8$

$11:11,9,1$

$12:12,4,6,2,10,8$

$13:13,1$

$14:0,$

14'le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.

Problemi f(n, k) = n^k - 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, n için tasarlanan köklerin k > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.