Batlamyus kirişler tablosu sayfasının kaynağını görüntüle

MS 2. yüzyılda [[Mısır]]'da [[Yunanlılar|Yunan]] astronom, coğrafyacı ve jeolog [[Batlamyus]] tarafından oluşturulan '''kirişler tablosu''', [[Teorik astronomi#Teorik astronomi araçları|matematiksel astronomi]] üzerine bir inceleme olan Batlamyus'un ''Almagest'' adlı eserinin Kitap&nbsp;I, bölüm&nbsp;11'inde<ref name=toomer>{{Kaynak|başlık=Ptolemy's Almagest|soyadı1=Toomer|ad1=G. J.|yazarbağı=Gerald J. Toomer|yayıncı=[[Princeton University Press]]|yıl= 1998|isbn =0-691-00260-6}}</ref> yer alan bir [[trigonometrik tablolar|trigonometrik tablo]]dur. Esasen [[sinüs (matematik)|sinüs]] fonksiyonunun değer tablosuna eşdeğerdir. [[Astronomi]] de dahil olmak üzere birçok pratik amaç için yeterince kapsamlı olan en eski trigonometrik tablodur ([[Hipparkos|Hipparchus]] tarafından hazırlanan daha eski bir kiriş tablosu yalnızca {{kayma|{{sfrac|7|1|2}}° {{=}} {{sfrac|{{pi}}|24}} radyan}}ın katları olan yaylar için kirişler vermiştir).<ref>{{Kaynak|yazar=Hugh Thurston|url=https://books.google.com/books?id=rNpHjqxQQ9oC&pg=PA235|sayfalar=235-236|başlık=Early Astronomy|yayıncı=Springer Science & Business Media|yıl=1996|isbn=9780387948225}}</ref> 8. ve 9. yüzyıllardan beri sinüs ve diğer [[trigonometrik fonksiyonlar]], İslam matematiği ve astronomisinde kullanılmış ve sinüs tablolarının üretiminde reformlar yapılmıştır.<ref>{{Kitap kaynağı |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4939-3780-6 |başlık=Episodes in the Mathematics of Medieval Islam |yıl=2016 |dil=İngilizce|doi=10.1007/978-1-4939-3780-6|soyadı1=Berggren |ad1=J.L. |isbn=978-1-4939-3778-3 }}</ref> Daha sonra [[Harezmi|Muhammed ibn Musa el-Harezmi]] ve [[Habeş el-Hâsib]] bir dizi trigonometrik tablo üretmiştir.

== Kiriş fonksiyonu ve tablo ==
[[Dosya:Chords (circle).svg|küçükresim|sağ|upright=1.59|{{Ortala|Örnek: Bir ({{sfrac|109|1|2}})° yayını kesen kirişin uzunluğu yaklaşık&nbsp;98'dir.}}]]

Bir [[çember]]in [[Kiriş (geometri)|kirş]]i, uç noktaları çember üzerinde olan bir doğru parçasıdır. Batlamyus, çapı 120 parça olan bir çember kullanmıştır. Uç noktaları ''n''&nbsp;derecelik bir yay ile ayrılan bir kirişin uzunluğunu, {{sfrac|1|2}} ile 180 arasında değişen ''n'' için&nbsp;{{sfrac|1|2}}'lik artışlarla tablolaştırmıştır. Modern gösterimde, ''θ''&nbsp;derecelik bir yaya karşılık gelen kirişin uzunluğu:

: <math>
\begin{align}
& \text{kiriş}(\theta) = 120\sin\left(\frac{\theta^\circ} 2 \right) \\
= {} & 60 \cdot \left( 2 \sin\left(\frac{\pi\theta}{360} \text{ radyan} \right) \right).
\end{align}
</math>

''θ'' 0'dan 180'e giderken, bir ''θ'' ° yayının kirişi 0'dan &nbsp;120'ye gider. Küçük yaylar için kiriş, {{pi}}'nin&nbsp;3'e olduğu gibi derece cinsinden yay açısına eşittir veya daha doğrusu, ''θ'' yeterince küçük yapılarak oran {{sfrac|{{pi}}|3}}&nbsp;≈&nbsp;{{val|1.04719755}}'e istenildiği kadar yakın hale getirilebilir. Böylece, {{kayma|{{sfrac|1|2}}°}} yayı için, kiriş uzunluğu derece cinsinden yay açısından biraz daha fazladır. Yay arttıkça, kirişin yaya oranı azalır. Yay {{kayma|60°}} değerine ulaştığında, kiriş uzunluğu tam olarak yaydaki derece sayısına eşit olur, yani kiriş&nbsp;60°&nbsp;=&nbsp;60. 60°'den fazla yaylar için, kiriş sadece&nbsp;120 olduğunda 180°'lik bir yaya ulaşılana kadar kiriş yaydan daha azdır.

Kiriş uzunluklarının kesirli kısımları [[Altmışlık sayı sistemi|sexagesimal]] (taban 60) rakamlarıyla ifade edilmiştir. Örneğin, 112°'lik bir yay tarafından kesilen bir kirişin uzunluğu 99,29,5 olarak bildirildiğinde, uzunluğu;

: <math> 99 + \frac{29}{60} + \frac{5}{60^2} = 99,4847\overline{2}, </math>

en yakın&nbsp;{{sfrac|1|60<sup>2</sup>}}'a yuvarlanır.<ref name=toomer />

Yay ve kiriş sütunlarından sonra üçüncü bir sütun "altmışlık" olarak etiketlenir. Bir&nbsp;''θ''° yayı için, "altmışlık" sütunundaki giriş şöyledir:

: <math> \frac{\text{kiriş} \left(\theta + \tfrac12^\circ \right) - \text{kiriş} \left( \theta^\circ\right)}{30}. </math>

Bu,&nbsp;''θ''° girişi ile&nbsp;(''θ''&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|1|2}})° girişi arasında, açı her bir yay dakikası arttığında kirişe (''θ''°) eklenmesi gereken sayı, bir birimin ortalama altmışta biri kadardır. Böylece [[lineer interpolasyon|doğrusal interpolasyon]] için kullanılır. Glowatzki ve Göttsche, Batlamyus'un “altmışlık” sütununda bulunan doğruluk derecesine ulaşmak için kirişleri beş seksagesimal basamağa kadar hesaplamış olması gerektiğini göstermiştir.<ref name=Toomer>[https://classicalliberalarts.com/resources/PTOLEMY_ALMAGEST_ENGLISH.pdf# Toomer's translation of the Almaagest] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20231208081722/https://classicalliberalarts.com/resources/PTOLEMY_ALMAGEST_ENGLISH.pdf |tarih=8 Aralık 2023 }},1984, footnote 68, pages 57-59.</ref><ref>Ernst Glowatzki and Helmut Göttsche, ''Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios.  Nach den historischen Formelplänen neuberechnet.'', München, 1976.</ref>

: <math>
\begin{array}{|l|rrr|rrr|}
\hline
\text{yay}^\circ & \text{kiriş} & & & \text{altmışlık} & & \\
\hline
{}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \tfrac12 &  0 & 31 & 25 & 0 \quad 1 & 2 & 50 \\
{}\,\,\,\,\,\,\, 1 & 1 & 2 & 50 & 0 \quad 1 & 2 & 50 \\
{}\,\,\,\,\,\,\, 1\tfrac12 & 1 & 34 & 15 & 0 \quad 1 & 2 & 50 \\
{}\,\,\,\,\,\,\, \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
109 & 97 & 41 & 38 & 0 \quad 0 & 36 & 23 \\
109\tfrac12 & 97 & 59 & 49 & 0 \quad 0 & 36 & 9 \\
110 & 98 & 17 & 54 & 0 \quad 0 & 35 & 56 \\
110\tfrac12 & 98 & 35 & 52 & 0 \quad 0 & 35 & 42\\
111 & 98 & 53 & 43 & 0 \quad 0 & 35 & 29 \\
111\tfrac12 & 99 & 11 & 27 & 0 \quad 0 & 35 & 15 \\
112 & 99 & 29 & 5 & 0 \quad 0 & 35 & 1\\
112\tfrac12 & 99 & 46 & 35 & 0 \quad 0 & 34 & 48 \\
113 & 100 & 3 & 59 & 0 \quad 0 & 34 & 34 \\
{}\,\,\,\,\,\,\, \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
179 & 119 & 59 & 44 & 0 \quad 0 & 0 & 25 \\
179\frac12 & 119 & 59 & 56 & 0 \quad 0 & 0 & 9 \\
180 & 120 & 0 & 0 & 0 \quad 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}
</math>

== Batlamyus kirişleri nasıl hesapladı ==
''Almagest''{{'}}in I. Kitabının 10. Bölümü, kirişleri hesaplamak için kullanılan [[Öklid geometrisi|geometri]]k teoremleri sunar. Batlamyus, 72° ve 36° kirişlerini bulmak için [[Öklid'in Elementleri]]'nin Kitap&nbsp;XIII'ünün Önerme&nbsp;10'una dayanan geometrik akıl yürütmeyi kullanmıştır. Bu [[Teorem#Terminoloji|önermesi]], bir çember içine eşkenar bir [[beşgen]] yerleştirilirse, beşgenin kenarındaki karenin alanının, aynı çember içine yerleştirilmiş [[altıgen]] ve [[ongen]] kenarlarındaki karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.

Bir çemberin içine yerleştirilmiş dörtgenler üzerine [[Batlamyus teoremi]]ni kullanarak yarım yay, iki yayın toplamı ve iki yayın farkı için formüller türetmiştir. Teorem, bir [[çember]] içine yerleştirilmiş bir [[dörtgen]] için, köşegenlerin uzunluklarının çarpımının, karşılıklı kenarların uzunluklarının iki çiftinin çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir. Trigonometrik özdeşliklerin türetilmesinde, bir kenarı dairenin çapı olan bir [[kirişler dörtgeni]]ni temel alınır.

1° ve {{sfrac|1|2}}°'lik yayların kirişlerini bulmak için [[Aristarkus eşitsizliği|Aristarchus eşitsizliği]]ne dayanan yaklaşımları kullandı. Bu eşitsizlik, ''α'' ve ''β'' yayları için, eğer 0&nbsp;<&nbsp;''β''&nbsp;<&nbsp;''α''&nbsp;<&nbsp;90° ise, o zaman

: <math> \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac\alpha\beta < \frac{\tan\alpha}{\tan\beta}.</math>

Batlamyus, 1° ve {{sfrac|1|2}}°'lik yaylar için, yaklaşımların tam sayı kısmından sonraki ilk iki seksagesimal basamağı doğru olarak verdiğini göstermiştir.

=== Doğruluk===
[[Gerald J. Toomer]], Almagest'in çevirisinde, bazı el yazmalarında bir "basamak" (bir harf, aşağıya bakınız) değiştirilerek yazım hatalarının yapıldığı yedi giriş vermektedir. [[Glenn Elert]], Batlamyus'un değerleri ile gerçek değerler (açının yarısının sinüsünün 120 katı) arasında bir karşılaştırma yapmış ve [[karekök ortalama]] hatasının 0,000136 olduğunu bulmuştur. Ancak bunun büyük bir kısmı en yakın 1/3600'e yuvarlamadan kaynaklanmaktadır, çünkü bu 0,0002777'ye eşittir... Bununla birlikte, son 	''basamağın'' en iyi yuvarlanmış değerden 1 (çok yüksek veya çok düşük) eksik olduğu birçok giriş vardır. Batlamyus'un değerleri genellikle son yerde 1 fazla yüksektir ve daha yüksek açılara doğru daha da fazladır. En büyük hatalar, yaklaşık 0,0004'tür ve bu da son [[Altmışlık sayı sistemi|sexagesimal]] basamakta yalnızca 1'lik bir hataya karşılık gelir.<ref>{{web kaynağı |soyadı1=Glenn Elert |başlık=Ptolemy's Table of Chords: Trigonometry in the Second Century: How accurate is the Table of Chords? |url=https://hypertextbook.com/eworld/chords/#accuracy |website=E-World |yayıncı=Hypertextbook.com |erişimtarihi=1 Ekim 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20221124054046/https://hypertextbook.com/eworld/chords/#accuracy |arşivtarihi=24 Kasım 2022 |ölüurl=hayır }} Elert “Tablo üç ondalık basamağa kadar doğrudur - makalenin ana gövdesinde belirttiğim beş veya altı değil” demektedir, ancak aslında “beş veya altı” ondalık basamak (ondalık noktadan sonra) 120 kat daha küçük olan <math>\sin(\theta/2)</math> içindir.</ref>

== Rakam sistemi ve çevrilmemiş tablonun görünümü ==
{{Ana|Yunan rakamları}}

Çember yaylarının derece cinsinden uzunlukları ve kiriş uzunluklarının tam sayı kısımları, [[Onlu sayı sistemi|10 tabanı]] ile ifade edilmiştir. Aşağıdaki tabloda anlamları verilen [[Yunan alfabesi]] harflerinden 21'ini ve {{sfrac|1|2}} anlamına gelen "∠′{{Sp}}" sembolünü ve boş bir alanı dolduran (etkili bir şekilde sıfırı temsil eden) yükseltilmiş bir çember "○" kullanan [[sayı sistemi]]. Aşağıdaki tabloda "arkaik" olarak etiketlenen harflerden üçü, ''Almagest'' yazılmadan birkaç yüzyıl önce Yunan dilinde kullanılmıyordu, ancak rakamlar ve [[Antik Yunan müziği|müzik notaları]] olarak hala kullanılıyordu.

: <math>
\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}
\hline
\alpha & \mathrm{alpha} &  1 & \iota & \mathrm{iota} & 10 & \rho & \mathrm{rho} & 100 \\
\beta & \mathrm{beta} & 2 & \kappa & \mathrm{kappa} & 20 & \sigma  & \mathrm{sigma} & 200 \\ 
\gamma & \mathrm{gamma} & 3 & \lambda & \mathrm{lambda} & 30 & \tau & \mathrm{tau} & 300 \\ 
\delta & \mathrm{delta} & 4 & \mu & \mathrm{mu} & 40 & \upsilon & \mathrm{upsilon} & 400 \\ 
\varepsilon & \mathrm{epsilon} & 5 & \nu & \mathrm{nu} & 50 & \varphi & \mathrm{phi} & 500 \\ 
\stigma & \mathrm{stigma\ (arkaik)} & 6 & \xi & \mathrm{xi} & 60 & \chi & \mathrm{chi} & 600 \\
\zeta & \mathrm{zeta} & 7 & \omicron & \mathrm{omicron} & 70 & \psi & \mathrm{psi} & 700 \\ 
\eta & \mathrm{eta} & 8 & \pi & \mathrm{pi} & 80 & \omega & \mathrm{omega} & 800 \\
\theta & \mathrm{theta} & 9 & \koppa & \mathrm{koppa\ (arkaik)} & 90 & \sampi & \mathrm{sampi\ (arkaik)} & 900\\
\hline
\end{array}
</math>

Böylece, örneğin, {{sfrac|143|1|2}}°'lik bir yay ''ρμγ''∠′ olarak ifade edilir. (Tablo sadece 180°'ye ulaştığından, 200 ve üzeri için Yunan rakamları kullanılmamıştır).

Kiriş uzunluklarının kesirli kısımları büyük doğruluk gerektiriyordu ve tablodaki iki sütunda [[altmışlık sayı sistemi|sexagesimal]] gösteriminde veriliyordu: İlk sütun 0-59 aralığında {{sfrac|1|60}}'ın tam sayı katını, ikincisi ise yine 0-59 aralığında {{sfrac|1|60<sup>2</sup>}}&nbsp;=&nbsp;{{sfrac|1|3600}}'in tam sayı katını verir.

Böylece Heiberg'in {{url|http://www.wilbourhall.org/pdfs/HeibergAlmagestComplete.pdf|''Almagest''{{'}}in 48-63. sayfalarındaki kirişler tablosuyla birlikte basımı}}, {{kayma|{{sfrac|1|2}}°}}'den {{kayma|{{sfrac|7|1|2}}°}}'ye kadar olan yaylara karşılık gelen tablonun başlangıcı şöyle görünür:

: <math>
\begin{array}{ccc} \pi\varepsilon\rho\iota\varphi\varepsilon\rho\varepsilon\iota\tilde\omega\nu & \varepsilon\overset{\text{'}}\nu\theta\varepsilon\iota\tilde\omega\nu & \overset{\text{`}}\varepsilon\xi\eta\kappa\omicron\sigma\tau\tilde\omega\nu \\
\begin{array}{|l|} \hline \quad \angle' \\ \alpha \\  \alpha\;\angle' \\  \hline\beta \\  \beta\;\angle' \\  \gamma \\  \hline\gamma\;\angle' \\  \delta \\  \delta\;\angle' \\  \hline\varepsilon \\  \varepsilon\;\angle' \\  \stigma \\  \hline\stigma\;\angle' \\  \zeta \\  \zeta\;\angle' \\  \hline \end{array} & \begin{array}{|r|r|r|} \hline\circ & \lambda\alpha & \kappa\varepsilon \\  \alpha & \beta & \nu \\  \alpha & \lambda\delta & \iota\varepsilon \\  \hline \beta & \varepsilon & \mu \\  \beta & \lambda\zeta & \delta \\  \gamma & \eta & \kappa\eta \\  \hline \gamma & \lambda\theta & \nu\beta \\  \delta & \iota\alpha & \iota\stigma \\  \delta & \mu\beta & \mu \\  \hline \varepsilon & \iota\delta & \delta \\  \varepsilon & \mu\varepsilon & \kappa\zeta \\  \stigma & \iota\stigma & \mu\theta \\  \hline \stigma & \mu\eta & \iota\alpha \\  \zeta & \iota\theta & \lambda\gamma \\  \zeta & \nu & \nu\delta \\  \hline \end{array} & \begin{array}{|r|r|r|r|} \hline \circ & \alpha & \beta & \nu \\  \circ & \alpha & \beta & \nu \\  \circ & \alpha & \beta & \nu \\  \hline \circ & \alpha & \beta & \nu \\  \circ & \alpha & \beta & \mu\eta \\  \circ & \alpha & \beta & \mu\eta \\  \hline\circ & \alpha & \beta & \mu\eta \\  \circ & \alpha & \beta & \mu\zeta \\  \circ & \alpha & \beta & \mu\zeta \\  \hline \circ & \alpha & \beta & \mu\stigma \\  \circ & \alpha & \beta & \mu\varepsilon \\  \circ & \alpha & \beta & \mu\delta \\  \hline \circ & \alpha & \beta & \mu\gamma \\  \circ & \alpha & \beta & \mu\beta \\  \circ & \alpha & \beta & \mu\alpha \\  \hline \end{array}
\end{array}
</math>

Tablonun ilerleyen kısımlarında, yay ve kiriş uzunluğunun tam sayı kısımlarını ifade eden rakamların 10 tabanı doğası görülebilir. Böylece 85°'lik bir yay ''πε'' (80 için ''π'' ve 5 için ''ε'') olarak yazılır ve 60&nbsp;+&nbsp;25'e bölünmez. Karşılık gelen kiriş uzunluğu 81 artı kesirli bir kısımdır. Tam sayı kısmı ''πα'' ile başlar, aynı şekilde 60&nbsp;+&nbsp;21'e bölünmez. Ancak kesirli kısım, {{sfrac|4|60}}&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|15|60<sup>2</sup>}}, {{sfrac|1|60}} sütununda 4 için ''δ'', ardından {{sfrac|1|60<sup>2</sup>}} sütununda 15 için ''ιε'' olarak yazılır.

: <math>
\begin{array}{ccc} \pi\varepsilon\rho\iota\varphi\varepsilon\rho\varepsilon\iota\tilde\omega\nu & \varepsilon\overset{\text{'}}\nu\theta\varepsilon\iota\tilde\omega\nu & \overset{\text{`}}\varepsilon\xi\eta\kappa\omicron\sigma\tau\tilde\omega\nu \\
\begin{array}{|l|} \hline \pi\delta\angle' \\  \pi\varepsilon \\  \pi\varepsilon\angle' \\  \hline  \pi\stigma \\  \pi\stigma\angle' \\  \pi\zeta \\  \hline \end{array} & \begin{array}{|r|r|r|} \hline \pi & \mu\alpha & \gamma \\  \pi\alpha & \delta & \iota\varepsilon \\  \pi\alpha & \kappa\zeta & \kappa\beta \\  \hline \pi\alpha & \nu & \kappa\delta \\  \pi\beta & \iota\gamma & \iota\theta \\  \pi\beta & \lambda\stigma & \theta \\  \hline \end{array} & \begin{array}{|r|r|r|r|} \hline \circ & \circ & \mu\stigma & \kappa\varepsilon \\  \circ & \circ & \mu\stigma & \iota\delta \\  \circ & \circ & \mu\stigma & \gamma \\  \hline \circ & \circ & \mu\varepsilon & \nu\beta \\  \circ & \circ & \mu\varepsilon & \mu \\  \circ & \circ & \mu\varepsilon & \kappa\theta \\  \hline \end{array}
\end{array}
</math>

Tablo, sekiz sayfanın her birinde 45&nbsp;satır olmak üzere toplam 360&nbsp;satırdan oluşmaktadır.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Aryabhata sinüs tablosu]]
* [[Ekssekant]]
* ''[[Fundamentum Astronomiae]]'', sinüslerin hassas hesaplanması için bir algoritma ortaya koyan bir kitap, 1500'lerin sonunda yayımlandı.
* [[Yunan matematiği]]
* [[Madhava sinüs tablosu]]
* [[Batlamyus]]
* [[Kirişler ölçeği]]
* [[Versinüs]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

==Konuyla ilgili okumalar==
* {{Kaynak|başlık=Episodes from the Early History of Mathematics|soyadı1=Aaboe|ad1=Asger|yazarbağı=Asger Aaboe|yayıncı=Mathematical Association of America|yıl= 1997|isbn =978-0-88385-613-0}}
* {{Kaynak|başlık=Greek Science in Antiquity|soyadı1=Clagett|ad1=Marshall|yazarbağı=Marshall Clagett |yayıncı=Courier Dover Publications|yıl=2002|isbn =978-0-8369-2150-2}}
* {{Kaynak|başlık=A History of Ancient Mathematical Astronomy|soyadı1=Neugebauer|ad1=Otto|yazarbağı=Otto E. Neugebauer|yayıncı=Springer-Verlag|yıl= 1975|isbn =978-0-387-06995-1}}
* [[Olaf Pedersen]] (1974) ''A Survey of the Almagest'', [[Odense University Press]] {{ISBN|87-7492-087-1}}
* {{Kaynak|başlık=Early Astronomy|soyadı1=Thurston|ad1=Hugh|yazarbağı=Hugh Thurston |yayıncı=Springer|yıl=1996|isbn =978-0-387-94822-5}}

== Dış bağlantılar ==
* [[Johan Ludvig Heiberg (tarihçi)|J. L. Heiberg]] [http://www.wilbourhall.org/pdfs/HeibergAlmagestComplete.pdf ''Almagest''], Table of chords on pages 48–63.
* Glenn Elert [https://hypertextbook.com/eworld/chords/ Ptolemy's Table of Chords: Trigonometry in the Second Century]
* [https://archive.org/details/bub_gb_a9nvvbG-OOIC  ''Almageste''] in Greek and French, at the internet archive.

{{Antik Yunan astronomisi}}
{{Yunan matematiği}}

[[Kategori:Trigonometri]]
[[Kategori:Matematik tarihi|Trigonometri]]
[[Kategori:Astronomi tarihi]]
[[Kategori:Batlamyus]]
[[Kategori:Matematiksel tablolar]]